MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcssidd 17668
Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 17660. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssidd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3 (𝜑𝑈𝑋)
Assertion
Ref Expression
mrcssidd (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem mrcssidd
StepHypRef Expression
1 mrcssidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrcssidd.3 . 2 (𝜑𝑈𝑋)
3 mrcssidd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
43mrcssid 17660 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
51, 2, 4syl2anc 584 1 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-mre 17629  df-mrc 17630
This theorem is referenced by:  submrc  17671  mrieqvlemd  17672  mrieqv2d  17682  mreexmrid  17686  mreexexlem2d  17688  mreexexlem3d  17689  mreexfidimd  17693  isacs2  17696  acsmap2d  18600  cycsubg2cl  19229  odf1o1  19590  gsumzsplit  19945  gsumzoppg  19962  gsumpt  19980  dprdfeq0  20042  dprdspan  20047  subgdmdprd  20054  subgdprd  20055  dprd2dlem1  20061  dprd2da  20062  dmdprdsplit2lem  20065  pgpfac1lem1  20094  pgpfac1lem3a  20096  pgpfac1lem3  20097  pgpfac1lem5  20099  pgpfaclem2  20102  proot1mul  43206
  Copyright terms: Public domain W3C validator