Theorem modom2 9264

Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
modom2	⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≼ 1o)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem modom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modom 9263	. 2 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≼ 1o)
2		abid2 2867	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} = 𝐴
3	2	breq1i 5150	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≼ 1o ↔ 𝐴 ≼ 1o)
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≼ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099  ∃*wmo 2528  {cab 2705   class class class wbr 5143  1_oc1o 8474   ≼ cdom 8956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1o 8481  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961

This theorem is referenced by:  f1omoALT  47905  isthinc2  48019  indthincALT  48050