Theorem hgmapvvlem3 39939

Description: Lemma for hgmapvv 39940. Eliminate ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) = 1 (Baer's f(h,k)=1). (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem6.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem6.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem6.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapglem6.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem6.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapglem6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapglem6.i	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
hdmapglem6.n	⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
hdmapglem6.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapglem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hgmapvvlem3	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem hgmapvvlem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapglem6.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapglem6.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapglem6.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
6		hdmapglem6.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmapglem6.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
10	1, 7, 8, 3, 4, 5, 9, 6	dvheveccl 39126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
11	10	eldifad 3899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11	dochsnnz 39464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)})
13	11	snssd 4742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
14		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15	1, 3, 4, 14, 2	dochlss 39368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 13, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	5, 14	lssne0 20212	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → ((𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘{𝐸}) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
19	12, 18	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈))
20		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
21		hdmapglem6.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22		hdmapglem6.i	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
23		hdmapglem6.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invr‘𝑅)
24		hdmapglem6.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
25	6	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26	1, 3, 4, 2	dochssv 39369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
27	6, 13, 26	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
28	27	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → 𝑘 ∈ 𝑉)
29	28	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ∈ 𝑉)
30		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ≠ (0g‘𝑈))
31		eldifsn 4720	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
32	29, 30, 31	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
33		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) = ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)
34	1, 3, 4, 20, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 32, 33	hdmapip1 39930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 )
35		hdmapglem6.q	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
36		hdmapglem6.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
37		hdmapglem6.t	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑅)
38		hdmapglem6.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
39		hdmapglem6.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
40		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝜑)
41	40, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
42		hdmapglem6.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
43	40, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
44	1, 3, 6	dvhlmod 39124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑈 ∈ LMod)
46	40, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47	1, 3, 6	dvhlvec 39123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
48	21	lvecdrng 20367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
50	40, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑅 ∈ DivRing)
51	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑘 ∈ 𝑉)
52	1, 3, 4, 21, 36, 24, 41, 51, 51	hdmapipcl 39919	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ∈ 𝐵)
53	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
54	1, 3, 4, 5, 21, 38, 24, 53, 28	hdmapip0 39929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (((𝑆‘𝑘)‘𝑘) = 0 ↔ 𝑘 = (0g‘𝑈)))
55	54	necon3bid 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})) → (((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 ↔ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)))
56	55	biimp3ar 1469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 )
57	56	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 )
58	36, 38, 23	drnginvrcl 20008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑆‘𝑘)‘𝑘) ≠ 0 ) → (𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵)
59	50, 52, 57, 58	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵)
60		simpl2 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
61	21, 20, 36, 14	lssvscl 20217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}))) → ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) ∈ (𝑂‘{𝐸}))
62	45, 46, 59, 60, 61	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘) ∈ (𝑂‘{𝐸}))
63		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 )
64	1, 9, 2, 3, 4, 35, 21, 36, 37, 38, 22, 23, 24, 39, 41, 43, 62, 60, 63	hgmapvvlem2 39938	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ ((𝑆‘𝑘)‘((𝑁‘((𝑆‘𝑘)‘𝑘))( ·𝑠 ‘𝑈)𝑘)) = 1 ) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
65	34, 64	mpdan 684	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸}) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
66	65	rexlimdv3a 3215	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑘 ≠ (0g‘𝑈) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋))
67	19, 66	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ⟨cop 4567   I cid 5488   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  inv_rcinvr 19913  DivRingcdr 19991  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LVecclvec 20364  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  DVecHcdvh 39092  ocHcoch 39361  HDMapchdma 39806  HGMapchg 39897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409  df-lcdual 39601  df-mapd 39639  df-hvmap 39771  df-hdmap1 39807  df-hdmap 39808  df-hgmap 39898

This theorem is referenced by:  hgmapvv  39940