Theorem mrcssidd 17548

Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 17540. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mrcssidd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem mrcssidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssidd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)
3		mrcssidd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
4	3	mrcssid 17540	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
5	1, 2, 4	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  Moorecmre 17501  mrClscmrc 17502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-mre 17505  df-mrc 17506

This theorem is referenced by:  submrc  17551  mrieqvlemd  17552  mrieqv2d  17562  mreexmrid  17566  mreexexlem2d  17568  mreexexlem3d  17569  mreexfidimd  17573  isacs2  17576  acsmap2d  18478  cycsubg2cl  19140  odf1o1  19501  gsumzsplit  19856  gsumzoppg  19873  gsumpt  19891  dprdfeq0  19953  dprdspan  19958  subgdmdprd  19965  subgdprd  19966  dprd2dlem1  19972  dprd2da  19973  dmdprdsplit2lem  19976  pgpfac1lem1  20005  pgpfac1lem3a  20007  pgpfac1lem3  20008  pgpfac1lem5  20010  pgpfaclem2  20013  proot1mul  43432