Theorem mgpval 20089

Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpval	⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)

Proof of Theorem mgpval

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.1	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑟 = 𝑅)
3		fveq2 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = (.r‘𝑅))
4		mgpval.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	3, 4	eqtr4di 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = · )
6	5	opeq2d 4882	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩ = ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
7	2, 6	oveq12d 7437	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
8		df-mgp 20087	. . . 4 ⊢ mulGrp = (𝑟 ∈ V ↦ (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩))
9		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 7004	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
11		fvprc 6888	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
12		reldmsets 17137	. . . . 5 ⊢ Rel dom sSet
13	12	ovprc1 7458	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) = ∅)
14	11, 13	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
15	10, 14	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
16	1, 15	eqtri 2753	1 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  ∅c0 4322  ⟨cop 4636  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   sSet csts 17135  ndxcnx 17165  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  mulGrpcmgp 20086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-sets 17136  df-mgp 20087

This theorem is referenced by:  mgpplusg  20090  mgplemOLD  20091  mgpbas  20092  mgpsca  20094  mgptset  20096  mgpds  20099  mgpress  20101  mgpressOLD  20102