Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mppsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mppsval 34230
Description: Definition of a provable pre-statement, essentially just a reorganization of the arguments of df-mcls . (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mppsval.p 𝑃 = (mPreStβ€˜π‘‡)
mppsval.j 𝐽 = (mPPStβ€˜π‘‡)
mppsval.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mppsval 𝐽 = {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))}
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑑,β„Ž,𝐢   𝑃,π‘Ž,𝑑,β„Ž   𝑇,π‘Ž,𝑑,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐽(β„Ž,π‘Ž,𝑑)

Proof of Theorem mppsval
Dummy variables 𝑑 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mppsval.j . 2 𝐽 = (mPPStβ€˜π‘‡)
2 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mPreStβ€˜π‘‘) = (mPreStβ€˜π‘‡))
3 mppsval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (mPreStβ€˜π‘‡)
42, 3eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mPreStβ€˜π‘‘) = 𝑃)
54eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‘) ↔ βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃))
6 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mClsβ€˜π‘‘) = (mClsβ€˜π‘‡))
7 mppsval.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
86, 7eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑇 β†’ (mClsβ€˜π‘‘) = 𝐢)
98oveqd 7378 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑇 β†’ (𝑑(mClsβ€˜π‘‘)β„Ž) = (π‘‘πΆβ„Ž))
109eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑇 β†’ (π‘Ž ∈ (𝑑(mClsβ€˜π‘‘)β„Ž) ↔ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž)))
115, 10anbi12d 632 . . . . 5 (𝑑 = 𝑇 β†’ ((βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‘) ∧ π‘Ž ∈ (𝑑(mClsβ€˜π‘‘)β„Ž)) ↔ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))))
1211oprabbidv 7427 . . . 4 (𝑑 = 𝑇 β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‘) ∧ π‘Ž ∈ (𝑑(mClsβ€˜π‘‘)β„Ž))} = {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))})
13 df-mpps 34156 . . . 4 mPPSt = (𝑑 ∈ V ↦ {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‘) ∧ π‘Ž ∈ (𝑑(mClsβ€˜π‘‘)β„Ž))})
143fvexi 6860 . . . . 5 𝑃 ∈ V
153, 1, 7mppspstlem 34229 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))} βŠ† 𝑃
1614, 15ssexi 5283 . . . 4 {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))} ∈ V
1712, 13, 16fvmpt 6952 . . 3 (𝑇 ∈ V β†’ (mPPStβ€˜π‘‡) = {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))})
18 fvprc 6838 . . . 4 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (mPPStβ€˜π‘‡) = βˆ…)
19 df-oprab 7365 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘Ž(π‘₯ = βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∧ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž)))}
20 abn0 4344 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘Ž(π‘₯ = βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∧ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž)))} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘Ž(π‘₯ = βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∧ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))))
21 elfvex 6884 . . . . . . . . . . 11 (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) β†’ 𝑇 ∈ V)
2221, 3eleq2s 2852 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 β†’ 𝑇 ∈ V)
2322ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∧ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))) β†’ 𝑇 ∈ V)
2423exlimivv 1936 . . . . . . . 8 (βˆƒβ„Žβˆƒπ‘Ž(π‘₯ = βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∧ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))) β†’ 𝑇 ∈ V)
2524exlimivv 1936 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘Ž(π‘₯ = βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∧ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))) β†’ 𝑇 ∈ V)
2620, 25sylbi 216 . . . . . 6 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘Ž(π‘₯ = βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∧ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž)))} β‰  βˆ… β†’ 𝑇 ∈ V)
2726necon1bi 2969 . . . . 5 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘Ž(π‘₯ = βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∧ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž)))} = βˆ…)
2819, 27eqtrid 2785 . . . 4 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))} = βˆ…)
2918, 28eqtr4d 2776 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ (mPPStβ€˜π‘‡) = {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))})
3017, 29pm2.61i 182 . 2 (mPPStβ€˜π‘‡) = {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))}
311, 30eqtri 2761 1 𝐽 = {βŸ¨βŸ¨π‘‘, β„ŽβŸ©, π‘ŽβŸ© ∣ (βŸ¨π‘‘, β„Ž, π‘ŽβŸ© ∈ 𝑃 ∧ π‘Ž ∈ (π‘‘πΆβ„Ž))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2940  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  βŸ¨cop 4596  βŸ¨cotp 4598  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  {coprab 7362  mPreStcmpst 34131  mClscmcls 34135  mPPStcmpps 34136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpps 34156
This theorem is referenced by:  elmpps  34231  mppspst  34232
  Copyright terms: Public domain W3C validator