MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpplusg 19908
Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpval.1 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
mgpval.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
mgpplusg Β· = (+gβ€˜π‘€)

Proof of Theorem mgpplusg
StepHypRef Expression
1 mgpval.2 . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
21fvexi 6860 . . . 4 Β· ∈ V
3 plusgid 17168 . . . . 5 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
43setsid 17088 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ Β· ∈ V) β†’ Β· = (+gβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), Β· ⟩)))
52, 4mpan2 690 . . 3 (𝑅 ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), Β· ⟩)))
6 mgpval.1 . . . . 5 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
76, 1mgpval 19907 . . . 4 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), Β· ⟩)
87fveq2i 6849 . . 3 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), Β· ⟩))
95, 8eqtr4di 2791 . 2 (𝑅 ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜π‘€))
103str0 17069 . . 3 βˆ… = (+gβ€˜βˆ…)
11 fvprc 6838 . . . 4 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘…) = βˆ…)
121, 11eqtrid 2785 . . 3 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ Β· = βˆ…)
13 fvprc 6838 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) = βˆ…)
146, 13eqtrid 2785 . . . 4 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ 𝑀 = βˆ…)
1514fveq2d 6850 . . 3 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜βˆ…))
1610, 12, 153eqtr4a 2799 . 2 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜π‘€))
179, 16pm2.61i 182 1 Β· = (+gβ€˜π‘€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  βŸ¨cop 4596  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   sSet csts 17043  ndxcnx 17073  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  mulGrpcmgp 19904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-1cn 11117  ax-addcl 11119
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-plusg 17154  df-mgp 19905
This theorem is referenced by:  dfur2  19924  srgcl  19932  srgass  19933  srgideu  19934  srgidmlem  19940  issrgid  19943  srg1zr  19954  srgpcomp  19957  srgpcompp  19958  srgbinomlem4  19968  srgbinomlem  19969  csrgbinom  19971  ringcl  19989  crngcom  19990  iscrng2  19991  ringass  19992  ringideu  19993  ringidmlem  19999  isringid  20002  ringidss  20006  ringpropd  20014  crngpropd  20015  isringd  20017  iscrngd  20018  ring1  20034  gsummgp0  20040  prdsmgp  20042  pwspjmhmmgpd  20051  oppr1  20071  unitgrp  20104  unitlinv  20114  unitrinv  20115  rdivmuldivd  20132  rngidpropd  20134  invrpropd  20137  dfrhm2  20158  rhmmul  20169  isrhm2d  20170  rhmunitinv  20194  isdrng2  20232  drngmcl  20235  drngid2  20239  isdrngd  20249  isdrngdOLD  20251  subrgugrp  20283  issubrg3  20293  cntzsubr  20298  rhmpropd  20301  cntzsdrg  20312  primefld  20315  rlmscaf  20723  xrsmcmn  20843  cnfldexp  20853  cnmsubglem  20883  expmhm  20889  nn0srg  20890  rge0srg  20891  expghm  20919  psgnghm  21007  psgnco  21010  evpmodpmf1o  21023  sraassa  21296  assamulgscmlem2  21326  psrcrng  21405  mplcoe3  21462  mplcoe5lem  21463  mplcoe5  21464  mplcoe2  21465  mplbas2  21466  evlslem1  21515  mpfind  21540  mhppwdeg  21563  coe1tm  21667  ply1coe  21690  ringvcl  21770  mamuvs2  21776  mat1mhm  21856  scmatmhm  21906  mdetdiaglem  21970  mdetrlin  21974  mdetrsca  21975  mdetralt  21980  mdetunilem7  21990  mdetuni0  21993  m2detleib  22003  invrvald  22048  mat2pmatmhm  22105  pm2mpmhm  22192  chfacfpmmulgsum2  22237  cpmadugsumlemB  22246  cnmpt1mulr  23556  cnmpt2mulr  23557  reefgim  25832  efabl  25929  efsubm  25930  amgm  26363  wilthlem2  26441  wilthlem3  26442  dchrelbas3  26609  dchrzrhmul  26617  dchrmulcl  26620  dchrn0  26621  dchrinvcl  26624  dchrptlem2  26636  dchrsum2  26639  sum2dchr  26645  lgseisenlem3  26748  lgseisenlem4  26749  frobrhm  32124  ringinvval  32126  dvrcan5  32127  elringlsm  32229  lsmsnpridl  32234  cringm4  32274  mxidlprm  32292  iistmd  32547  xrge0iifmhm  32584  xrge0pluscn  32585  pl1cn  32600  mhphf  40818  isdomn3  41578  mon1psubm  41580  deg1mhm  41581  amgm2d  42563  amgm3d  42564  amgm4d  42565  isringrng  46269  rngcl  46271  isrnghmmul  46281  lidlmmgm  46313  lidlmsgrp  46314  2zrngmmgm  46334  2zrngmsgrp  46335  2zrngnring  46340  cznrng  46343  cznnring  46344  mgpsumunsn  46527  invginvrid  46533  amgmlemALT  47340  amgmw2d  47341
  Copyright terms: Public domain W3C validator