Theorem mgpplusg 20053

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2	1	fvexi 6872	. . . 4 ⊢ · ∈ V
3		plusgid 17247	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4	3	setsid 17177	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
5	2, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7	6, 1	mgpval 20052	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	7	fveq2i 6861	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9	5, 8	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
10	3	str0 17159	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
11		fvprc 6850	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
12	1, 11	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
13		fvprc 6850	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
14	6, 13	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
15	14	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
16	10, 12, 15	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
17	9, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ∅c0 4296  ⟨cop 4595  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   sSet csts 17133  ndxcnx 17163  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  mulGrpcmgp 20049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-plusg 17233  df-mgp 20050

This theorem is referenced by:  prdsmgp  20060  rngass  20068  rngcl  20073  isrngd  20082  rngpropd  20083  dfur2  20093  srgcl  20102  srgass  20103  srgideu  20104  srgidmlem  20110  issrgid  20113  srg1zr  20124  srgpcomp  20127  srgpcompp  20128  srgbinomlem4  20138  srgbinomlem  20139  csrgbinom  20141  ringcl  20159  crngcom  20160  iscrng2  20161  ringass  20162  ringideu  20163  ringidmlem  20177  isringid  20180  ringidss  20186  isringrng  20196  ringpropd  20197  crngpropd  20198  isringd  20200  iscrngd  20201  ring1  20219  gsummgp0  20227  pwspjmhmmgpd  20237  xpsring1d  20242  oppr1  20259  unitgrp  20292  unitlinv  20302  unitrinv  20303  rdivmuldivd  20322  rngidpropd  20324  invrpropd  20327  isrnghmmul  20351  dfrhm2  20383  rhmmul  20395  isrhm2d  20396  rhmunitinv  20420  rhmimasubrnglem  20474  rhmimasubrng  20475  cntzsubrng  20476  subrgugrp  20500  issubrg3  20509  cntzsubr  20515  rhmpropd  20518  isdomn3  20624  isdrng2  20652  drngmclOLD  20660  drngid2  20661  isdrngd  20674  isdrngdOLD  20676  cntzsdrg  20711  primefld  20714  rlmscaf  21114  rnglidlmmgm  21155  rnglidlmsgrp  21156  rng2idl1cntr  21215  xrsmcmn  21303  cnfldexp  21316  cnmsubglem  21347  expmhm  21353  nn0srg  21354  rge0srg  21355  expghm  21385  frobrhm  21485  psgnghm  21489  psgnco  21492  evpmodpmf1o  21505  sraassab  21777  sraassaOLD  21779  assamulgscmlem2  21809  psrcrng  21881  mplcoe3  21945  mplcoe5lem  21946  mplcoe5  21947  mplcoe2  21948  mplbas2  21949  evlslem1  21989  mpfind  22014  mhppwdeg  22037  psdpw  22057  coe1tm  22159  ply1coe  22185  ringvcl  22287  mamuvs2  22293  mat1mhm  22371  scmatmhm  22421  mdetdiaglem  22485  mdetrlin  22489  mdetrsca  22490  mdetralt  22495  mdetunilem7  22505  mdetuni0  22508  m2detleib  22518  invrvald  22563  mat2pmatmhm  22620  pm2mpmhm  22707  chfacfpmmulgsum2  22752  cpmadugsumlemB  22761  cnmpt1mulr  24069  cnmpt2mulr  24070  reefgim  26360  efabl  26459  efsubm  26460  amgm  26901  wilthlem2  26979  wilthlem3  26980  dchrelbas3  27149  dchrzrhmul  27157  dchrmulcl  27160  dchrn0  27161  dchrinvcl  27164  dchrptlem2  27176  dchrsum2  27179  sum2dchr  27185  lgseisenlem3  27288  lgseisenlem4  27289  urpropd  33183  ringinvval  33186  dvrcan5  33187  isunit3  33192  elrgspnlem2  33194  elrgspnsubrunlem1  33198  elrgspnsubrunlem2  33199  0ringcring  33203  erler  33216  rlocaddval  33219  rlocmulval  33220  rloccring  33221  domnprodn0  33226  rrgsubm  33234  unitprodclb  33360  elringlsm  33364  lsmsnpridl  33369  cringm4  33417  ssdifidlprm  33429  mxidlprm  33441  rprmdvdspow  33504  rprmdvdsprod  33505  1arithidomlem1  33506  1arithidom  33508  1arithufdlem2  33516  1arithufdlem3  33517  1arithufdlem4  33518  dfufd2lem  33520  zringfrac  33525  assarrginv  33632  evls1fldgencl  33665  iistmd  33892  xrge0iifmhm  33929  xrge0pluscn  33930  pl1cn  33945  zrhcntr  33969  aks6d1c1p4  42099  evl1gprodd  42105  idomnnzpownz  42120  idomnnzgmulnz  42121  ringexp0nn  42122  aks6d1c5lem3  42125  aks6d1c5lem2  42126  deg1gprod  42128  deg1pow  42129  unitscyglem5  42187  domnexpgn0cl  42511  abvexp  42520  fidomncyc  42523  selvvvval  42573  evlselv  42575  mhphf  42585  mon1psubm  43188  deg1mhm  43189  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189  2zrngmmgm  48240  2zrngmsgrp  48241  2zrngnring  48246  cznrng  48249  cznnring  48250  mgpsumunsn  48349  invginvrid  48355  elmgpcntrd  48993  amgmlemALT  49792  amgmw2d  49793