MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcssidd 17612
Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 17604. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssidd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3 (𝜑𝑈𝑋)
Assertion
Ref Expression
mrcssidd (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem mrcssidd
StepHypRef Expression
1 mrcssidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrcssidd.3 . 2 (𝜑𝑈𝑋)
3 mrcssidd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
43mrcssid 17604 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
51, 2, 4syl2anc 582 1 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3949  cfv 6553  Moorecmre 17569  mrClscmrc 17570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-mre 17573  df-mrc 17574
This theorem is referenced by:  submrc  17615  mrieqvlemd  17616  mrieqv2d  17626  mreexmrid  17630  mreexexlem2d  17632  mreexexlem3d  17633  mreexfidimd  17637  isacs2  17640  acsmap2d  18554  cycsubg2cl  19173  odf1o1  19534  gsumzsplit  19889  gsumzoppg  19906  gsumpt  19924  dprdfeq0  19986  dprdspan  19991  subgdmdprd  19998  subgdprd  19999  dprd2dlem1  20005  dprd2da  20006  dmdprdsplit2lem  20009  pgpfac1lem1  20038  pgpfac1lem3a  20040  pgpfac1lem3  20041  pgpfac1lem5  20043  pgpfaclem2  20046  proot1mul  42653
  Copyright terms: Public domain W3C validator