Theorem mgpress 20131

Description: Subgroup commutes with the multiplicative group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpress.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
mgpress.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpress	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mgpress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpress.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
3	1	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
5		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑊)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 ↾s 𝐴)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbas 20126	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
9	6, 8	ressid2 17204	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = 𝑀)
10	2, 4, 5, 9	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = 𝑀)
11		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑉)
12		mgpress.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
13	12, 7	ressid2 17204	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
14	2, 11, 5, 13	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = 𝑅)
15	14	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑅))
16	1, 10, 15	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpval 20124	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
19	18	oveq1i 7377	. . 3 ⊢ (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩)
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
21	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
22		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑊)
23	6, 8	ressval2 17205	. . . 4 ⊢ ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
26		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
27	25, 26	mgpval 20124	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩)
28		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑉)
29	12, 7	ressval2 17205	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
30	20, 28, 22, 29	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
31	12, 17	ressmulr 17270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
32	31	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
33	32	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
34	33	opeq2d 4823	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
35	30, 34	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
36	27, 35	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
37		basendxnplusgndx 17250	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
38	37	necomi 2986	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
39		fvex 6853	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
40		fvex 6853	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
41	40	inex2 5259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V
42		fvex 6853	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
43		fvex 6853	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
44	42, 43	setscom 17150	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) ∧ ((.r‘𝑅) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
45	39, 41, 44	mpanr12 706	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
46	28, 38, 45	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
47	36, 46	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
48	19, 24, 47	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
49	16, 48	pm2.61dan 813	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ⟨cop 4573  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   sSet csts 17133  ndxcnx 17163  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  mulGrpcmgp 20121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-mgp 20122

This theorem is referenced by:  rdivmuldivd  20393  subrgcrng  20552  subrgsubm  20562  resrhm  20578  resrhm2b  20579  subdrgint  20780  nn0srg  21417  rge0srg  21418  zringmpg  21451  m2cpmmhm  22710  cntrcrng  33142  ressply1evls1  33625  mplmonprod  33698  2sqr3minply  33924  xrge0iifmhm  34083  xrge0pluscn  34084  xrge0tmd  34089