Theorem lssatomic 40036

Description: The lattice of subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. (shatomici 32942 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssatomic.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatomic.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssatomic.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatomic.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssatomic.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssatomic.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lssatomic	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑆(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem lssatomic

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssatomic.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
2		lssatomic.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lssatomic.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lssatomic.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5	3, 4	lssne0 21206	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 ))
6	2, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 ))
7	1, 6	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 )
8		lssatomic.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
10	2	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ 𝑆)
11		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑈)
12		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
13	12, 4	lssel 21192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
14	10, 11, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
15		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17		lssatomic.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
18	12, 16, 3, 17	lsatlspsn2 40017	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
19	9, 14, 15, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
20	4, 16, 9, 10, 11	ellspsn5 21251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
21		sseq1 3956	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
22	21	rspcev 3577	. . . 4 ⊢ ((((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)
23	19, 20, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)
24	23	rexlimdv3a 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈))
25	7, 24	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  LModclmod 21115  LSubSpclss 21186  LSpanclspn 21226  LSAtomsclsa 39999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lsatoms 40001

This theorem is used by:  lsatcvatlem  40074  dochexmidlem5  42489