Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatomic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssatomic 38709
Description: The lattice of subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. (shatomici 32291 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatomic.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatomic.o 0 = (0g𝑊)
lssatomic.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatomic.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssatomic.u (𝜑𝑈𝑆)
lssatomic.n (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
Assertion
Ref Expression
lssatomic (𝜑 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑆(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem lssatomic
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssatomic.n . . 3 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
2 lssatomic.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
3 lssatomic.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
4 lssatomic.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
53, 4lssne0 20928 . . . 4 (𝑈𝑆 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥𝑈 𝑥0 ))
62, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥𝑈 𝑥0 ))
71, 6mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑈 𝑥0 )
8 lssatomic.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
983ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
1023ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑈𝑆)
11 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥𝑈)
12 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1312, 4lssel 20914 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
1410, 11, 13syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
15 simp3 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥0 )
16 eqid 2726 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17 lssatomic.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
1812, 16, 3, 17lsatlspsn2 38690 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
199, 14, 15, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
204, 16, 9, 10, 11ellspsn5 20973 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
21 sseq1 4005 . . . . 5 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑞𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
2221rspcev 3608 . . . 4 ((((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
2319, 20, 22syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
2423rexlimdv3a 3149 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑈 𝑥0 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈))
257, 24mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  wss 3947  {csn 4633  cfv 6554  Basecbs 17213  0gc0g 17454  LModclmod 20836  LSubSpclss 20908  LSpanclspn 20948  LSAtomsclsa 38672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lsatoms 38674
This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  38747  dochexmidlem5  41163
  Copyright terms: Public domain W3C validator