Theorem lssvneln0 20103

Description: A vector 𝑋 which doesn't belong to a subspace 𝑈 is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvneln0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssvneln0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvneln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssvneln0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvneln0.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssvneln0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem lssvneln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvneln0.n	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
2		lssvneln0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lssvneln0.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
4		lssvneln0.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		lssvneln0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	4, 5	lss0cl 20098	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)
7	2, 3, 6	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
8		eleq1a 2835	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 0 → 𝑋 ∈ 𝑈))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → 𝑋 ∈ 𝑈))
10	9	necon3bd 2957	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ≠ 0 ))
11	1, 10	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943  ‘cfv 6415  0_gc0g 17042  LModclmod 20013  LSubSpclss 20083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-plusg 16876  df-0g 17044  df-mgm 18216  df-sgrp 18265  df-mnd 18276  df-grp 18470  df-minusg 18471  df-sbg 18472  df-mgp 19611  df-ur 19628  df-ring 19675  df-lmod 20015  df-lss 20084

This theorem is referenced by:  lssneln0  20104  lvecindp  20290  lshpne0  36906