Theorem mgpval 19795

Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpval	⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)

Proof of Theorem mgpval

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.1	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑟 = 𝑅)
3		fveq2 6811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = (.r‘𝑅))
4		mgpval.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	3, 4	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = · )
6	5	opeq2d 4821	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩ = ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
7	2, 6	oveq12d 7334	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
8		df-mgp 19793	. . . 4 ⊢ mulGrp = (𝑟 ∈ V ↦ (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩))
9		ovex 7349	. . . 4 ⊢ (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6914	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
11		fvprc 6803	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
12		reldmsets 16940	. . . . 5 ⊢ Rel dom sSet
13	12	ovprc1 7355	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) = ∅)
14	11, 13	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
15	10, 14	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
16	1, 15	eqtri 2764	1 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3440  ∅c0 4266  ⟨cop 4576  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316   sSet csts 16938  ndxcnx 16968  +_gcplusg 17036  ._rcmulr 17037  mulGrpcmgp 19792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pr 5366

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3442  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-id 5506  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fv 6473  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-sets 16939  df-mgp 19793

This theorem is referenced by:  mgpplusg  19796  mgplemOLD  19797  mgpbas  19798  mgpsca  19800  mgptset  19802  mgpds  19805  mgpress  19807  mgpressOLD  19808