MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpressOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpressOLD 20092
Description: Obsolete version of mgpress 20091 as of 18-Oct-2024. Subgroup commutes with the multiplication group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpress.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
mgpress.2 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
mgpressOLD ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))

Proof of Theorem mgpressOLD
StepHypRef Expression
1 mgpress.2 . . 3 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
2 simpr 483 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴)
31fvexi 6905 . . . . 5 𝑀 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ V)
5 simplr 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
6 eqid 2725 . . . . 5 (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
7 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
81, 7mgpbas 20082 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘€)
96, 8ressid2 17210 . . . 4 (((Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = 𝑀)
102, 4, 5, 9syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = 𝑀)
11 simpll 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
12 mgpress.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
1312, 7ressid2 17210 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ 𝑆 = 𝑅)
142, 11, 5, 13syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 = 𝑅)
1514fveq2d 6895 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘…))
161, 10, 153eqtr4a 2791 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
17 eqid 2725 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
181, 17mgpval 20079 . . . 4 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)
1918oveq1i 7425 . . 3 (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩)
20 simpr 483 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴)
213a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ V)
22 simplr 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
236, 8ressval2 17211 . . . 4 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
25 eqid 2725 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘†)
26 eqid 2725 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
2725, 26mgpval 20079 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘†) = (𝑆 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩)
28 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
2912, 7ressval2 17211 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
3020, 28, 22, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
3112, 17ressmulr 17285 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
3231eqcomd 2731 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘…))
3332ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘…))
3433opeq2d 4876 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩ = ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)
3530, 34oveq12d 7433 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
3627, 35eqtrid 2777 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
37 1ne2 12448 . . . . . . 7 1 β‰  2
3837necomi 2985 . . . . . 6 2 β‰  1
39 plusgndx 17256 . . . . . . 7 (+gβ€˜ndx) = 2
40 basendx 17186 . . . . . . 7 (Baseβ€˜ndx) = 1
4139, 40neeq12i 2997 . . . . . 6 ((+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx) ↔ 2 β‰  1)
4238, 41mpbir 230 . . . . 5 (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
43 fvex 6904 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) ∈ V
44 fvex 6904 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
4544inex2 5313 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…)) ∈ V
46 fvex 6904 . . . . . . 7 (+gβ€˜ndx) ∈ V
47 fvex 6904 . . . . . . 7 (Baseβ€˜ndx) ∈ V
4846, 47setscom 17146 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) ∧ ((.rβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…)) ∈ V)) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
4943, 45, 48mpanr12 703 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
5028, 42, 49sylancl 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
5136, 50eqtr4d 2768 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
5219, 24, 513eqtr4a 2791 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
5316, 52pm2.61dan 811 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βŸ¨cop 4630  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  1c1 11137  2c2 12295   sSet csts 17129  ndxcnx 17159  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  mulGrpcmgp 20076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-mgp 20077
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator