Theorem mgpplusg 20192

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2	1	fvexi 6883	. . . 4 ⊢ · ∈ V
3		plusgid 17315	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4	3	setsid 17245	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
5	2, 4	mpan2 701	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7	6, 1	mgpval 20191	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	7	fveq2i 6872	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9	5, 8	eqtr4di 2817	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
10	3	str0 17227	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
11		fvprc 6861	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
12	1, 11	eqtrid 2811	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
13		fvprc 6861	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
14	6, 13	eqtrid 2811	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
15	14	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
16	10, 12, 15	3eqtr4a 2825	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
17	9, 16	pm2.61i 183	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456  ∅c0 4287  ⟨cop 4590  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   sSet csts 17201  ndxcnx 17231  +_gcplusg 17288  ._rcmulr 17289  mulGrpcmgp 20188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-nn 12213  df-2 12282  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-plusg 17301  df-mgp 20189

This theorem is referenced by:  prdsmgp  20199  rngass  20207  rngcl  20212  isrngd  20221  rngpropd  20222  rng1zrlem  20229  dfur2  20236  srgcl  20245  srgass  20246  srgideu  20247  srgidmlem  20253  issrgid  20256  srgpcomp  20270  srgpcompp  20271  srgbinomlem4  20281  srgbinomlem  20282  csrgbinom  20284  ringcl  20302  crngcom  20303  iscrng2  20304  ringass  20305  ringideu  20306  ringidmlem  20320  isringid  20323  ringidss  20329  isringrng  20339  ringpropd  20340  crngpropd  20341  isringd  20343  iscrngd  20344  ring1  20362  gsummgp0  20368  pwspjmhmmgpd  20378  xpsring1d  20384  oppr1  20401  unitgrp  20434  unitlinv  20444  unitrinv  20445  rdivmuldivd  20464  rngidpropd  20466  invrpropd  20469  isrnghmmul  20493  dfrhm2  20525  rhmmul  20537  isrhm2d  20538  rhmunitinv  20563  rhmimasubrnglem  20617  rhmimasubrng  20618  cntzsubrng  20619  subrgugrp  20643  issubrg3  20652  cntzsubr  20658  rhmpropd  20661  isdomn3  20767  isdrng2  20795  drngmclOLD  20803  drngid2  20804  isdrngd  20817  isdrngdOLD  20819  cntzsdrg  20853  primefld  20856  rlmscaf  21276  rnglidlmmgm  21317  rnglidlmsgrp  21318  rng2idl1cntr  21377  xrsmcmn  21449  cnfldexp  21459  cnmsubglem  21484  expmhm  21490  nn0srg  21491  rge0srg  21492  expghm  21529  frobrhm  21629  psgnghm  21634  psgnco  21637  evpmodpmf1o  21650  sraassab  21922  assamulgscmlem2  21954  psrcrng  22025  mplcoe3  22093  mplcoe5lem  22094  mplcoe5  22095  mplcoe2  22096  mplbas2  22097  evlslem1  22137  mpfind  22170  selvvvval  22197  mhppwdeg  22217  psdpw  22237  coe1tm  22338  ply1coe  22363  ringvcl  22462  mamuvs2  22468  mat1mhm  22546  scmatmhm  22596  mdetdiaglem  22660  mdetrlin  22664  mdetrsca  22665  mdetralt  22670  mdetunilem7  22680  mdetuni0  22683  m2detleib  22693  invrvald  22738  mat2pmatmhm  22795  pm2mpmhm  22882  chfacfpmmulgsum2  22927  cpmadugsumlemB  22936  cnmpt1mulr  24244  cnmpt2mulr  24245  reefgim  26515  efabl  26617  efsubm  26618  amgm  27057  wilthlem2  27135  wilthlem3  27136  dchrelbas3  27304  dchrzrhmul  27312  dchrmulcl  27315  dchrn0  27316  dchrinvcl  27319  dchrptlem2  27331  dchrsum2  27334  sum2dchr  27340  lgseisenlem3  27443  lgseisenlem4  27444  zsoring  28504  urpropd  33413  ringm1expp1  33416  ringinvval  33417  dvrcan5  33418  isunit3  33423  elrgspnlem2  33426  elrgspnsubrunlem1  33430  elrgspnsubrunlem2  33431  0ringcring  33435  erler  33448  rlocaddval  33452  rlocmulval  33453  rloccring  33454  rlocisunit  33459  domnprodn0  33461  domnprodeq0  33462  rrgsubm  33470  unitprodclb  33577  elringlsm  33581  lsmsnpridl  33586  cringm4  33634  ssdifidlprm  33647  prmidlsubm  33648  mxidlprm  33660  rprmdvdspow  33731  rprmdvdsprod  33732  1arithidomlem1  33733  1arithidom  33735  1arithufdlem2  33743  1arithufdlem3  33744  1arithufdlem4  33745  dfufd2lem  33747  zringfrac  33752  deg1prod  33781  psrmonprod  33851  mplmonprod  33853  vietalem  33878  srapwov  33888  assarrginv  33935  evls1fldgencl  33969  iistmd  34201  xrge0iifmhm  34238  xrge0pluscn  34239  pl1cn  34254  zrhcntr  34278  aks6d1c1p4  42733  evl1gprodd  42739  idomnnzpownz  42754  idomnnzgmulnz  42755  ringexp0nn  42756  aks6d1c5lem3  42759  aks6d1c5lem2  42760  deg1gprod  42762  deg1pow  42763  unitscyglem5  42821  domnexpgn0cl  43146  abvexp  43155  fidomncyc  43158  evlselv  43176  mhphf  43184  mon1psubm  43781  deg1mhm  43782  amgm2d  44779  amgm3d  44780  amgm4d  44781  2zrngmmgm  48879  2zrngmsgrp  48880  2zrngnring  48885  cznrng  48888  cznnring  48889  mgpsumunsn  48988  invginvrid  48994  elmgpcntrd  49631  amgmlemALT  50429  amgmw2d  50430