MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcidmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcidmd 17316
Description: Moore closure is idempotent. Deduction form of mrcidm 17309. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssidd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3 (𝜑𝑈𝑋)
Assertion
Ref Expression
mrcidmd (𝜑 → (𝑁‘(𝑁𝑈)) = (𝑁𝑈))

Proof of Theorem mrcidmd
StepHypRef Expression
1 mrcssidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrcssidd.3 . 2 (𝜑𝑈𝑋)
3 mrcssidd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
43mrcidm 17309 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝑁‘(𝑁𝑈)) = (𝑁𝑈))
51, 2, 4syl2anc 583 1 (𝜑 → (𝑁‘(𝑁𝑈)) = (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2109  wss 3891  cfv 6430  Moorecmre 17272  mrClscmrc 17273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438  df-mre 17276  df-mrc 17277
This theorem is referenced by:  mressmrcd  17317  mreexexlem2d  17335  acsmap2d  18254
  Copyright terms: Public domain W3C validator