Theorem mgpval 20059

Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpval	⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)

Proof of Theorem mgpval

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.1	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑟 = 𝑅)
3		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = (.r‘𝑅))
4		mgpval.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	3, 4	eqtr4di 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = · )
6	5	opeq2d 4832	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩ = ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
7	2, 6	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
8		df-mgp 20057	. . . 4 ⊢ mulGrp = (𝑟 ∈ V ↦ (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩))
9		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6929	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
11		fvprc 6814	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
12		reldmsets 17073	. . . . 5 ⊢ Rel dom sSet
13	12	ovprc1 7385	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) = ∅)
14	11, 13	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
15	10, 14	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
16	1, 15	eqtri 2754	1 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4283  ⟨cop 4582  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   sSet csts 17071  ndxcnx 17101  +_gcplusg 17158  ._rcmulr 17159  mulGrpcmgp 20056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-sets 17072  df-mgp 20057

This theorem is referenced by:  mgpplusg  20060  mgpbas  20061  mgpsca  20062  mgptset  20063  mgpds  20065  mgpress  20066