Theorem mgplemOLD 19725

Description: Obsolete version of setsplusg 18954 as of 18-Oct-2024. Lemma for mgpbas 19726. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgplemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
mgplemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
mgplemOLD.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
mgplemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Proof of Theorem mgplemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgplemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		mgplemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16898	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		mgplemOLD.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 16897	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 16988	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 3010	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 16910	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
10		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpval 19723	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6777	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑀) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2769	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ⟨cop 4567  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℕcn 11973  2c2 12028   sSet csts 16864  Slot cslot 16882  ndxcnx 16894  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  mulGrpcmgp 19720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-plusg 16975  df-mgp 19721

This theorem is referenced by:  mgpbasOLD  19727  mgpscaOLD  19729  mgptsetOLD  19731  mgpdsOLD  19734