Theorem mgmfod 18762

Description: The operation of a magma with identity is an onto function (assuming it is a function). (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by AV, 16-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmidpfod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mgmidpfod.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mgmidpfod.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
mgmidpfod.e	⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
mgmfod.f	⊢ (𝜑 → + Fn (𝐵 × 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
mgmfod	⊢ (𝜑 → + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑒,𝑥   𝜑,𝑒,𝑥   𝑒,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   + (𝑥, 𝑒)

Proof of Theorem mgmfod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmidpfod.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mgmidpfod.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mgmidpfod.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
4		mgmidpfod.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	mgmidpfod 18760	. 2 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)
7		mgmfod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → + Fn (𝐵 × 𝐵))
8	1, 2, 5	plusfeq 18728	. . . . 5 ⊢ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) → (+𝑓‘𝐺) = + )
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) = + )
10	9	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+𝑓‘𝐺))
11		foeq1 6792	. . 3 ⊢ ( + = (+𝑓‘𝐺) → ( + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵 ↔ (+𝑓‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵 ↔ (+𝑓‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵))
13	6, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   × cxp 5661   Fn wfn 6535  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  +_𝑓cplusf 18717  Mgmcmgm 18718

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fo 6546  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-plusf 18719  df-mgm 18720

This theorem is used by:  mndfo  18849