Theorem mrcssidd 17593

Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 17585. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mrcssidd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem mrcssidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssidd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)
3		mrcssidd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
4	3	mrcssid 17585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
5	1, 2, 4	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  Moorecmre 17550  mrClscmrc 17551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-mre 17554  df-mrc 17555

This theorem is referenced by:  submrc  17596  mrieqvlemd  17597  mrieqv2d  17607  mreexmrid  17611  mreexexlem2d  17613  mreexexlem3d  17614  mreexfidimd  17618  isacs2  17621  acsmap2d  18521  cycsubg2cl  19150  odf1o1  19509  gsumzsplit  19864  gsumzoppg  19881  gsumpt  19899  dprdfeq0  19961  dprdspan  19966  subgdmdprd  19973  subgdprd  19974  dprd2dlem1  19980  dprd2da  19981  dmdprdsplit2lem  19984  pgpfac1lem1  20013  pgpfac1lem3a  20015  pgpfac1lem3  20016  pgpfac1lem5  20018  pgpfaclem2  20021  proot1mul  43190