Theorem lssatomic 39599

Description: The lattice of subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. (shatomici 32507 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssatomic.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatomic.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssatomic.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatomic.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssatomic.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssatomic.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lssatomic	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑆(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem lssatomic

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssatomic.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
2		lssatomic.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lssatomic.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lssatomic.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5	3, 4	lssne0 20998	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 ))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 ))
7	1, 6	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 )
8		lssatomic.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
10	2	3ad2ant1 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ 𝑆)
11		simp2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑈)
12		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
13	12, 4	lssel 20984	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
14	10, 11, 13	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
15		simp3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17		lssatomic.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
18	12, 16, 3, 17	lsatlspsn2 39580	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
19	9, 14, 15, 18	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
20	4, 16, 9, 10, 11	ellspsn5 21043	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
21		sseq1 3961	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
22	21	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ ((((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)
23	19, 20, 22	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)
24	23	rexlimdv3a 3166	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈))
25	7, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3904  {csn 4581  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  LModclmod 20907  LSubSpclss 20978  LSpanclspn 21018  LSAtomsclsa 39562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lsatoms 39564

This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  39637  dochexmidlem5  42052