MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpress 20051
Description: Subgroup commutes with the multiplicative group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpress.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
mgpress.2 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
mgpress ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))

Proof of Theorem mgpress
StepHypRef Expression
1 mgpress.2 . . 3 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
2 simpr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴)
31fvexi 6898 . . . . 5 𝑀 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ V)
5 simplr 766 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
6 eqid 2726 . . . . 5 (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
81, 7mgpbas 20042 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘€)
96, 8ressid2 17183 . . . 4 (((Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = 𝑀)
102, 4, 5, 9syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = 𝑀)
11 simpll 764 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
12 mgpress.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
1312, 7ressid2 17183 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ 𝑆 = 𝑅)
142, 11, 5, 13syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 = 𝑅)
1514fveq2d 6888 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘…))
161, 10, 153eqtr4a 2792 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
17 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
181, 17mgpval 20039 . . . 4 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)
1918oveq1i 7414 . . 3 (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩)
20 simpr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴)
213a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ V)
22 simplr 766 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
236, 8ressval2 17184 . . . 4 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
25 eqid 2726 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘†)
26 eqid 2726 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
2725, 26mgpval 20039 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘†) = (𝑆 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩)
28 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
2912, 7ressval2 17184 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
3020, 28, 22, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
3112, 17ressmulr 17258 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
3231eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘…))
3332ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘…))
3433opeq2d 4875 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩ = ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)
3530, 34oveq12d 7422 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
3627, 35eqtrid 2778 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
37 basendxnplusgndx 17233 . . . . . 6 (Baseβ€˜ndx) β‰  (+gβ€˜ndx)
3837necomi 2989 . . . . 5 (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
39 fvex 6897 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) ∈ V
40 fvex 6897 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
4140inex2 5311 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…)) ∈ V
42 fvex 6897 . . . . . . 7 (+gβ€˜ndx) ∈ V
43 fvex 6897 . . . . . . 7 (Baseβ€˜ndx) ∈ V
4442, 43setscom 17119 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) ∧ ((.rβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…)) ∈ V)) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
4539, 41, 44mpanr12 702 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
4628, 38, 45sylancl 585 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
4736, 46eqtr4d 2769 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
4819, 24, 473eqtr4a 2792 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
4916, 48pm2.61dan 810 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βŸ¨cop 4629  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   sSet csts 17102  ndxcnx 17132  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204  mulGrpcmgp 20036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-mgp 20037
This theorem is referenced by:  rdivmuldivd  20312  subrgcrng  20474  subrgsubm  20484  resrhm  20500  resrhm2b  20501  subdrgint  20651  nn0srg  21326  rge0srg  21327  zringmpg  21353  m2cpmmhm  22597  cntrcrng  32717  xrge0iifmhm  33448  xrge0pluscn  33449  xrge0tmd  33454
  Copyright terms: Public domain W3C validator