Theorem mgplemOLD 20083

Description: Obsolete version of setsplusg 19305 as of 18-Oct-2024. Lemma for mgpbas 20084. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgplemOLD.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
mgplemOLD.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
mgplemOLD.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
mgplemOLD	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Proof of Theorem mgplemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgplemOLD.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		mgplemOLD.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17165	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		mgplemOLD.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 17164	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 17258	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 17177	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
10		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpval 20081	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6895	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑀) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2756	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ⟨cop 4630  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℕcn 12242  2c2 12297   sSet csts 17131  Slot cslot 17149  ndxcnx 17161  +_gcplusg 17232  ._rcmulr 17233  mulGrpcmgp 20078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-1cn 11196  ax-addcl 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-plusg 17245  df-mgp 20079

This theorem is referenced by:  mgpbasOLD  20085  mgpscaOLD  20087  mgptsetOLD  20089  mgpdsOLD  20092