Theorem mgpplusg 20064

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2	1	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ · ∈ V
3		plusgid 17223	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4	3	setsid 17153	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
5	2, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7	6, 1	mgpval 20063	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	7	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9	5, 8	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
10	3	str0 17135	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
11		fvprc 6832	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
12	1, 11	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
13		fvprc 6832	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
14	6, 13	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
15	14	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
16	10, 12, 15	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
17	9, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ∅c0 4292  ⟨cop 4591  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   sSet csts 17109  ndxcnx 17139  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  mulGrpcmgp 20060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addcl 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-plusg 17209  df-mgp 20061

This theorem is referenced by:  prdsmgp  20071  rngass  20079  rngcl  20084  isrngd  20093  rngpropd  20094  dfur2  20104  srgcl  20113  srgass  20114  srgideu  20115  srgidmlem  20121  issrgid  20124  srg1zr  20135  srgpcomp  20138  srgpcompp  20139  srgbinomlem4  20149  srgbinomlem  20150  csrgbinom  20152  ringcl  20170  crngcom  20171  iscrng2  20172  ringass  20173  ringideu  20174  ringidmlem  20188  isringid  20191  ringidss  20197  isringrng  20207  ringpropd  20208  crngpropd  20209  isringd  20211  iscrngd  20212  ring1  20230  gsummgp0  20238  pwspjmhmmgpd  20248  xpsring1d  20253  oppr1  20270  unitgrp  20303  unitlinv  20313  unitrinv  20314  rdivmuldivd  20333  rngidpropd  20335  invrpropd  20338  isrnghmmul  20362  dfrhm2  20394  rhmmul  20406  isrhm2d  20407  rhmunitinv  20431  rhmimasubrnglem  20485  rhmimasubrng  20486  cntzsubrng  20487  subrgugrp  20511  issubrg3  20520  cntzsubr  20526  rhmpropd  20529  isdomn3  20635  isdrng2  20663  drngmclOLD  20671  drngid2  20672  isdrngd  20685  isdrngdOLD  20687  cntzsdrg  20722  primefld  20725  rlmscaf  21146  rnglidlmmgm  21187  rnglidlmsgrp  21188  rng2idl1cntr  21247  xrsmcmn  21333  cnfldexp  21346  cnmsubglem  21372  expmhm  21378  nn0srg  21379  rge0srg  21380  expghm  21417  frobrhm  21517  psgnghm  21522  psgnco  21525  evpmodpmf1o  21538  sraassab  21810  sraassaOLD  21812  assamulgscmlem2  21842  psrcrng  21914  mplcoe3  21978  mplcoe5lem  21979  mplcoe5  21980  mplcoe2  21981  mplbas2  21982  evlslem1  22022  mpfind  22047  mhppwdeg  22070  psdpw  22090  coe1tm  22192  ply1coe  22218  ringvcl  22320  mamuvs2  22326  mat1mhm  22404  scmatmhm  22454  mdetdiaglem  22518  mdetrlin  22522  mdetrsca  22523  mdetralt  22528  mdetunilem7  22538  mdetuni0  22541  m2detleib  22551  invrvald  22596  mat2pmatmhm  22653  pm2mpmhm  22740  chfacfpmmulgsum2  22785  cpmadugsumlemB  22794  cnmpt1mulr  24102  cnmpt2mulr  24103  reefgim  26393  efabl  26492  efsubm  26493  amgm  26934  wilthlem2  27012  wilthlem3  27013  dchrelbas3  27182  dchrzrhmul  27190  dchrmulcl  27193  dchrn0  27194  dchrinvcl  27197  dchrptlem2  27209  dchrsum2  27212  sum2dchr  27218  lgseisenlem3  27321  lgseisenlem4  27322  zsoring  28336  urpropd  33199  ringinvval  33202  dvrcan5  33203  isunit3  33208  elrgspnlem2  33210  elrgspnsubrunlem1  33214  elrgspnsubrunlem2  33215  0ringcring  33219  erler  33232  rlocaddval  33235  rlocmulval  33236  rloccring  33237  domnprodn0  33242  rrgsubm  33250  unitprodclb  33353  elringlsm  33357  lsmsnpridl  33362  cringm4  33410  ssdifidlprm  33422  mxidlprm  33434  rprmdvdspow  33497  rprmdvdsprod  33498  1arithidomlem1  33499  1arithidom  33501  1arithufdlem2  33509  1arithufdlem3  33510  1arithufdlem4  33511  dfufd2lem  33513  zringfrac  33518  assarrginv  33625  evls1fldgencl  33658  iistmd  33885  xrge0iifmhm  33922  xrge0pluscn  33923  pl1cn  33938  zrhcntr  33962  aks6d1c1p4  42092  evl1gprodd  42098  idomnnzpownz  42113  idomnnzgmulnz  42114  ringexp0nn  42115  aks6d1c5lem3  42118  aks6d1c5lem2  42119  deg1gprod  42121  deg1pow  42122  unitscyglem5  42180  domnexpgn0cl  42504  abvexp  42513  fidomncyc  42516  selvvvval  42566  evlselv  42568  mhphf  42578  mon1psubm  43181  deg1mhm  43182  amgm2d  44180  amgm3d  44181  amgm4d  44182  2zrngmmgm  48233  2zrngmsgrp  48234  2zrngnring  48239  cznrng  48242  cznnring  48243  mgpsumunsn  48342  invginvrid  48348  elmgpcntrd  48986  amgmlemALT  49785  amgmw2d  49786