Theorem mgpplusg 19900

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2	1	fvexi 6856	. . . 4 ⊢ · ∈ V
3		plusgid 17160	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4	3	setsid 17080	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
5	2, 4	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7	6, 1	mgpval 19899	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	7	fveq2i 6845	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9	5, 8	eqtr4di 2794	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
10	3	str0 17061	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
11		fvprc 6834	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
12	1, 11	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
13		fvprc 6834	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
14	6, 13	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
15	14	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
16	10, 12, 15	3eqtr4a 2802	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
17	9, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ∅c0 4282  ⟨cop 4592  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   sSet csts 17035  ndxcnx 17065  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  mulGrpcmgp 19896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-1cn 11109  ax-addcl 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-plusg 17146  df-mgp 19897

This theorem is referenced by:  dfur2  19916  srgcl  19924  srgass  19925  srgideu  19926  srgidmlem  19932  issrgid  19935  srg1zr  19946  srgpcomp  19949  srgpcompp  19950  srgbinomlem4  19960  srgbinomlem  19961  csrgbinom  19963  ringcl  19981  crngcom  19982  iscrng2  19983  ringass  19984  ringideu  19985  ringidmlem  19991  isringid  19994  ringidss  19998  ringpropd  20006  crngpropd  20007  isringd  20009  iscrngd  20010  ring1  20026  gsummgp0  20032  prdsmgp  20034  pwspjmhmmgpd  20043  oppr1  20063  unitgrp  20096  unitlinv  20106  unitrinv  20107  rngidpropd  20124  invrpropd  20127  dfrhm2  20148  rhmmul  20159  isrhm2d  20160  rhmunitinv  20184  isdrng2  20198  drngmcl  20201  drngid2  20204  isdrngd  20214  subrgugrp  20241  issubrg3  20250  cntzsubr  20255  rhmpropd  20258  cntzsdrg  20269  primefld  20272  rlmscaf  20678  xrsmcmn  20820  cnfldexp  20830  cnmsubglem  20860  expmhm  20866  nn0srg  20867  rge0srg  20868  expghm  20896  psgnghm  20984  psgnco  20987  evpmodpmf1o  21000  sraassa  21273  assamulgscmlem2  21303  psrcrng  21382  mplcoe3  21439  mplcoe5lem  21440  mplcoe5  21441  mplcoe2  21442  mplbas2  21443  evlslem1  21492  mpfind  21517  mhppwdeg  21540  coe1tm  21644  ply1coe  21667  ringvcl  21747  mamuvs2  21753  mat1mhm  21833  scmatmhm  21883  mdetdiaglem  21947  mdetrlin  21951  mdetrsca  21952  mdetralt  21957  mdetunilem7  21967  mdetuni0  21970  m2detleib  21980  invrvald  22025  mat2pmatmhm  22082  pm2mpmhm  22169  chfacfpmmulgsum2  22214  cpmadugsumlemB  22223  cnmpt1mulr  23533  cnmpt2mulr  23534  reefgim  25809  efabl  25906  efsubm  25907  amgm  26340  wilthlem2  26418  wilthlem3  26419  dchrelbas3  26586  dchrzrhmul  26594  dchrmulcl  26597  dchrn0  26598  dchrinvcl  26601  dchrptlem2  26613  dchrsum2  26616  sum2dchr  26622  lgseisenlem3  26725  lgseisenlem4  26726  frobrhm  32068  rdivmuldivd  32071  ringinvval  32072  dvrcan5  32073  elringlsm  32174  lsmsnpridl  32179  cringm4  32219  mxidlprm  32237  iistmd  32483  xrge0iifmhm  32520  xrge0pluscn  32521  pl1cn  32536  mhphf  40757  isdomn3  41517  mon1psubm  41519  deg1mhm  41520  amgm2d  42461  amgm3d  42462  amgm4d  42463  isringrng  46169  rngcl  46171  isrnghmmul  46181  lidlmmgm  46213  lidlmsgrp  46214  2zrngmmgm  46234  2zrngmsgrp  46235  2zrngnring  46240  cznrng  46243  cznnring  46244  mgpsumunsn  46427  invginvrid  46433  amgmlemALT  47240  amgmw2d  47241