Theorem mgpressOLD 19626

Description: Obsolete version of mgpress 19625 as of 18-Oct-2024. Subgroup commutes with the multiplication group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpress.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
mgpress.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpressOLD	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mgpressOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpress.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
3	1	fvexi 6767	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
5		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑊)
6		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 ↾s 𝐴)
7		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbas 19616	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
9	6, 8	ressid2 16846	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = 𝑀)
10	2, 4, 5, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = 𝑀)
11		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑉)
12		mgpress.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
13	12, 7	ressid2 16846	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
14	2, 11, 5, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = 𝑅)
15	14	fveq2d 6757	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑅))
16	1, 10, 15	3eqtr4a 2806	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
17		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpval 19613	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
19	18	oveq1i 7262	. . 3 ⊢ (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩)
20		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
21	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
22		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑊)
23	6, 8	ressval2 16847	. . . 4 ⊢ ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
25		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
26		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
27	25, 26	mgpval 19613	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩)
28		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑉)
29	12, 7	ressval2 16847	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
30	20, 28, 22, 29	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
31	12, 17	ressmulr 16918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
32	31	eqcomd 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
33	32	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
34	33	opeq2d 4808	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
35	30, 34	oveq12d 7270	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
36	27, 35	eqtrid 2791	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
37		1ne2 12086	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
38	37	necomi 2998	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
39		plusgndx 16889	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) = 2
40		basendx 16824	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
41	39, 40	neeq12i 3010	. . . . . 6 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ↔ 2 ≠ 1)
42	38, 41	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
43		fvex 6766	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
44		fvex 6766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
45	44	inex2 5235	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V
46		fvex 6766	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
47		fvex 6766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
48	46, 47	setscom 16784	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) ∧ ((.r‘𝑅) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
49	43, 45, 48	mpanr12 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
50	28, 42, 49	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
51	36, 50	eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
52	19, 24, 51	3eqtr4a 2806	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
53	16, 52	pm2.61dan 813	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943  Vcvv 3423   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ⟨cop 4564  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252  1c1 10778  2c2 11933   sSet csts 16767  ndxcnx 16797  Basecbs 16815   ↾_s cress 16842  +_gcplusg 16863  ._rcmulr 16864  mulGrpcmgp 19610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-ress 16843  df-plusg 16876  df-mulr 16877  df-mgp 19611

This theorem is referenced by: (None)