Theorem mgpplusg 20060

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2	1	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ · ∈ V
3		plusgid 17254	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4	3	setsid 17184	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
5	2, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7	6, 1	mgpval 20059	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	7	fveq2i 6864	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9	5, 8	eqtr4di 2783	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
10	3	str0 17166	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
11		fvprc 6853	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
12	1, 11	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
13		fvprc 6853	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
14	6, 13	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
15	14	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
16	10, 12, 15	3eqtr4a 2791	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
17	9, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   sSet csts 17140  ndxcnx 17170  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  mulGrpcmgp 20056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-plusg 17240  df-mgp 20057

This theorem is referenced by:  prdsmgp  20067  rngass  20075  rngcl  20080  isrngd  20089  rngpropd  20090  dfur2  20100  srgcl  20109  srgass  20110  srgideu  20111  srgidmlem  20117  issrgid  20120  srg1zr  20131  srgpcomp  20134  srgpcompp  20135  srgbinomlem4  20145  srgbinomlem  20146  csrgbinom  20148  ringcl  20166  crngcom  20167  iscrng2  20168  ringass  20169  ringideu  20170  ringidmlem  20184  isringid  20187  ringidss  20193  isringrng  20203  ringpropd  20204  crngpropd  20205  isringd  20207  iscrngd  20208  ring1  20226  gsummgp0  20234  pwspjmhmmgpd  20244  xpsring1d  20249  oppr1  20266  unitgrp  20299  unitlinv  20309  unitrinv  20310  rdivmuldivd  20329  rngidpropd  20331  invrpropd  20334  isrnghmmul  20358  dfrhm2  20390  rhmmul  20402  isrhm2d  20403  rhmunitinv  20427  rhmimasubrnglem  20481  rhmimasubrng  20482  cntzsubrng  20483  subrgugrp  20507  issubrg3  20516  cntzsubr  20522  rhmpropd  20525  isdomn3  20631  isdrng2  20659  drngmclOLD  20667  drngid2  20668  isdrngd  20681  isdrngdOLD  20683  cntzsdrg  20718  primefld  20721  rlmscaf  21121  rnglidlmmgm  21162  rnglidlmsgrp  21163  rng2idl1cntr  21222  xrsmcmn  21310  cnfldexp  21323  cnmsubglem  21354  expmhm  21360  nn0srg  21361  rge0srg  21362  expghm  21392  frobrhm  21492  psgnghm  21496  psgnco  21499  evpmodpmf1o  21512  sraassab  21784  sraassaOLD  21786  assamulgscmlem2  21816  psrcrng  21888  mplcoe3  21952  mplcoe5lem  21953  mplcoe5  21954  mplcoe2  21955  mplbas2  21956  evlslem1  21996  mpfind  22021  mhppwdeg  22044  psdpw  22064  coe1tm  22166  ply1coe  22192  ringvcl  22294  mamuvs2  22300  mat1mhm  22378  scmatmhm  22428  mdetdiaglem  22492  mdetrlin  22496  mdetrsca  22497  mdetralt  22502  mdetunilem7  22512  mdetuni0  22515  m2detleib  22525  invrvald  22570  mat2pmatmhm  22627  pm2mpmhm  22714  chfacfpmmulgsum2  22759  cpmadugsumlemB  22768  cnmpt1mulr  24076  cnmpt2mulr  24077  reefgim  26367  efabl  26466  efsubm  26467  amgm  26908  wilthlem2  26986  wilthlem3  26987  dchrelbas3  27156  dchrzrhmul  27164  dchrmulcl  27167  dchrn0  27168  dchrinvcl  27171  dchrptlem2  27183  dchrsum2  27186  sum2dchr  27192  lgseisenlem3  27295  lgseisenlem4  27296  urpropd  33190  ringinvval  33193  dvrcan5  33194  isunit3  33199  elrgspnlem2  33201  elrgspnsubrunlem1  33205  elrgspnsubrunlem2  33206  0ringcring  33210  erler  33223  rlocaddval  33226  rlocmulval  33227  rloccring  33228  domnprodn0  33233  rrgsubm  33241  unitprodclb  33367  elringlsm  33371  lsmsnpridl  33376  cringm4  33424  ssdifidlprm  33436  mxidlprm  33448  rprmdvdspow  33511  rprmdvdsprod  33512  1arithidomlem1  33513  1arithidom  33515  1arithufdlem2  33523  1arithufdlem3  33524  1arithufdlem4  33525  dfufd2lem  33527  zringfrac  33532  assarrginv  33639  evls1fldgencl  33672  iistmd  33899  xrge0iifmhm  33936  xrge0pluscn  33937  pl1cn  33952  zrhcntr  33976  aks6d1c1p4  42106  evl1gprodd  42112  idomnnzpownz  42127  idomnnzgmulnz  42128  ringexp0nn  42129  aks6d1c5lem3  42132  aks6d1c5lem2  42133  deg1gprod  42135  deg1pow  42136  unitscyglem5  42194  domnexpgn0cl  42518  abvexp  42527  fidomncyc  42530  selvvvval  42580  evlselv  42582  mhphf  42592  mon1psubm  43195  deg1mhm  43196  amgm2d  44194  amgm3d  44195  amgm4d  44196  2zrngmmgm  48244  2zrngmsgrp  48245  2zrngnring  48250  cznrng  48253  cznnring  48254  mgpsumunsn  48353  invginvrid  48359  elmgpcntrd  48997  amgmlemALT  49796  amgmw2d  49797