Theorem modom2 9210

Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
modom2	⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≼ 1o)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem modom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modom 9209	. 2 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≼ 1o)
2		abid2 2867	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} = 𝐴
3	2	breq1i 5122	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≼ 1o ↔ 𝐴 ≼ 1o)
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≼ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2532  {cab 2708   class class class wbr 5115  1_oc1o 8436   ≼ cdom 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-1o 8443  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925

This theorem is referenced by:  f1omoALT  48811  isthinc2  49298  thincciso2  49333  indthincALT  49341  eufunc  49400