MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpressOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpressOLD 20055
Description: Obsolete version of mgpress 20054 as of 18-Oct-2024. Subgroup commutes with the multiplication group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpress.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
mgpress.2 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
mgpressOLD ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))

Proof of Theorem mgpressOLD
StepHypRef Expression
1 mgpress.2 . . 3 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
2 simpr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴)
31fvexi 6899 . . . . 5 𝑀 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ V)
5 simplr 766 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
6 eqid 2726 . . . . 5 (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
81, 7mgpbas 20045 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘€)
96, 8ressid2 17186 . . . 4 (((Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = 𝑀)
102, 4, 5, 9syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = 𝑀)
11 simpll 764 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
12 mgpress.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
1312, 7ressid2 17186 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ 𝑆 = 𝑅)
142, 11, 5, 13syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 = 𝑅)
1514fveq2d 6889 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘…))
161, 10, 153eqtr4a 2792 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
17 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
181, 17mgpval 20042 . . . 4 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)
1918oveq1i 7415 . . 3 (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩)
20 simpr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴)
213a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ V)
22 simplr 766 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
236, 8ressval2 17187 . . . 4 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
25 eqid 2726 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘†)
26 eqid 2726 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
2725, 26mgpval 20042 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘†) = (𝑆 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩)
28 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
2912, 7ressval2 17187 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
3020, 28, 22, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
3112, 17ressmulr 17261 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
3231eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘…))
3332ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘…))
3433opeq2d 4875 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩ = ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)
3530, 34oveq12d 7423 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
3627, 35eqtrid 2778 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
37 1ne2 12424 . . . . . . 7 1 β‰  2
3837necomi 2989 . . . . . 6 2 β‰  1
39 plusgndx 17232 . . . . . . 7 (+gβ€˜ndx) = 2
40 basendx 17162 . . . . . . 7 (Baseβ€˜ndx) = 1
4139, 40neeq12i 3001 . . . . . 6 ((+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx) ↔ 2 β‰  1)
4238, 41mpbir 230 . . . . 5 (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
43 fvex 6898 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) ∈ V
44 fvex 6898 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
4544inex2 5311 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…)) ∈ V
46 fvex 6898 . . . . . . 7 (+gβ€˜ndx) ∈ V
47 fvex 6898 . . . . . . 7 (Baseβ€˜ndx) ∈ V
4846, 47setscom 17122 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) ∧ ((.rβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…)) ∈ V)) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
4943, 45, 48mpanr12 702 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
5028, 42, 49sylancl 585 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
5136, 50eqtr4d 2769 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
5219, 24, 513eqtr4a 2792 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
5316, 52pm2.61dan 810 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βŸ¨cop 4629  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  2c2 12271   sSet csts 17105  ndxcnx 17135  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  mulGrpcmgp 20039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-mgp 20040
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator