Theorem mgpplusg 19733

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2	1	fvexi 6797	. . . 4 ⊢ · ∈ V
3		plusgid 16998	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4	3	setsid 16918	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
5	2, 4	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7	6, 1	mgpval 19732	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	7	fveq2i 6786	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9	5, 8	eqtr4di 2797	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
10	3	str0 16899	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
11		fvprc 6775	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
12	1, 11	eqtrid 2791	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
13		fvprc 6775	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
14	6, 13	eqtrid 2791	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
15	14	fveq2d 6787	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
16	10, 12, 15	3eqtr4a 2805	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
17	9, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3433  ∅c0 4257  ⟨cop 4568  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   sSet csts 16873  ndxcnx 16903  +_gcplusg 16971  ._rcmulr 16972  mulGrpcmgp 19729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-1cn 10938  ax-addcl 10940

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-nn 11983  df-2 12045  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-plusg 16984  df-mgp 19730

This theorem is referenced by:  dfur2  19749  srgcl  19757  srgass  19758  srgideu  19759  srgidmlem  19765  issrgid  19768  srg1zr  19774  srgpcomp  19777  srgpcompp  19778  srgbinomlem4  19788  srgbinomlem  19789  csrgbinom  19791  ringcl  19809  crngcom  19810  iscrng2  19811  ringass  19812  ringideu  19813  ringidmlem  19818  isringid  19821  ringidss  19825  ringpropd  19830  crngpropd  19831  isringd  19833  iscrngd  19834  ring1  19850  gsummgp0  19856  prdsmgp  19858  oppr1  19885  unitgrp  19918  unitlinv  19928  unitrinv  19929  rngidpropd  19946  invrpropd  19949  dfrhm2  19970  rhmmul  19980  isrhm2d  19981  isdrng2  20010  drngmcl  20013  drngid2  20016  isdrngd  20025  subrgugrp  20052  issubrg3  20061  cntzsubr  20066  rhmpropd  20069  cntzsdrg  20079  primefld  20082  rlmscaf  20488  xrsmcmn  20630  cnfldexp  20640  cnmsubglem  20670  expmhm  20676  nn0srg  20677  rge0srg  20678  expghm  20706  psgnghm  20794  psgnco  20797  evpmodpmf1o  20810  sraassa  21083  assamulgscmlem2  21113  psrcrng  21191  mplcoe3  21248  mplcoe5lem  21249  mplcoe5  21250  mplcoe2  21251  mplbas2  21252  evlslem1  21301  mpfind  21326  mhppwdeg  21349  coe1tm  21453  ply1coe  21476  ringvcl  21556  mamuvs2  21562  mat1mhm  21642  scmatmhm  21692  mdetdiaglem  21756  mdetrlin  21760  mdetrsca  21761  mdetralt  21766  mdetunilem7  21776  mdetuni0  21779  m2detleib  21789  invrvald  21834  mat2pmatmhm  21891  pm2mpmhm  21978  chfacfpmmulgsum2  22023  cpmadugsumlemB  22032  cnmpt1mulr  23342  cnmpt2mulr  23343  reefgim  25618  efabl  25715  efsubm  25716  amgm  26149  wilthlem2  26227  wilthlem3  26228  dchrelbas3  26395  dchrzrhmul  26403  dchrmulcl  26406  dchrn0  26407  dchrinvcl  26410  dchrptlem2  26422  dchrsum2  26425  sum2dchr  26431  lgseisenlem3  26534  lgseisenlem4  26535  frobrhm  31494  rdivmuldivd  31497  ringinvval  31498  dvrcan5  31499  rhmunitinv  31530  elringlsm  31590  lsmsnpridl  31595  cringm4  31631  mxidlprm  31649  iistmd  31861  xrge0iifmhm  31898  xrge0pluscn  31899  pl1cn  31914  pwspjmhmmgpd  40274  mhphf  40292  isdomn3  41036  mon1psubm  41038  deg1mhm  41039  amgm2d  41816  amgm3d  41817  amgm4d  41818  isringrng  45450  rngcl  45452  isrnghmmul  45462  lidlmmgm  45494  lidlmsgrp  45495  2zrngmmgm  45515  2zrngmsgrp  45516  2zrngnring  45521  cznrng  45524  cznnring  45525  mgpsumunsn  45708  invginvrid  45714  amgmlemALT  46518  amgmw2d  46519