Theorem dochsatshpb 42288

Description: The orthocomplement of a subspace atom is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsatshpb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsatshpb.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsatshpb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsatshpb.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochsatshpb.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochsatshpb.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochsatshpb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsatshpb.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dochsatshpb	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌))

Proof of Theorem dochsatshpb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsatshpb.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsatshpb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsatshpb.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochsatshpb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
5		dochsatshpb.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
6		dochsatshpb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	dochsatshp 42287	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
10		dochsatshpb.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
11		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
12		dochsatshpb.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
13	11, 12	lssss 21111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
14	10, 13	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
15		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16	1, 15, 2, 11, 3	dochcl 42189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
17	6, 14, 16	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
18	1, 15, 3	dochoc 42203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
19	6, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
20	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
21	1, 2, 6	dvhlmod 41946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
23		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
24	11, 5, 22, 23	lshpne 39818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ≠ (Base‘𝑈))
25	20, 24	eqnetrd 3027	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈))
26		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
27	1, 2, 11, 3	dochssv 42191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
28	6, 14, 27	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
29	1, 3, 2, 11, 26, 6, 28	dochn0nv 42211	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈)))
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈)))
31	25, 30	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)})
32	1, 2, 11, 12, 3	dochlss 42190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆)
33	6, 14, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆)
34	11, 12	lssss 21111	. . . . . . . . 9 ⊢ (( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
36	1, 2, 11, 12, 3	dochlss 42190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
37	6, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
38	37	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
39	26, 12	lssne0 21126	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
40	38, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
41	31, 40	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈))
42	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
43	42	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
44	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
45	44	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
46	43, 45, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
47		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
48	22	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
49	38	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
50		simp2 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
51	12, 47, 48, 49, 50	ellspsn5 21171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
52	11, 12	lssel 21112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
53	49, 50, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
54	1, 2, 11, 47, 15	dihlsprn 42167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
55	43, 53, 54	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
56	1, 15, 2, 11, 3	dochcl 42189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
57	6, 35, 56	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
58	57	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
59	58	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
60	1, 15, 3, 43, 55, 59	dochord 42206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
61	51, 60	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
62	46, 61	eqsstrrd 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
63	1, 2, 6	dvhlvec 41945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LVec)
65	64	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
66		simp1r 1217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
67		simp3 1156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ≠ (0g‘𝑈))
68	11, 47, 26, 4	lsatlspsn2 39828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ 𝐴)
69	48, 53, 67, 68	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ 𝐴)
70	1, 2, 3, 4, 5, 43, 69	dochsatshp 42287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝑌)
71	5, 65, 66, 70	lshpcmp 39824	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (( ⊥ ‘𝑄) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
72	62, 71	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
73	72	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
74	1, 15, 3	dochoc 42203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
75	43, 55, 74	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
76	73, 75	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
77	76, 69	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
78	77	rexlimdv3a 3172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴))
79	41, 78	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
80	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑄 ∈ 𝑆)
81	1, 3, 2, 12, 4, 42, 80	dochsat 42219	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))
82	79, 81	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑄 ∈ 𝐴)
83	9, 82	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ran crn 5664  ‘cfv 6540  Basecbs 17295  0_gc0g 17518  LModclmod 21035  LSubSpclss 21106  LSpanclspn 21146  LVecclvec 21277  LSAtomsclsa 39810  LSHypclsh 39811  HLchlt 40186  LHypclh 40820  DVecHcdvh 41914  DIsoHcdih 42064  ocHcoch 42183

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-riotaBAD 39789

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-0g 17520  df-proset 18376  df-poset 18395  df-plt 18410  df-lub 18426  df-glb 18427  df-join 18428  df-meet 18429  df-p0 18505  df-p1 18506  df-lat 18514  df-clat 18581  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-submnd 18883  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-cntz 19435  df-lsm 19754  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-invr 20520  df-dvr 20533  df-drng 20883  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-lvec 21278  df-lsatoms 39812  df-lshyp 39813  df-oposet 40012  df-ol 40014  df-oml 40015  df-covers 40102  df-ats 40103  df-atl 40134  df-cvlat 40158  df-hlat 40187  df-llines 40334  df-lplanes 40335  df-lvols 40336  df-lines 40337  df-psubsp 40339  df-pmap 40340  df-padd 40632  df-lhyp 40824  df-laut 40825  df-ldil 40940  df-ltrn 40941  df-trl 40995  df-tgrp 41579  df-tendo 41591  df-edring 41593  df-dveca 41839  df-disoa 41865  df-dvech 41915  df-dib 41975  df-dic 42009  df-dih 42065  df-doch 42184  df-djh 42231

This theorem is used by:  dochshpsat  42290  dochkrsat  42291  lcfl4N  42331