MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpress 20096
Description: Subgroup commutes with the multiplicative group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpress.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
mgpress.2 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
mgpress ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))

Proof of Theorem mgpress
StepHypRef Expression
1 mgpress.2 . . 3 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
2 simpr 483 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴)
31fvexi 6916 . . . . 5 𝑀 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ V)
5 simplr 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
6 eqid 2728 . . . . 5 (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
7 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
81, 7mgpbas 20087 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘€)
96, 8ressid2 17220 . . . 4 (((Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = 𝑀)
102, 4, 5, 9syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = 𝑀)
11 simpll 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
12 mgpress.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
1312, 7ressid2 17220 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ 𝑆 = 𝑅)
142, 11, 5, 13syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 = 𝑅)
1514fveq2d 6906 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘…))
161, 10, 153eqtr4a 2794 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
17 eqid 2728 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
181, 17mgpval 20084 . . . 4 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)
1918oveq1i 7436 . . 3 (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩)
20 simpr 483 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴)
213a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ V)
22 simplr 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
236, 8ressval2 17221 . . . 4 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
25 eqid 2728 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘†)
26 eqid 2728 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
2725, 26mgpval 20084 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘†) = (𝑆 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩)
28 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
2912, 7ressval2 17221 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
3020, 28, 22, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
3112, 17ressmulr 17295 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
3231eqcomd 2734 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘…))
3332ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘…))
3433opeq2d 4885 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩ = ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)
3530, 34oveq12d 7444 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
3627, 35eqtrid 2780 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
37 basendxnplusgndx 17270 . . . . . 6 (Baseβ€˜ndx) β‰  (+gβ€˜ndx)
3837necomi 2992 . . . . 5 (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
39 fvex 6915 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) ∈ V
40 fvex 6915 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
4140inex2 5322 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…)) ∈ V
42 fvex 6915 . . . . . . 7 (+gβ€˜ndx) ∈ V
43 fvex 6915 . . . . . . 7 (Baseβ€˜ndx) ∈ V
4442, 43setscom 17156 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) ∧ ((.rβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…)) ∈ V)) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
4539, 41, 44mpanr12 703 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
4628, 38, 45sylancl 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
4736, 46eqtr4d 2771 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
4819, 24, 473eqtr4a 2794 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
4916, 48pm2.61dan 811 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4638  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   sSet csts 17139  ndxcnx 17169  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  mulGrpcmgp 20081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-mgp 20082
This theorem is referenced by:  rdivmuldivd  20359  subrgcrng  20521  subrgsubm  20531  resrhm  20547  resrhm2b  20548  subdrgint  20698  nn0srg  21377  rge0srg  21378  zringmpg  21404  m2cpmmhm  22667  cntrcrng  32797  xrge0iifmhm  33573  xrge0pluscn  33574  xrge0tmd  33579
  Copyright terms: Public domain W3C validator