Theorem modom2 9288

Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
modom2	⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≼ 1o)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem modom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modom 9287	. 2 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≼ 1o)
2		abid2 2879	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} = 𝐴
3	2	breq1i 5158	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≼ 1o ↔ 𝐴 ≼ 1o)
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≼ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ∃*wmo 2538  {cab 2714   class class class wbr 5151  1_oc1o 8507   ≼ cdom 8991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-1o 8514  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996

This theorem is referenced by:  f1omoALT  48737  isthinc2  48947  indthincALT  48979