MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpressOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpressOLD 19919
Description: Obsolete version of mgpress 19918 as of 18-Oct-2024. Subgroup commutes with the multiplication group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpress.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
mgpress.2 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
mgpressOLD ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))

Proof of Theorem mgpressOLD
StepHypRef Expression
1 mgpress.2 . . 3 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
2 simpr 486 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴)
31fvexi 6861 . . . . 5 𝑀 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ V)
5 simplr 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
6 eqid 2737 . . . . 5 (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
7 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
81, 7mgpbas 19909 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘€)
96, 8ressid2 17123 . . . 4 (((Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = 𝑀)
102, 4, 5, 9syl3anc 1372 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = 𝑀)
11 simpll 766 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
12 mgpress.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
1312, 7ressid2 17123 . . . . 5 (((Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ 𝑆 = 𝑅)
142, 11, 5, 13syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 = 𝑅)
1514fveq2d 6851 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘…))
161, 10, 153eqtr4a 2803 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
17 eqid 2737 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
181, 17mgpval 19906 . . . 4 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)
1918oveq1i 7372 . . 3 (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩)
20 simpr 486 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴)
213a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ V)
22 simplr 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Š)
236, 8ressval2 17124 . . . 4 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1372 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
25 eqid 2737 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘†)
26 eqid 2737 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
2725, 26mgpval 19906 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘†) = (𝑆 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩)
28 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
2912, 7ressval2 17124 . . . . . . 7 ((Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
3020, 28, 22, 29syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
3112, 17ressmulr 17195 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
3231eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘…))
3332ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘…))
3433opeq2d 4842 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩ = ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)
3530, 34oveq12d 7380 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑆 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
3627, 35eqtrid 2789 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
37 1ne2 12368 . . . . . . 7 1 β‰  2
3837necomi 2999 . . . . . 6 2 β‰  1
39 plusgndx 17166 . . . . . . 7 (+gβ€˜ndx) = 2
40 basendx 17099 . . . . . . 7 (Baseβ€˜ndx) = 1
4139, 40neeq12i 3011 . . . . . 6 ((+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx) ↔ 2 β‰  1)
4238, 41mpbir 230 . . . . 5 (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
43 fvex 6860 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) ∈ V
44 fvex 6860 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
4544inex2 5280 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…)) ∈ V
46 fvex 6860 . . . . . . 7 (+gβ€˜ndx) ∈ V
47 fvex 6860 . . . . . . 7 (Baseβ€˜ndx) ∈ V
4846, 47setscom 17059 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) ∧ ((.rβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…)) ∈ V)) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
4943, 45, 48mpanr12 704 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+gβ€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
5028, 42, 49sylancl 587 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩) sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
5136, 50eqtr4d 2780 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) = ((𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩) sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘…))⟩))
5219, 24, 513eqtr4a 2803 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) ∧ Β¬ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
5316, 52pm2.61dan 812 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βŸ¨cop 4597  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059  2c2 12215   sSet csts 17042  ndxcnx 17072  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  mulGrpcmgp 19903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-mgp 19904
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator