Theorem modom2 9192

Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
modom2	⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≼ 1o)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem modom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modom 9191	. 2 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≼ 1o)
2		abid2 2898	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} = 𝐴
3	2	breq1i 5106	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≼ 1o ↔ 𝐴 ≼ 1o)
4	1, 3	bitri 277	1 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≼ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141  ∃*wmo 2563  {cab 2739   class class class wbr 5099  1_oc1o 8425   ≼ cdom 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-1o 8432  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926

This theorem is referenced by:  f1omoALT  49480  isthinc2  50005  thincciso2  50040  indthincALT  50048  eufunc  50107