Theorem mrcidmd 17714

Description: Moore closure is idempotent. Deduction form of mrcidm 17707. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mrcidmd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑈)) = (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem mrcidmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssidd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)
3		mrcssidd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
4	3	mrcidm 17707	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝑁‘(𝑁‘𝑈)) = (𝑁‘𝑈))
5	1, 2, 4	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑈)) = (𝑁‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  Moorecmre 17666  mrClscmrc 17667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-mre 17670  df-mrc 17671

This theorem is used by:  mressmrcd  17715  mreexexlem2d  17733  acsmap2d  18643