Theorem mgpress 20083

Description: Subgroup commutes with the multiplicative group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpress.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
mgpress.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpress	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mgpress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpress.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
3	1	fvexi 6846	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
5		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑊)
6		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 ↾s 𝐴)
7		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbas 20078	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
9	6, 8	ressid2 17159	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = 𝑀)
10	2, 4, 5, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = 𝑀)
11		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑉)
12		mgpress.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
13	12, 7	ressid2 17159	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
14	2, 11, 5, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = 𝑅)
15	14	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑅))
16	1, 10, 15	3eqtr4a 2795	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
17		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpval 20076	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
19	18	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩)
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
21	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
22		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑊)
23	6, 8	ressval2 17160	. . . 4 ⊢ ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
25		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
26		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
27	25, 26	mgpval 20076	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩)
28		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑉)
29	12, 7	ressval2 17160	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
30	20, 28, 22, 29	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
31	12, 17	ressmulr 17225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
32	31	eqcomd 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
33	32	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
34	33	opeq2d 4834	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
35	30, 34	oveq12d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
36	27, 35	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
37		basendxnplusgndx 17205	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
38	37	necomi 2984	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
39		fvex 6845	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
40		fvex 6845	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
41	40	inex2 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V
42		fvex 6845	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
43		fvex 6845	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
44	42, 43	setscom 17105	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) ∧ ((.r‘𝑅) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
45	39, 41, 44	mpanr12 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
46	28, 38, 45	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
47	36, 46	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
48	19, 24, 47	3eqtr4a 2795	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
49	16, 48	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4584  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   sSet csts 17088  ndxcnx 17118  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  +_gcplusg 17175  ._rcmulr 17176  mulGrpcmgp 20073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-mgp 20074

This theorem is referenced by:  rdivmuldivd  20347  subrgcrng  20506  subrgsubm  20516  resrhm  20532  resrhm2b  20533  subdrgint  20734  nn0srg  21390  rge0srg  21391  zringmpg  21424  m2cpmmhm  22687  cntrcrng  33112  ressply1evls1  33595  2sqr3minply  33886  xrge0iifmhm  34045  xrge0pluscn  34046  xrge0tmd  34051