Theorem mgpress 20123

Description: Subgroup commutes with the multiplicative group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpress.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
mgpress.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpress	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mgpress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpress.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
3	1	fvexi 6842	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
5		simplr 774	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑊)
6		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 ↾s 𝐴)
7		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbas 20118	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
9	6, 8	ressid2 17196	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = 𝑀)
10	2, 4, 5, 9	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = 𝑀)
11		simpll 772	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑉)
12		mgpress.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
13	12, 7	ressid2 17196	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
14	2, 11, 5, 13	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = 𝑅)
15	14	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑅))
16	1, 10, 15	3eqtr4a 2800	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
17		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpval 20116	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
19	18	oveq1i 7367	. . 3 ⊢ (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩)
20		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
21	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
22		simplr 774	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑊)
23	6, 8	ressval2 17197	. . . 4 ⊢ ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
25		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
26		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
27	25, 26	mgpval 20116	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩)
28		simpll 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑉)
29	12, 7	ressval2 17197	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
30	20, 28, 22, 29	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
31	12, 17	ressmulr 17262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
32	31	eqcomd 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
33	32	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
34	33	opeq2d 4812	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
35	30, 34	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
36	27, 35	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
37		basendxnplusgndx 17242	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
38	37	necomi 2988	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
39		fvex 6841	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
40		fvex 6841	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
41	40	inex2 5247	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V
42		fvex 6841	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
43		fvex 6841	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
44	42, 43	setscom 17142	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) ∧ ((.r‘𝑅) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
45	39, 41, 44	mpanr12 711	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
46	28, 38, 45	sylancl 592	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
47	36, 46	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
48	19, 24, 47	3eqtr4a 2800	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
49	16, 48	pm2.61dan 818	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ⟨cop 4562  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   sSet csts 17125  ndxcnx 17155  Basecbs 17171   ↾_s cress 17192  +_gcplusg 17212  ._rcmulr 17213  mulGrpcmgp 20113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-mgp 20114

This theorem is referenced by:  rdivmuldivd  20385  subrgcrng  20548  subrgsubm  20558  resrhm  20574  resrhm2b  20575  subdrgint  20776  nn0srg  21413  rge0srg  21414  zringmpg  21447  m2cpmmhm  22729  cntrcrng  33163  ressply1evls1  33657  mplmonprod  33747  2sqr3minply  33973  xrge0iifmhm  34132  xrge0pluscn  34133  xrge0tmd  34138