Theorem dochsatshpb 41454

Description: The orthocomplement of a subspace atom is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsatshpb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsatshpb.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsatshpb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsatshpb.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochsatshpb.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochsatshpb.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochsatshpb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsatshpb.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dochsatshpb	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌))

Proof of Theorem dochsatshpb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsatshpb.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsatshpb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsatshpb.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochsatshpb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
5		dochsatshpb.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
6		dochsatshpb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	dochsatshp 41453	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
10		dochsatshpb.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
11		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
12		dochsatshpb.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
13	11, 12	lssss 20934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16	1, 15, 2, 11, 3	dochcl 41355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
17	6, 14, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
18	1, 15, 3	dochoc 41369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
19	6, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
21	1, 2, 6	dvhlmod 41112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
23		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
24	11, 5, 22, 23	lshpne 38983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ≠ (Base‘𝑈))
25	20, 24	eqnetrd 3008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈))
26		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
27	1, 2, 11, 3	dochssv 41357	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
28	6, 14, 27	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
29	1, 3, 2, 11, 26, 6, 28	dochn0nv 41377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈)))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈)))
31	25, 30	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)})
32	1, 2, 11, 12, 3	dochlss 41356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆)
33	6, 14, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆)
34	11, 12	lssss 20934	. . . . . . . . 9 ⊢ (( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
36	1, 2, 11, 12, 3	dochlss 41356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
37	6, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
39	26, 12	lssne0 20949	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
41	31, 40	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈))
42	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
43	42	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
44	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
45	44	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
46	43, 45, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
47		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
48	22	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
49	38	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
50		simp2 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
51	12, 47, 48, 49, 50	ellspsn5 20994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
52	11, 12	lssel 20935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
53	49, 50, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
54	1, 2, 11, 47, 15	dihlsprn 41333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
55	43, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
56	1, 15, 2, 11, 3	dochcl 41355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
57	6, 35, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
59	58	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
60	1, 15, 3, 43, 55, 59	dochord 41372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
61	51, 60	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
62	46, 61	eqsstrrd 4019	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
63	1, 2, 6	dvhlvec 41111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LVec)
65	64	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
66		simp1r 1199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
67		simp3 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ≠ (0g‘𝑈))
68	11, 47, 26, 4	lsatlspsn2 38993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ 𝐴)
69	48, 53, 67, 68	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ 𝐴)
70	1, 2, 3, 4, 5, 43, 69	dochsatshp 41453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝑌)
71	5, 65, 66, 70	lshpcmp 38989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (( ⊥ ‘𝑄) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
72	62, 71	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
73	72	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
74	1, 15, 3	dochoc 41369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
75	43, 55, 74	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
76	73, 75	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
77	76, 69	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
78	77	rexlimdv3a 3159	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴))
79	41, 78	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
80	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑄 ∈ 𝑆)
81	1, 3, 2, 12, 4, 42, 80	dochsat 41385	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))
82	79, 81	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑄 ∈ 𝐴)
83	9, 82	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ran crn 5686  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LSAtomsclsa 38975  LSHypclsh 38976  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  DIsoHcdih 41230  ocHcoch 41349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397

This theorem is referenced by:  dochshpsat  41456  dochkrsat  41457  lcfl4N  41497