Theorem mgpplusg 20165

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2	1	fvexi 6934	. . . 4 ⊢ · ∈ V
3		plusgid 17338	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4	3	setsid 17255	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
5	2, 4	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7	6, 1	mgpval 20164	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	7	fveq2i 6923	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9	5, 8	eqtr4di 2798	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
10	3	str0 17236	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
11		fvprc 6912	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
12	1, 11	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
13		fvprc 6912	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
14	6, 13	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
15	14	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
16	10, 12, 15	3eqtr4a 2806	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
17	9, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352  ⟨cop 4654  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   sSet csts 17210  ndxcnx 17240  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  mulGrpcmgp 20161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-plusg 17324  df-mgp 20162

This theorem is referenced by:  prdsmgp  20178  rngass  20186  rngcl  20191  isrngd  20200  rngpropd  20201  dfur2  20211  srgcl  20220  srgass  20221  srgideu  20222  srgidmlem  20228  issrgid  20231  srg1zr  20242  srgpcomp  20245  srgpcompp  20246  srgbinomlem4  20256  srgbinomlem  20257  csrgbinom  20259  ringcl  20277  crngcom  20278  iscrng2  20279  ringass  20280  ringideu  20281  ringidmlem  20291  isringid  20294  ringidss  20300  isringrng  20310  ringpropd  20311  crngpropd  20312  isringd  20314  iscrngd  20315  ring1  20333  gsummgp0  20341  pwspjmhmmgpd  20351  xpsring1d  20356  oppr1  20376  unitgrp  20409  unitlinv  20419  unitrinv  20420  rdivmuldivd  20439  rngidpropd  20441  invrpropd  20444  isrnghmmul  20468  dfrhm2  20500  rhmmul  20512  isrhm2d  20513  rhmunitinv  20537  rhmimasubrnglem  20591  rhmimasubrng  20592  cntzsubrng  20593  subrgugrp  20619  issubrg3  20628  cntzsubr  20634  rhmpropd  20637  isdomn3  20737  isdrng2  20765  drngmclOLD  20773  drngid2  20774  isdrngd  20787  isdrngdOLD  20789  cntzsdrg  20825  primefld  20828  rlmscaf  21237  rnglidlmmgm  21278  rnglidlmsgrp  21279  rng2idl1cntr  21338  xrsmcmn  21427  cnfldexp  21440  cnmsubglem  21471  expmhm  21477  nn0srg  21478  rge0srg  21479  expghm  21509  frobrhm  21617  psgnghm  21621  psgnco  21624  evpmodpmf1o  21637  sraassab  21911  sraassaOLD  21913  assamulgscmlem2  21943  psrcrng  22015  mplcoe3  22079  mplcoe5lem  22080  mplcoe5  22081  mplcoe2  22082  mplbas2  22083  evlslem1  22129  mpfind  22154  mhppwdeg  22177  coe1tm  22297  ply1coe  22323  ringvcl  22425  mamuvs2  22431  mat1mhm  22511  scmatmhm  22561  mdetdiaglem  22625  mdetrlin  22629  mdetrsca  22630  mdetralt  22635  mdetunilem7  22645  mdetuni0  22648  m2detleib  22658  invrvald  22703  mat2pmatmhm  22760  pm2mpmhm  22847  chfacfpmmulgsum2  22892  cpmadugsumlemB  22901  cnmpt1mulr  24211  cnmpt2mulr  24212  reefgim  26512  efabl  26610  efsubm  26611  amgm  27052  wilthlem2  27130  wilthlem3  27131  dchrelbas3  27300  dchrzrhmul  27308  dchrmulcl  27311  dchrn0  27312  dchrinvcl  27315  dchrptlem2  27327  dchrsum2  27330  sum2dchr  27336  lgseisenlem3  27439  lgseisenlem4  27440  urpropd  33212  ringinvval  33215  dvrcan5  33216  isunit3  33221  0ringcring  33224  erler  33237  rlocaddval  33240  rlocmulval  33241  rloccring  33242  domnprodn0  33247  rrgsubm  33253  unitprodclb  33382  elringlsm  33386  lsmsnpridl  33391  cringm4  33439  ssdifidlprm  33451  mxidlprm  33463  rprmdvdspow  33526  rprmdvdsprod  33527  1arithidomlem1  33528  1arithidom  33530  1arithufdlem2  33538  1arithufdlem3  33539  1arithufdlem4  33540  dfufd2lem  33542  zringfrac  33547  assarrginv  33649  evls1fldgencl  33680  iistmd  33848  xrge0iifmhm  33885  xrge0pluscn  33886  pl1cn  33901  aks6d1c1p4  42068  evl1gprodd  42074  idomnnzpownz  42089  idomnnzgmulnz  42090  ringexp0nn  42091  aks6d1c5lem3  42094  aks6d1c5lem2  42095  deg1gprod  42097  deg1pow  42098  unitscyglem5  42156  domnexpgn0cl  42478  abvexp  42487  fidomncyc  42490  selvvvval  42540  evlselv  42542  mhphf  42552  mon1psubm  43160  deg1mhm  43161  amgm2d  44160  amgm3d  44161  amgm4d  44162  2zrngmmgm  47975  2zrngmsgrp  47976  2zrngnring  47981  cznrng  47984  cznnring  47985  mgpsumunsn  48086  invginvrid  48092  amgmlemALT  48897  amgmw2d  48898