Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpress 19247
 Description: Subgroup commutes with the multiplication group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpress.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
mgpress.2 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mgpress ((𝑅𝑉𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mgpress
StepHypRef Expression
1 mgpress.2 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 simpr 488 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
31fvexi 6663 . . . . 5 𝑀 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
5 simplr 768 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴𝑊)
6 eqid 2801 . . . . 5 (𝑀s 𝐴) = (𝑀s 𝐴)
7 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
81, 7mgpbas 19242 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
96, 8ressid2 16548 . . . 4 (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑀 ∈ V ∧ 𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = 𝑀)
102, 4, 5, 9syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = 𝑀)
11 simpll 766 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅𝑉)
12 mgpress.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
1312, 7ressid2 16548 . . . . 5 (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑅𝑉𝐴𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
142, 11, 5, 13syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = 𝑅)
1514fveq2d 6653 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑅))
161, 10, 153eqtr4a 2862 . 2 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
17 eqid 2801 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
181, 17mgpval 19239 . . . 4 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
1918oveq1i 7149 . . 3 (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩)
20 simpr 488 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
213a1i 11 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
22 simplr 768 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴𝑊)
236, 8ressval2 16549 . . . 4 ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑀 ∈ V ∧ 𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
25 eqid 2801 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
26 eqid 2801 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2725, 26mgpval 19239 . . . . 5 (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩)
28 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅𝑉)
2912, 7ressval2 16549 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑅𝑉𝐴𝑊) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
3020, 28, 22, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
3112, 17ressmulr 16621 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑊 → (.r𝑅) = (.r𝑆))
3231eqcomd 2807 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊 → (.r𝑆) = (.r𝑅))
3332ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (.r𝑆) = (.r𝑅))
3433opeq2d 4775 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
3530, 34oveq12d 7157 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
3627, 35syl5eq 2848 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
37 1ne2 11837 . . . . . . 7 1 ≠ 2
3837necomi 3044 . . . . . 6 2 ≠ 1
39 plusgndx 16591 . . . . . . 7 (+g‘ndx) = 2
40 basendx 16543 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
4139, 40neeq12i 3056 . . . . . 6 ((+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ↔ 2 ≠ 1)
4238, 41mpbir 234 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
43 fvex 6662 . . . . . 6 (.r𝑅) ∈ V
44 fvex 6662 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
4544inex2 5189 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V
46 fvex 6662 . . . . . . 7 (+g‘ndx) ∈ V
47 fvex 6662 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ∈ V
4846, 47setscom 16523 . . . . . 6 (((𝑅𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) ∧ ((.r𝑅) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
4943, 45, 48mpanr12 704 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
5028, 42, 49sylancl 589 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
5136, 50eqtr4d 2839 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
5219, 24, 513eqtr4a 2862 . 2 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
5316, 52pm2.61dan 812 1 ((𝑅𝑉𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  Vcvv 3444   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ⟨cop 4534  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1c1 10531  2c2 11684  ndxcnx 16476   sSet csts 16477  Basecbs 16479   ↾s cress 16480  +gcplusg 16561  .rcmulr 16562  mulGrpcmgp 19236 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-mgp 19237 This theorem is referenced by:  subrgcrng  19536  subrgsubm  19545  resrhm  19561  subdrgint  19579  nn0srg  20165  rge0srg  20166  zringmpg  20189  m2cpmmhm  21354  cntrcrng  30751  rdivmuldivd  30917  xrge0iifmhm  31296  xrge0pluscn  31297  xrge0tmd  31302
 Copyright terms: Public domain W3C validator