Theorem dochsatshpb 39393

Description: The orthocomplement of a subspace atom is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsatshpb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsatshpb.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsatshpb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsatshpb.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochsatshpb.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochsatshpb.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochsatshpb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsatshpb.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dochsatshpb	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌))

Proof of Theorem dochsatshpb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsatshpb.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsatshpb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsatshpb.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochsatshpb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
5		dochsatshpb.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
6		dochsatshpb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	dochsatshp 39392	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
10		dochsatshpb.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
11		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
12		dochsatshpb.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
13	11, 12	lssss 20113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
15		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16	1, 15, 2, 11, 3	dochcl 39294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
17	6, 14, 16	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
18	1, 15, 3	dochoc 39308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
19	6, 17, 18	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
21	1, 2, 6	dvhlmod 39051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
23		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
24	11, 5, 22, 23	lshpne 36923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ≠ (Base‘𝑈))
25	20, 24	eqnetrd 3010	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈))
26		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
27	1, 2, 11, 3	dochssv 39296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
28	6, 14, 27	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
29	1, 3, 2, 11, 26, 6, 28	dochn0nv 39316	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈)))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ≠ (Base‘𝑈)))
31	25, 30	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)})
32	1, 2, 11, 12, 3	dochlss 39295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆)
33	6, 14, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆)
34	11, 12	lssss 20113	. . . . . . . . 9 ⊢ (( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑆 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
36	1, 2, 11, 12, 3	dochlss 39295	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
37	6, 35, 36	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
39	26, 12	lssne0 20127	. . . . . 6 ⊢ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} ↔ ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈)))
41	31, 40	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈))
42	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
43	42	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
44	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
45	44	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
46	43, 45, 18	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘𝑄))
47		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
48	22	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
49	38	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
50		simp2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
51	12, 47, 48, 49, 50	lspsnel5a 20173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
52	11, 12	lssel 20114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
53	49, 50, 52	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
54	1, 2, 11, 47, 15	dihlsprn 39272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
55	43, 53, 54	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
56	1, 15, 2, 11, 3	dochcl 39294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
57	6, 35, 56	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
59	58	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
60	1, 15, 3, 43, 55, 59	dochord 39311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
61	51, 60	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
62	46, 61	eqsstrrd 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
63	1, 2, 6	dvhlvec 39050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LVec)
65	64	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
66		simp1r 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌)
67		simp3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑣 ≠ (0g‘𝑈))
68	11, 47, 26, 4	lsatlspsn2 36933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ 𝐴)
69	48, 53, 67, 68	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ 𝐴)
70	1, 2, 3, 4, 5, 43, 69	dochsatshp 39392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ∈ 𝑌)
71	5, 65, 66, 70	lshpcmp 36929	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → (( ⊥ ‘𝑄) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
72	62, 71	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
73	72	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
74	1, 15, 3	dochoc 39308	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
75	43, 55, 74	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
76	73, 75	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
77	76, 69	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∧ 𝑣 ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
78	77	rexlimdv3a 3214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (∃𝑣 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))𝑣 ≠ (0g‘𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴))
79	41, 78	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
80	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑄 ∈ 𝑆)
81	1, 3, 2, 12, 4, 42, 80	dochsat 39324	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))
82	79, 81	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌) → 𝑄 ∈ 𝐴)
83	9, 82	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘𝑄) ∈ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ran crn 5581  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279  LSAtomsclsa 36915  LSHypclsh 36916  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  DIsoHcdih 39169  ocHcoch 39288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336

This theorem is referenced by:  dochshpsat  39395  dochkrsat  39396  lcfl4N  39436