Theorem hgmapvvlem3 39501

Description: Lemma for hgmapvv 39502. Eliminate ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) = 1 (Baer's f(h,k)=1). (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem6.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem6.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem6.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglem6.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem6.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglem6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapglem6.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
hdmapglem6.n	⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
hdmapglem6.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hgmapvvlem3	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem hgmapvvlem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglem6.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapglem6.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapglem6.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
6		hdmapglem6.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmapglem6.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
10	1, 7, 8, 3, 4, 5, 9, 6	dvheveccl 38688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
11	10	eldifad 3870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	dochsnnz 39026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)})
13	11	snssd 4699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
14		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15	1, 3, 4, 14, 2	dochlss 38930	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 13, 15	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	5, 14	lssne0 19790	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → ((𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
19	12, 18	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈))
20		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
21		hdmapglem6.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22		hdmapglem6.i	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
23		hdmapglem6.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
24		hdmapglem6.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
25	6	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26	1, 3, 4, 2	dochssv 38931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
27	6, 13, 26	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
28	27	sselda 3892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → 𝑘 ∈ 𝑉)
29	28	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ∈ 𝑉)
30		simp3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ≠ (0g‘𝑈))
31		eldifsn 4677	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
32	29, 30, 31	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
33		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) = ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)
34	1, 3, 4, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 32, 33	hdmapip1 39492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 )
35		hdmapglem6.q	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
36		hdmapglem6.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37		hdmapglem6.t	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑅)
38		hdmapglem6.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
39		hdmapglem6.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
40		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝜑)
41	40, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
42		hdmapglem6.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
43	40, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
44	1, 3, 6	dvhlmod 38686	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑈 ∈ LMod)
46	40, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47	1, 3, 6	dvhlvec 38685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
48	21	lvecdrng 19945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
50	40, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
51	29	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑘 ∈ 𝑉)
52	1, 3, 4, 21, 36, 24, 41, 51, 51	hdmapipcl 39481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ∈ 𝐵)
53	6	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54	1, 3, 4, 5, 21, 38, 24, 53, 28	hdmapip0 39491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (((𝑆‘𝑘)‘𝑘) = 0 ↔ 𝑘 = (0g‘𝑈)))
55	54	necon3bid 2995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
56	55	biimp3ar 1467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 )
57	56	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 )
58	36, 38, 23	drnginvrcl 19587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 ) → (𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵)
59	50, 52, 57, 58	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵)
60		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
61	21, 20, 36, 14	lssvscl 19795	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}))) → ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) ∈ (𝑂‘{𝐸}))
62	45, 46, 59, 60, 61	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) ∈ (𝑂‘{𝐸}))
63		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 )
64	1, 9, 2, 3, 4, 35, 21, 36, 37, 38, 22, 23, 24, 39, 41, 43, 62, 60, 63	hgmapvvlem2 39500	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
65	34, 64	mpdan 686	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
66	65	rexlimdv3a 3210	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋))
67	19, 66	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858  {csn 4522  ⟨cop 4528   I cid 5429   ↾ cres 5526  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  ._rcmulr 16624  Scalarcsca 16626   ·_𝑠 cvsca 16627  0_gc0g 16771  1_rcur 19319  inv_rcinvr 19492  DivRingcdr 19570  LModclmod 19702  LSubSpclss 19771  LVecclvec 19942  HLchlt 36926  LHypclh 37560  LTrncltrn 37677  DVecHcdvh 38654  ocHcoch 38923  HDMapchdma 39368  HGMapchg 39459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-riotaBAD 36529

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-ot 4531  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-undef 7949  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-0g 16773  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-p1 17716  df-lat 17722  df-clat 17784  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-cntz 18514  df-oppg 18541  df-lsm 18828  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-drng 19572  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-lvec 19943  df-lsatoms 36552  df-lshyp 36553  df-lcv 36595  df-lfl 36634  df-lkr 36662  df-ldual 36700  df-oposet 36752  df-ol 36754  df-oml 36755  df-covers 36842  df-ats 36843  df-atl 36874  df-cvlat 36898  df-hlat 36927  df-llines 37074  df-lplanes 37075  df-lvols 37076  df-lines 37077  df-psubsp 37079  df-pmap 37080  df-padd 37372  df-lhyp 37564  df-laut 37565  df-ldil 37680  df-ltrn 37681  df-trl 37735  df-tgrp 38319  df-tendo 38331  df-edring 38333  df-dveca 38579  df-disoa 38605  df-dvech 38655  df-dib 38715  df-dic 38749  df-dih 38805  df-doch 38924  df-djh 38971  df-lcdual 39163  df-mapd 39201  df-hvmap 39333  df-hdmap1 39369  df-hdmap 39370  df-hgmap 39460

This theorem is referenced by:  hgmapvv  39502