Theorem mgplemOLD 20044

Description: Obsolete version of setsplusg 19266 as of 18-Oct-2024. Lemma for mgpbas 20045. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgplemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
mgplemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
mgplemOLD.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
mgplemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Proof of Theorem mgplemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgplemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		mgplemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17139	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		mgplemOLD.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 17138	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 17232	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 3001	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 17151	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
10		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpval 20042	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑀) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2757	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ⟨cop 4629  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℕcn 12216  2c2 12271   sSet csts 17105  Slot cslot 17123  ndxcnx 17135  +_gcplusg 17206  ._rcmulr 17207  mulGrpcmgp 20039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-plusg 17219  df-mgp 20040

This theorem is referenced by:  mgpbasOLD  20046  mgpscaOLD  20048  mgptsetOLD  20050  mgpdsOLD  20053