Theorem dochsatshpb 41712

Description: The orthocomplement of a subspace atom is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsatshpb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsatshpb.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsatshpb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsatshpb.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochsatshpb.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochsatshpb.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochsatshpb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsatshpb.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dochsatshpb	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌))

Proof of Theorem dochsatshpb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsatshpb.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsatshpb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsatshpb.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochsatshpb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
5		dochsatshpb.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
6		dochsatshpb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	dochsatshp 41711	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
10		dochsatshpb.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
11		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
12		dochsatshpb.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
13	11, 12	lssss 20887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
15		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16	1, 15, 2, 11, 3	dochcl 41613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
17	6, 14, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
18	1, 15, 3	dochoc 41627	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
19	6, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
21	1, 2, 6	dvhlmod 41370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
23		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
24	11, 5, 22, 23	lshpne 39242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ≠ (Base‘𝑈))
25	20, 24	eqnetrd 2999	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈))
26		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
27	1, 2, 11, 3	dochssv 41615	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
28	6, 14, 27	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
29	1, 3, 2, 11, 26, 6, 28	dochn0nv 41635	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈)))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈)))
31	25, 30	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)})
32	1, 2, 11, 12, 3	dochlss 41614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆)
33	6, 14, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆)
34	11, 12	lssss 20887	. . . . . . . . 9 ⊢ (( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
36	1, 2, 11, 12, 3	dochlss 41614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
37	6, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
39	26, 12	lssne0 20902	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
41	31, 40	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈))
42	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
43	42	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
44	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
45	44	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
46	43, 45, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
47		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
48	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
49	38	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
50		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
51	12, 47, 48, 49, 50	ellspsn5 20947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
52	11, 12	lssel 20888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
53	49, 50, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
54	1, 2, 11, 47, 15	dihlsprn 41591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
55	43, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
56	1, 15, 2, 11, 3	dochcl 41613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
57	6, 35, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
59	58	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
60	1, 15, 3, 43, 55, 59	dochord 41630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
61	51, 60	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
62	46, 61	eqsstrrd 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
63	1, 2, 6	dvhlvec 41369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LVec)
65	64	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
66		simp1r 1199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
67		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ≠ (0g‘𝑈))
68	11, 47, 26, 4	lsatlspsn2 39252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ 𝐴)
69	48, 53, 67, 68	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ 𝐴)
70	1, 2, 3, 4, 5, 43, 69	dochsatshp 41711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝑌)
71	5, 65, 66, 70	lshpcmp 39248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (( ⊥ ‘𝑄) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
72	62, 71	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
73	72	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
74	1, 15, 3	dochoc 41627	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
75	43, 55, 74	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
76	73, 75	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
77	76, 69	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
78	77	rexlimdv3a 3141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴))
79	41, 78	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
80	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑄 ∈ 𝑆)
81	1, 3, 2, 12, 4, 42, 80	dochsat 41643	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))
82	79, 81	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑄 ∈ 𝐴)
83	9, 82	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ran crn 5625  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  LSpanclspn 20922  LVecclvec 21054  LSAtomsclsa 39234  LSHypclsh 39235  HLchlt 39610  LHypclh 40244  DVecHcdvh 41338  DIsoHcdih 41488  ocHcoch 41607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-riotaBAD 39213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-0g 17361  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lsatoms 39236  df-lshyp 39237  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-llines 39758  df-lplanes 39759  df-lvols 39760  df-lines 39761  df-psubsp 39763  df-pmap 39764  df-padd 40056  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419  df-tgrp 41003  df-tendo 41015  df-edring 41017  df-dveca 41263  df-disoa 41289  df-dvech 41339  df-dib 41399  df-dic 41433  df-dih 41489  df-doch 41608  df-djh 41655

This theorem is referenced by:  dochshpsat  41714  dochkrsat  41715  lcfl4N  41755