MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexexlem2d Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mreexexlem2d 17585
Description: Used in mreexexlem4d 17587 to prove the induction step in mreexexd 17588. See the proof of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 to 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
mreexexlem2d.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
mreexexlem2d.6 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
mreexexlem2d.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
mreexexlem2d.8 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexlem2d.9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
mreexexlem2d (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 (Β¬ 𝑔 ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {𝑔})) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑠,𝑔,𝑦,𝑧   𝐺,𝑠,𝑔,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑔,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑠,𝑔,𝑦,𝑧   π‘Œ,𝑠,𝑔,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑔,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑔,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑔,𝑠)   𝑋(𝑧,𝑔)
Proof of Theorem mreexexlem2d
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
21adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
3 mreexexlem2d.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
43adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
5 mreexexlem2d.2 . . . . . . . . 9 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
6 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
7 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 βŠ† ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻)
8 difundir 4279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}) = ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆ– {π‘Œ}))
9 mreexexlem2d.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐹)
10 incom 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∩ 𝐻) = (𝐻 ∩ 𝐹)
11 mreexexlem2d.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
12 ssdifin0 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻) β†’ (𝐹 ∩ 𝐻) = βˆ…)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∩ 𝐻) = βˆ…)
1410, 13eqtr3id 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∩ 𝐹) = βˆ…)
15 minel 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Œ ∈ 𝐹 ∧ (𝐻 ∩ 𝐹) = βˆ…) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐻)
169, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝐻)
17 difsnb 4808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ π‘Œ ∈ 𝐻 ↔ (𝐻 βˆ– {π‘Œ}) = 𝐻)
1816, 17sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐻 βˆ– {π‘Œ}) = 𝐻)
1918uneq2d 4162 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆ– {π‘Œ})) = ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻))
208, 19eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}) = ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻))
217, 20sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† ((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))
22 mreexexlem2d.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
23 mreexexlem2d.8 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
2422, 3, 23mrissd 17576 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) βŠ† 𝑋)
2524ssdifssd 4141 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}) βŠ† 𝑋)
263, 5, 25mrcssidd 17565 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
2721, 26sstrd 3991 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
2827adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ 𝐻 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
296, 28unssd 4185 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ (𝐺 βˆͺ 𝐻) βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
304, 5mrcssvd 17563 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})) βŠ† 𝑋)
314, 5, 29, 30mrcssd 17564 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)) βŠ† (π‘β€˜(π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))))
3225adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ ((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}) βŠ† 𝑋)
334, 5, 32mrcidmd 17566 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) = (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
3431, 33sseqtrd 4021 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)) βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
352, 34sstrd 3991 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
369adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐹)
3735, 36sseldd 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
3823adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
39 ssun1 4171 . . . . . . 7 𝐹 βŠ† (𝐹 βˆͺ 𝐻)
4039, 36sselid 3979 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ π‘Œ ∈ (𝐹 βˆͺ 𝐻))
415, 22, 4, 38, 40ismri2dad 17577 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
4237, 41pm2.65da 815 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
43 nss 4045 . . . 4 (Β¬ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})) ↔ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))))
4442, 43sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))))
45 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐺)
46 ssun1 4171 . . . . . . . . . 10 (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βŠ† ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻)
4746, 20sseqtrrid 4034 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βŠ† ((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))
4847, 26sstrd 3991 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
4948adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
50 simprr 771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))
5149, 50ssneldd 3984 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ Β¬ 𝑔 ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}))
52 unass 4165 . . . . . . 7 (((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻) βˆͺ {𝑔}) = ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {𝑔}))
533adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
54 mreexexlem2d.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
5554adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
5623adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
57 difss 4130 . . . . . . . . . 10 (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βŠ† 𝐹
58 unss1 4178 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βŠ† 𝐹 β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻) βŠ† (𝐹 βˆͺ 𝐻))
5957, 58mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻) βŠ† (𝐹 βˆͺ 𝐻))
6053, 5, 22, 56, 59mrissmrid 17581 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
61 mreexexlem2d.6 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
6261adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
6362difss2d 4133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ 𝐺 βŠ† 𝑋)
6463, 45sseldd 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑋)
6520adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ ((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}) = ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻))
6665fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})) = (π‘β€˜((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻)))
6750, 66neleqtrd 2855 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻)))
6853, 5, 22, 55, 60, 64, 67mreexmrid 17583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ (((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ 𝐻) βˆͺ {𝑔}) ∈ 𝐼)
6952, 68eqeltrrid 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {𝑔})) ∈ 𝐼)
7045, 51, 69jca32 516 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ})))) β†’ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ (Β¬ 𝑔 ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {𝑔})) ∈ 𝐼)))
7170ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ (𝑔 ∈ 𝐺 ∧ (Β¬ 𝑔 ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {𝑔})) ∈ 𝐼))))
7271eximdv 1920 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝑔 ∈ (π‘β€˜((𝐹 βˆͺ 𝐻) βˆ– {π‘Œ}))) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐺 ∧ (Β¬ 𝑔 ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {𝑔})) ∈ 𝐼))))
7344, 72mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐺 ∧ (Β¬ 𝑔 ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {𝑔})) ∈ 𝐼)))
74 df-rex 3071 . 2 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 (Β¬ 𝑔 ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {𝑔})) ∈ 𝐼) ↔ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐺 ∧ (Β¬ 𝑔 ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {𝑔})) ∈ 𝐼)))
7573, 74sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 (Β¬ 𝑔 ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Œ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {𝑔})) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  β€˜cfv 6540  Moorecmre 17522  mrClscmrc 17523  mrIndcmri 17524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-mri 17528
This theorem is referenced by:  mreexexlem4d  17587
  Copyright terms: Public domain W3C validator