Theorem lssvneln0 21228

Description: A vector 𝑋 which doesn't belong to a subspace 𝑈 is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvneln0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssvneln0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvneln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssvneln0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvneln0.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssvneln0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem lssvneln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvneln0.n	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
2		lssvneln0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lssvneln0.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
4		lssvneln0.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		lssvneln0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	4, 5	lss0cl 21223	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑈)
7	2, 3, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑈)
8		eleq1a 2856	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝑈 → (𝑋 = 0 → 𝑋 ∈ 𝑈))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → 𝑋 ∈ 𝑈))
10	9	necon3bd 2970	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ≠ 0 ))
11	1, 10	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6539  0_gc0g 17611  LModclmod 21136  LSubSpclss 21207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mgp 20362  df-ur 20409  df-ring 20462  df-lmod 21138  df-lss 21208

This theorem is used by:  lssneln0  21229  lvecindp  21417  lshpne0  40045