Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssatomic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssatomic 35032
Description: The lattice of subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. (shatomici 29742 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssatomic.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatomic.o 0 = (0g𝑊)
lssatomic.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatomic.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssatomic.u (𝜑𝑈𝑆)
lssatomic.n (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
Assertion
Ref Expression
lssatomic (𝜑 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑆(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem lssatomic
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssatomic.n . . 3 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
2 lssatomic.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
3 lssatomic.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
4 lssatomic.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
53, 4lssne0 19269 . . . 4 (𝑈𝑆 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥𝑈 𝑥0 ))
62, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥𝑈 𝑥0 ))
71, 6mpbid 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑈 𝑥0 )
8 lssatomic.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
983ad2ant1 1164 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
1023ad2ant1 1164 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑈𝑆)
11 simp2 1168 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥𝑈)
12 eqid 2799 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1312, 4lssel 19256 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
1410, 11, 13syl2anc 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
15 simp3 1169 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → 𝑥0 )
16 eqid 2799 . . . . . 6 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17 lssatomic.a . . . . . 6 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
1812, 16, 3, 17lsatlspsn2 35013 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
199, 14, 15, 18syl3anc 1491 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
204, 16, 9, 10, 11lspsnel5a 19317 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
21 sseq1 3822 . . . . 5 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑞𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
2221rspcev 3497 . . . 4 ((((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
2319, 20, 22syl2anc 580 . . 3 ((𝜑𝑥𝑈𝑥0 ) → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
2423rexlimdv3a 3214 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑈 𝑥0 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈))
257, 24mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 𝑞𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wrex 3090  wss 3769  {csn 4368  cfv 6101  Basecbs 16184  0gc0g 16415  LModclmod 19181  LSubSpclss 19250  LSpanclspn 19292  LSAtomsclsa 34995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-lsatoms 34997
This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  35070  dochexmidlem5  37485
  Copyright terms: Public domain W3C validator