Theorem hgmapvvlem3 41927

Description: Lemma for hgmapvv 41928. Eliminate ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) = 1 (Baer's f(h,k)=1). (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem6.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem6.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem6.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglem6.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem6.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglem6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapglem6.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
hdmapglem6.n	⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
hdmapglem6.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hgmapvvlem3	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem hgmapvvlem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglem6.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapglem6.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapglem6.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
6		hdmapglem6.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmapglem6.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
10	1, 7, 8, 3, 4, 5, 9, 6	dvheveccl 41114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
11	10	eldifad 3963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	dochsnnz 41452	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)})
13	11	snssd 4809	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15	1, 3, 4, 14, 2	dochlss 41356	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 13, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	5, 14	lssne0 20949	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → ((𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
19	12, 18	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈))
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
21		hdmapglem6.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22		hdmapglem6.i	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
23		hdmapglem6.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
24		hdmapglem6.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
25	6	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26	1, 3, 4, 2	dochssv 41357	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
27	6, 13, 26	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
28	27	sselda 3983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → 𝑘 ∈ 𝑉)
29	28	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ∈ 𝑉)
30		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ≠ (0g‘𝑈))
31		eldifsn 4786	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
32	29, 30, 31	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
33		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) = ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)
34	1, 3, 4, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 32, 33	hdmapip1 41918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 )
35		hdmapglem6.q	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
36		hdmapglem6.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37		hdmapglem6.t	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑅)
38		hdmapglem6.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
39		hdmapglem6.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
40		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝜑)
41	40, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
42		hdmapglem6.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
43	40, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
44	1, 3, 6	dvhlmod 41112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑈 ∈ LMod)
46	40, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47	1, 3, 6	dvhlvec 41111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
48	21	lvecdrng 21104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
50	40, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
51	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑘 ∈ 𝑉)
52	1, 3, 4, 21, 36, 24, 41, 51, 51	hdmapipcl 41907	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ∈ 𝐵)
53	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54	1, 3, 4, 5, 21, 38, 24, 53, 28	hdmapip0 41917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (((𝑆‘𝑘)‘𝑘) = 0 ↔ 𝑘 = (0g‘𝑈)))
55	54	necon3bid 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
56	55	biimp3ar 1472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 )
57	56	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 )
58	36, 38, 23	drnginvrcl 20753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 ) → (𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵)
59	50, 52, 57, 58	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵)
60		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
61	21, 20, 36, 14	lssvscl 20953	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}))) → ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) ∈ (𝑂‘{𝐸}))
62	45, 46, 59, 60, 61	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) ∈ (𝑂‘{𝐸}))
63		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 )
64	1, 9, 2, 3, 4, 35, 21, 36, 37, 38, 22, 23, 24, 39, 41, 43, 62, 60, 63	hgmapvvlem2 41926	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
65	34, 64	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
66	65	rexlimdv3a 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋))
67	19, 66	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ⟨cop 4632   I cid 5577   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  inv_rcinvr 20387  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LVecclvec 21101  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  DVecHcdvh 41080  ocHcoch 41349  HDMapchdma 41794  HGMapchg 41885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lcv 39020  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397  df-lcdual 41589  df-mapd 41627  df-hvmap 41759  df-hdmap1 41795  df-hdmap 41796  df-hgmap 41886

This theorem is referenced by:  hgmapvv  41928