Theorem mgmfod 18866

Description: The operation of a magma with identity is an onto function (assuming it is a function). (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by AV, 16-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmidpfod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mgmidpfod.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mgmidpfod.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
mgmidpfod.e	⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
mgmfod.f	⊢ (𝜑 → + Fn (𝐵 × 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
mgmfod	⊢ (𝜑 → + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑒,𝑥   𝜑,𝑒,𝑥   𝑒,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   + (𝑥, 𝑒)

Proof of Theorem mgmfod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmidpfod.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mgmidpfod.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mgmidpfod.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
4		mgmidpfod.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	mgmidpfod 18864	. 2 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)
7		mgmfod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → + Fn (𝐵 × 𝐵))
8	1, 2, 5	plusfeq 18831	. . . . 5 ⊢ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) → (+𝑓‘𝐺) = + )
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) = + )
10	9	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+𝑓‘𝐺))
11		foeq1 6795	. . 3 ⊢ ( + = (+𝑓‘𝐺) → ( + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵 ↔ (+𝑓‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵 ↔ (+𝑓‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵))
13	6, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   × cxp 5648   Fn wfn 6536  –onto→wfo 6539  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  +_gcplusg 17435  +_𝑓cplusf 18820  Mgmcmgm 18821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fo 6547  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-plusf 18822  df-mgm 18823

This theorem is used by:  mndfo  18955