Theorem mgpplusg 20069

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2	1	fvexi 6905	. . . 4 ⊢ · ∈ V
3		plusgid 17251	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4	3	setsid 17168	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
5	2, 4	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7	6, 1	mgpval 20068	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	7	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9	5, 8	eqtr4di 2785	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
10	3	str0 17149	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
11		fvprc 6883	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
12	1, 11	eqtrid 2779	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
13		fvprc 6883	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
14	6, 13	eqtrid 2779	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
15	14	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
16	10, 12, 15	3eqtr4a 2793	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
17	9, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  ∅c0 4318  ⟨cop 4630  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   sSet csts 17123  ndxcnx 17153  +_gcplusg 17224  ._rcmulr 17225  mulGrpcmgp 20065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-1cn 11188  ax-addcl 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-nn 12235  df-2 12297  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-plusg 17237  df-mgp 20066

This theorem is referenced by:  prdsmgp  20082  rngass  20090  rngcl  20095  isrngd  20104  rngpropd  20105  dfur2  20115  srgcl  20124  srgass  20125  srgideu  20126  srgidmlem  20132  issrgid  20135  srg1zr  20146  srgpcomp  20149  srgpcompp  20150  srgbinomlem4  20160  srgbinomlem  20161  csrgbinom  20163  ringcl  20181  crngcom  20182  iscrng2  20183  ringass  20184  ringideu  20185  ringidmlem  20193  isringid  20196  ringidss  20202  isringrng  20212  ringpropd  20213  crngpropd  20214  isringd  20216  iscrngd  20217  ring1  20235  gsummgp0  20243  pwspjmhmmgpd  20253  xpsring1d  20258  oppr1  20278  unitgrp  20311  unitlinv  20321  unitrinv  20322  rdivmuldivd  20341  rngidpropd  20343  invrpropd  20346  isrnghmmul  20370  dfrhm2  20402  rhmmul  20414  isrhm2d  20415  rhmunitinv  20439  rhmimasubrnglem  20491  rhmimasubrng  20492  cntzsubrng  20493  subrgugrp  20519  issubrg3  20528  cntzsubr  20534  rhmpropd  20537  isdrng2  20627  drngmcl  20630  drngid2  20634  isdrngd  20646  isdrngdOLD  20648  cntzsdrg  20679  primefld  20682  rlmscaf  21089  rnglidlmmgm  21129  rnglidlmsgrp  21130  rng2idl1cntr  21184  xrsmcmn  21306  cnfldexp  21319  cnmsubglem  21350  expmhm  21356  nn0srg  21357  rge0srg  21358  expghm  21388  psgnghm  21499  psgnco  21502  evpmodpmf1o  21515  sraassab  21788  sraassaOLD  21790  assamulgscmlem2  21820  psrcrng  21902  mplcoe3  21963  mplcoe5lem  21964  mplcoe5  21965  mplcoe2  21966  mplbas2  21967  evlslem1  22015  mpfind  22040  mhppwdeg  22061  coe1tm  22179  ply1coe  22204  ringvcl  22287  mamuvs2  22293  mat1mhm  22373  scmatmhm  22423  mdetdiaglem  22487  mdetrlin  22491  mdetrsca  22492  mdetralt  22497  mdetunilem7  22507  mdetuni0  22510  m2detleib  22520  invrvald  22565  mat2pmatmhm  22622  pm2mpmhm  22709  chfacfpmmulgsum2  22754  cpmadugsumlemB  22763  cnmpt1mulr  24073  cnmpt2mulr  24074  reefgim  26374  efabl  26471  efsubm  26472  amgm  26910  wilthlem2  26988  wilthlem3  26989  dchrelbas3  27158  dchrzrhmul  27166  dchrmulcl  27169  dchrn0  27170  dchrinvcl  27173  dchrptlem2  27185  dchrsum2  27188  sum2dchr  27194  lgseisenlem3  27297  lgseisenlem4  27298  urpropd  32916  frobrhm  32918  ringinvval  32920  dvrcan5  32921  elringlsm  33042  lsmsnpridl  33047  cringm4  33098  mxidlprm  33119  evls1fldgencl  33290  iistmd  33439  xrge0iifmhm  33476  xrge0pluscn  33477  pl1cn  33492  aks6d1c1p4  41515  evl1gprodd  41521  idomnnzpownz  41535  idomnnzgmulnz  41536  ringexp0nn  41537  aks6d1c5lem3  41540  aks6d1c5lem2  41541  deg1gprod  41544  deg1pow  41545  selvvvval  41740  evlselv  41742  mhphf  41752  isdomn3  42549  mon1psubm  42550  deg1mhm  42551  amgm2d  43551  amgm3d  43552  amgm4d  43553  2zrngmmgm  47237  2zrngmsgrp  47238  2zrngnring  47243  cznrng  47246  cznnring  47247  mgpsumunsn  47348  invginvrid  47354  amgmlemALT  48159  amgmw2d  48160