MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpress 19247
Description: Subgroup commutes with the multiplication group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpress.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
mgpress.2 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mgpress ((𝑅𝑉𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mgpress
StepHypRef Expression
1 mgpress.2 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 simpr 488 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
31fvexi 6663 . . . . 5 𝑀 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
5 simplr 768 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴𝑊)
6 eqid 2801 . . . . 5 (𝑀s 𝐴) = (𝑀s 𝐴)
7 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
81, 7mgpbas 19242 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
96, 8ressid2 16548 . . . 4 (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑀 ∈ V ∧ 𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = 𝑀)
102, 4, 5, 9syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = 𝑀)
11 simpll 766 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅𝑉)
12 mgpress.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
1312, 7ressid2 16548 . . . . 5 (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑅𝑉𝐴𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
142, 11, 5, 13syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = 𝑅)
1514fveq2d 6653 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑅))
161, 10, 153eqtr4a 2862 . 2 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
17 eqid 2801 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
181, 17mgpval 19239 . . . 4 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
1918oveq1i 7149 . . 3 (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩)
20 simpr 488 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
213a1i 11 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
22 simplr 768 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴𝑊)
236, 8ressval2 16549 . . . 4 ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑀 ∈ V ∧ 𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
25 eqid 2801 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
26 eqid 2801 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2725, 26mgpval 19239 . . . . 5 (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩)
28 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅𝑉)
2912, 7ressval2 16549 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑅𝑉𝐴𝑊) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
3020, 28, 22, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
3112, 17ressmulr 16621 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑊 → (.r𝑅) = (.r𝑆))
3231eqcomd 2807 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊 → (.r𝑆) = (.r𝑅))
3332ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (.r𝑆) = (.r𝑅))
3433opeq2d 4775 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
3530, 34oveq12d 7157 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
3627, 35syl5eq 2848 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
37 1ne2 11837 . . . . . . 7 1 ≠ 2
3837necomi 3044 . . . . . 6 2 ≠ 1
39 plusgndx 16591 . . . . . . 7 (+g‘ndx) = 2
40 basendx 16543 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
4139, 40neeq12i 3056 . . . . . 6 ((+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ↔ 2 ≠ 1)
4238, 41mpbir 234 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
43 fvex 6662 . . . . . 6 (.r𝑅) ∈ V
44 fvex 6662 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
4544inex2 5189 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V
46 fvex 6662 . . . . . . 7 (+g‘ndx) ∈ V
47 fvex 6662 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ∈ V
4846, 47setscom 16523 . . . . . 6 (((𝑅𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) ∧ ((.r𝑅) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
4943, 45, 48mpanr12 704 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
5028, 42, 49sylancl 589 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
5136, 50eqtr4d 2839 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
5219, 24, 513eqtr4a 2862 . 2 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
5316, 52pm2.61dan 812 1 ((𝑅𝑉𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  Vcvv 3444  cin 3883  wss 3884  cop 4534  cfv 6328  (class class class)co 7139  1c1 10531  2c2 11684  ndxcnx 16476   sSet csts 16477  Basecbs 16479  s cress 16480  +gcplusg 16561  .rcmulr 16562  mulGrpcmgp 19236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-mgp 19237
This theorem is referenced by:  subrgcrng  19536  subrgsubm  19545  resrhm  19561  subdrgint  19579  nn0srg  20165  rge0srg  20166  zringmpg  20189  m2cpmmhm  21354  cntrcrng  30751  rdivmuldivd  30917  xrge0iifmhm  31296  xrge0pluscn  31297  xrge0tmd  31302
  Copyright terms: Public domain W3C validator