Theorem mgplemOLD 20091

Description: Obsolete version of setsplusg 19313 as of 18-Oct-2024. Lemma for mgpbas 20092. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgplemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
mgplemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
mgplemOLD.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
mgplemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Proof of Theorem mgplemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgplemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		mgplemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17169	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		mgplemOLD.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 17168	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 17262	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 17181	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
10		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpval 20089	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6899	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑀) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2756	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ⟨cop 4636  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℕcn 12245  2c2 12300   sSet csts 17135  Slot cslot 17153  ndxcnx 17165  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  mulGrpcmgp 20086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-1cn 11198  ax-addcl 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-plusg 17249  df-mgp 20087

This theorem is referenced by:  mgpbasOLD  20093  mgpscaOLD  20095  mgptsetOLD  20097  mgpdsOLD  20100