Theorem mgpress 18973

Description: Subgroup commutes with the multiplication group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpress.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
mgpress.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpress	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mgpress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpress.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
3	1	fvexi 6513	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
5		simplr 756	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑊)
6		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 ↾s 𝐴)
7		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbas 18968	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
9	6, 8	ressid2 16408	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = 𝑀)
10	2, 4, 5, 9	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = 𝑀)
11		simpll 754	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑉)
12		mgpress.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
13	12, 7	ressid2 16408	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
14	2, 11, 5, 13	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = 𝑅)
15	14	fveq2d 6503	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑅))
16	1, 10, 15	3eqtr4a 2840	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
17		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpval 18965	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
19	18	oveq1i 6986	. . 3 ⊢ (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩)
20		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
21	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
22		simplr 756	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑊)
23	6, 8	ressval2 16409	. . . 4 ⊢ ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
25		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
26		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
27	25, 26	mgpval 18965	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩)
28		simpll 754	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑉)
29	12, 7	ressval2 16409	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
30	20, 28, 22, 29	syl3anc 1351	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
31	12, 17	ressmulr 16481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
32	31	eqcomd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
33	32	ad2antlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
34	33	opeq2d 4684	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
35	30, 34	oveq12d 6994	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
36	27, 35	syl5eq 2826	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
37		1ne2 11655	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
38	37	necomi 3021	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
39		plusgndx 16451	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) = 2
40		basendx 16403	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
41	39, 40	neeq12i 3033	. . . . . 6 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ↔ 2 ≠ 1)
42	38, 41	mpbir 223	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
43		fvex 6512	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
44		fvex 6512	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
45	44	inex2 5079	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V
46		fvex 6512	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
47		fvex 6512	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
48	46, 47	setscom 16383	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) ∧ ((.r‘𝑅) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
49	43, 45, 48	mpanr12 692	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
50	28, 42, 49	sylancl 577	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
51	36, 50	eqtr4d 2817	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
52	19, 24, 51	3eqtr4a 2840	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
53	16, 52	pm2.61dan 800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  Vcvv 3415   ∩ cin 3828   ⊆ wss 3829  ⟨cop 4447  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  1c1 10336  2c2 11495  ndxcnx 16336   sSet csts 16337  Basecbs 16339   ↾_s cress 16340  +_gcplusg 16421  ._rcmulr 16422  mulGrpcmgp 18962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-mgp 18963

This theorem is referenced by:  subrgcrng  19262  subrgsubm  19271  resrhm  19287  subdrgint  19304  nn0srg  20317  rge0srg  20318  zringmpg  20341  m2cpmmhm  21057  cntrcrng  30541  rdivmuldivd  30547  xrge0iifmhm  30832  xrge0pluscn  30833  xrge0tmd  30839