Theorem lssatomic 35032

Description: The lattice of subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. (shatomici 29742 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssatomic.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatomic.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssatomic.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatomic.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssatomic.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssatomic.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lssatomic	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑆(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem lssatomic

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssatomic.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
2		lssatomic.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lssatomic.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lssatomic.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5	3, 4	lssne0 19269	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 ))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 ))
7	1, 6	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 )
8		lssatomic.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
10	2	3ad2ant1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ 𝑆)
11		simp2 1168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑈)
12		eqid 2799	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
13	12, 4	lssel 19256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
14	10, 11, 13	syl2anc 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
15		simp3 1169	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
16		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17		lssatomic.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
18	12, 16, 3, 17	lsatlspsn2 35013	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
19	9, 14, 15, 18	syl3anc 1491	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
20	4, 16, 9, 10, 11	lspsnel5a 19317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
21		sseq1 3822	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
22	21	rspcev 3497	. . . 4 ⊢ ((((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)
23	19, 20, 22	syl2anc 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)
24	23	rexlimdv3a 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈))
25	7, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3769  {csn 4368  ‘cfv 6101  Basecbs 16184  0_gc0g 16415  LModclmod 19181  LSubSpclss 19250  LSpanclspn 19292  LSAtomsclsa 34995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-lsatoms 34997

This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  35070  dochexmidlem5  37485