Theorem mrcssidd 17828

Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 17820. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mrcssidd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem mrcssidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssidd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)
3		mrcssidd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
4	3	mrcssid 17820	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
5	1, 2, 4	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  Moorecmre 17781  mrClscmrc 17782

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-mre 17785  df-mrc 17786

This theorem is used by:  submrc  17831  mrieqvlemd  17832  mrieqv2d  17842  mreexmrid  17846  mreexexlem2d  17848  mreexexlem3d  17849  mreexfidimd  17853  isacs2  17856  acsmap2d  18758  cycsubg2cl  19455  odf1o1  19816  gsumzsplit  20171  gsumzoppg  20188  gsumpt  20206  dprdfeq0  20268  dprdspan  20273  subgdmdprd  20280  subgdprd  20281  dprd2dlem1  20287  dprd2da  20288  dmdprdsplit2lem  20291  pgpfac1lem1  20320  pgpfac1lem3a  20322  pgpfac1lem3  20323  pgpfac1lem5  20325  pgpfaclem2  20328  proot1mul  44388