Theorem hgmapvvlem3 41963

Description: Lemma for hgmapvv 41964. Eliminate ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) = 1 (Baer's f(h,k)=1). (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem6.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem6.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem6.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglem6.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem6.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglem6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapglem6.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
hdmapglem6.n	⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
hdmapglem6.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hgmapvvlem3	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem hgmapvvlem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglem6.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapglem6.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapglem6.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
6		hdmapglem6.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmapglem6.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
10	1, 7, 8, 3, 4, 5, 9, 6	dvheveccl 41150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
11	10	eldifad 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	dochsnnz 41488	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)})
13	11	snssd 4761	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15	1, 3, 4, 14, 2	dochlss 41392	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 13, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	5, 14	lssne0 20882	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → ((𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
19	12, 18	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈))
20		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
21		hdmapglem6.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22		hdmapglem6.i	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
23		hdmapglem6.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
24		hdmapglem6.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
25	6	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26	1, 3, 4, 2	dochssv 41393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
27	6, 13, 26	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
28	27	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → 𝑘 ∈ 𝑉)
29	28	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ∈ 𝑉)
30		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ≠ (0g‘𝑈))
31		eldifsn 4738	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
32	29, 30, 31	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
33		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) = ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)
34	1, 3, 4, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 32, 33	hdmapip1 41954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 )
35		hdmapglem6.q	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
36		hdmapglem6.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37		hdmapglem6.t	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑅)
38		hdmapglem6.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
39		hdmapglem6.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
40		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝜑)
41	40, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
42		hdmapglem6.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
43	40, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
44	1, 3, 6	dvhlmod 41148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑈 ∈ LMod)
46	40, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47	1, 3, 6	dvhlvec 41147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
48	21	lvecdrng 21037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
50	40, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
51	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑘 ∈ 𝑉)
52	1, 3, 4, 21, 36, 24, 41, 51, 51	hdmapipcl 41943	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ∈ 𝐵)
53	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54	1, 3, 4, 5, 21, 38, 24, 53, 28	hdmapip0 41953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (((𝑆‘𝑘)‘𝑘) = 0 ↔ 𝑘 = (0g‘𝑈)))
55	54	necon3bid 2972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
56	55	biimp3ar 1472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 )
57	56	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 )
58	36, 38, 23	drnginvrcl 20666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 ) → (𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵)
59	50, 52, 57, 58	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵)
60		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
61	21, 20, 36, 14	lssvscl 20886	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}))) → ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) ∈ (𝑂‘{𝐸}))
62	45, 46, 59, 60, 61	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) ∈ (𝑂‘{𝐸}))
63		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 )
64	1, 9, 2, 3, 4, 35, 21, 36, 37, 38, 22, 23, 24, 39, 41, 43, 62, 60, 63	hgmapvvlem2 41962	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
65	34, 64	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
66	65	rexlimdv3a 3137	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋))
67	19, 66	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ⟨cop 4582   I cid 5510   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  ._rcmulr 17159  Scalarcsca 17161   ·_𝑠 cvsca 17162  0_gc0g 17340  1_rcur 20097  inv_rcinvr 20303  DivRingcdr 20642  LModclmod 20791  LSubSpclss 20862  LVecclvec 21034  HLchlt 39388  LHypclh 40022  LTrncltrn 40139  DVecHcdvh 41116  ocHcoch 41385  HDMapchdma 41830  HGMapchg 41921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-riotaBAD 38991

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-0g 17342  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-proset 18197  df-poset 18216  df-plt 18231  df-lub 18247  df-glb 18248  df-join 18249  df-meet 18250  df-p0 18326  df-p1 18327  df-lat 18335  df-clat 18402  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-cntz 19227  df-oppg 19256  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-nzr 20426  df-rlreg 20607  df-domn 20608  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-lvec 21035  df-lsatoms 39014  df-lshyp 39015  df-lcv 39057  df-lfl 39096  df-lkr 39124  df-ldual 39162  df-oposet 39214  df-ol 39216  df-oml 39217  df-covers 39304  df-ats 39305  df-atl 39336  df-cvlat 39360  df-hlat 39389  df-llines 39536  df-lplanes 39537  df-lvols 39538  df-lines 39539  df-psubsp 39541  df-pmap 39542  df-padd 39834  df-lhyp 40026  df-laut 40027  df-ldil 40142  df-ltrn 40143  df-trl 40197  df-tgrp 40781  df-tendo 40793  df-edring 40795  df-dveca 41041  df-disoa 41067  df-dvech 41117  df-dib 41177  df-dic 41211  df-dih 41267  df-doch 41386  df-djh 41433  df-lcdual 41625  df-mapd 41663  df-hvmap 41795  df-hdmap1 41831  df-hdmap 41832  df-hgmap 41922

This theorem is referenced by:  hgmapvv  41964