MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpress 18973
Description: Subgroup commutes with the multiplication group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpress.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
mgpress.2 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mgpress ((𝑅𝑉𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mgpress
StepHypRef Expression
1 mgpress.2 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 simpr 477 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
31fvexi 6513 . . . . 5 𝑀 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
5 simplr 756 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴𝑊)
6 eqid 2778 . . . . 5 (𝑀s 𝐴) = (𝑀s 𝐴)
7 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
81, 7mgpbas 18968 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
96, 8ressid2 16408 . . . 4 (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑀 ∈ V ∧ 𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = 𝑀)
102, 4, 5, 9syl3anc 1351 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = 𝑀)
11 simpll 754 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅𝑉)
12 mgpress.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
1312, 7ressid2 16408 . . . . 5 (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑅𝑉𝐴𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
142, 11, 5, 13syl3anc 1351 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = 𝑅)
1514fveq2d 6503 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑅))
161, 10, 153eqtr4a 2840 . 2 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
17 eqid 2778 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
181, 17mgpval 18965 . . . 4 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
1918oveq1i 6986 . . 3 (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩)
20 simpr 477 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
213a1i 11 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
22 simplr 756 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴𝑊)
236, 8ressval2 16409 . . . 4 ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑀 ∈ V ∧ 𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1351 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
25 eqid 2778 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
26 eqid 2778 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2725, 26mgpval 18965 . . . . 5 (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩)
28 simpll 754 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅𝑉)
2912, 7ressval2 16409 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑅𝑉𝐴𝑊) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
3020, 28, 22, 29syl3anc 1351 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
3112, 17ressmulr 16481 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑊 → (.r𝑅) = (.r𝑆))
3231eqcomd 2784 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊 → (.r𝑆) = (.r𝑅))
3332ad2antlr 714 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (.r𝑆) = (.r𝑅))
3433opeq2d 4684 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
3530, 34oveq12d 6994 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
3627, 35syl5eq 2826 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
37 1ne2 11655 . . . . . . 7 1 ≠ 2
3837necomi 3021 . . . . . 6 2 ≠ 1
39 plusgndx 16451 . . . . . . 7 (+g‘ndx) = 2
40 basendx 16403 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
4139, 40neeq12i 3033 . . . . . 6 ((+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ↔ 2 ≠ 1)
4238, 41mpbir 223 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
43 fvex 6512 . . . . . 6 (.r𝑅) ∈ V
44 fvex 6512 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
4544inex2 5079 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V
46 fvex 6512 . . . . . . 7 (+g‘ndx) ∈ V
47 fvex 6512 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ∈ V
4846, 47setscom 16383 . . . . . 6 (((𝑅𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) ∧ ((.r𝑅) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
4943, 45, 48mpanr12 692 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
5028, 42, 49sylancl 577 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
5136, 50eqtr4d 2817 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
5219, 24, 513eqtr4a 2840 . 2 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
5316, 52pm2.61dan 800 1 ((𝑅𝑉𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  Vcvv 3415  cin 3828  wss 3829  cop 4447  cfv 6188  (class class class)co 6976  1c1 10336  2c2 11495  ndxcnx 16336   sSet csts 16337  Basecbs 16339  s cress 16340  +gcplusg 16421  .rcmulr 16422  mulGrpcmgp 18962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-mgp 18963
This theorem is referenced by:  subrgcrng  19262  subrgsubm  19271  resrhm  19287  subdrgint  19304  nn0srg  20317  rge0srg  20318  zringmpg  20341  m2cpmmhm  21057  cntrcrng  30541  rdivmuldivd  30547  xrge0iifmhm  30832  xrge0pluscn  30833  xrge0tmd  30839
  Copyright terms: Public domain W3C validator