Theorem mgplemOLD 19819

Description: Obsolete version of setsplusg 19050 as of 18-Oct-2024. Lemma for mgpbas 19820. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgplemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
mgplemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
mgplemOLD.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
mgplemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Proof of Theorem mgplemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgplemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		mgplemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16995	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		mgplemOLD.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 16994	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 17085	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 17007	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
10		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpval 19817	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6832	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑀) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2768	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ⟨cop 4583  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  ℕcn 12078  2c2 12133   sSet csts 16961  Slot cslot 16979  ndxcnx 16991  +_gcplusg 17059  ._rcmulr 17060  mulGrpcmgp 19814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-1cn 11034  ax-addcl 11036

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-nn 12079  df-2 12141  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-plusg 17072  df-mgp 19815

This theorem is referenced by:  mgpbasOLD  19821  mgpscaOLD  19823  mgptsetOLD  19825  mgpdsOLD  19828