Theorem lssatomic 39381

Description: The lattice of subspaces is atomic, i.e. any nonzero element is greater than or equal to some atom. (shatomici 32445 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssatomic.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssatomic.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssatomic.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lssatomic.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssatomic.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssatomic.n	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lssatomic	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑆(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem lssatomic

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssatomic.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })
2		lssatomic.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lssatomic.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		lssatomic.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5	3, 4	lssne0 20914	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 ))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 ))
7	1, 6	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 )
8		lssatomic.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
10	2	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ 𝑆)
11		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑈)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
13	12, 4	lssel 20900	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
14	10, 11, 13	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
15		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → 𝑥 ≠ 0 )
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
17		lssatomic.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
18	12, 16, 3, 17	lsatlspsn2 39362	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
19	9, 14, 15, 18	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
20	4, 16, 9, 10, 11	ellspsn5 20959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
21		sseq1 3961	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) → (𝑞 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈))
22	21	rspcev 3578	. . . 4 ⊢ ((((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ∈ 𝐴 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑥}) ⊆ 𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)
23	19, 20, 22	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)
24	23	rexlimdv3a 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ≠ 0 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈))
25	7, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑞 ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  LModclmod 20823  LSubSpclss 20894  LSpanclspn 20934  LSAtomsclsa 39344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lsatoms 39346

This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  39419  dochexmidlem5  41834