Theorem mrcssidd 17671

Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 17663. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mrcssidd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem mrcssidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssidd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)
3		mrcssidd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
4	3	mrcssid 17663	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
5	1, 2, 4	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  Moorecmre 17624  mrClscmrc 17625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-mre 17628  df-mrc 17629

This theorem is referenced by:  submrc  17674  mrieqvlemd  17675  mrieqv2d  17685  mreexmrid  17689  mreexexlem2d  17691  mreexexlem3d  17692  mreexfidimd  17696  isacs2  17699  acsmap2d  18601  cycsubg2cl  19273  odf1o1  19633  gsumzsplit  19988  gsumzoppg  20005  gsumpt  20023  dprdfeq0  20085  dprdspan  20090  subgdmdprd  20097  subgdprd  20098  dprd2dlem1  20104  dprd2da  20105  dmdprdsplit2lem  20108  pgpfac1lem1  20137  pgpfac1lem3a  20139  pgpfac1lem3  20140  pgpfac1lem5  20142  pgpfaclem2  20145  proot1mul  43783