Theorem mgmidprnd 18851

Description: Range of an operation with a left and right identity element. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by AV, 16-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmidpfod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mgmidpfod.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mgmidpfod.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
mgmidpfod.e	⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
mgmidpfod.f	⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mgmidprnd	⊢ (𝜑 → ran ⨣ = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑒,𝑥   𝜑,𝑒,𝑥   ⨣ ,𝑒,𝑥

Allowed substitution hints:   + (𝑥, 𝑒)   𝐺(𝑥, 𝑒)

Proof of Theorem mgmidprnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmidpfod.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mgmidpfod.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mgmidpfod.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
4		mgmidpfod.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
5		mgmidpfod.f	. . 3 ⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	mgmidpfod 18850	. 2 ⊢ (𝜑 → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)
7		forn 6797	. 2 ⊢ ( ⨣ :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵 → ran ⨣ = 𝐵)
8	6, 7	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ran ⨣ = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   × cxp 5649  ran crn 5652  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  +_𝑓cplusf 18806  Mgmcmgm 18807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fo 6543  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-plusf 18808  df-mgm 18809

This theorem is used by: (None)