Theorem mgpval 20059

Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpval	⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)

Proof of Theorem mgpval

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.1	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑟 = 𝑅)
3		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = (.r‘𝑅))
4		mgpval.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	3, 4	eqtr4di 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = · )
6	5	opeq2d 4847	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩ = ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
7	2, 6	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
8		df-mgp 20057	. . . 4 ⊢ mulGrp = (𝑟 ∈ V ↦ (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩))
9		ovex 7423	. . . 4 ⊢ (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6971	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
11		fvprc 6853	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
12		reldmsets 17142	. . . . 5 ⊢ Rel dom sSet
13	12	ovprc1 7429	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) = ∅)
14	11, 13	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
15	10, 14	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
16	1, 15	eqtri 2753	1 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   sSet csts 17140  ndxcnx 17170  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  mulGrpcmgp 20056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-sets 17141  df-mgp 20057

This theorem is referenced by:  mgpplusg  20060  mgpbas  20061  mgpsca  20062  mgptset  20063  mgpds  20065  mgpress  20066