MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcssidd 16888
Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 16880. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssidd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3 (𝜑𝑈𝑋)
Assertion
Ref Expression
mrcssidd (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem mrcssidd
StepHypRef Expression
1 mrcssidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrcssidd.3 . 2 (𝜑𝑈𝑋)
3 mrcssidd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
43mrcssid 16880 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
51, 2, 4syl2anc 584 1 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3939  cfv 6351  Moorecmre 16845  mrClscmrc 16846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-fv 6359  df-mre 16849  df-mrc 16850
This theorem is referenced by:  submrc  16891  mrieqvlemd  16892  mrieqv2d  16902  mreexmrid  16906  mreexexlem2d  16908  mreexexlem3d  16909  mreexfidimd  16913  isacs2  16916  acsmap2d  17781  cycsubg2cl  18286  odf1o1  18619  gsumzsplit  18969  gsumzoppg  18986  gsumpt  19004  dprdfeq0  19066  dprdspan  19071  subgdmdprd  19078  subgdprd  19079  dprd2dlem1  19085  dprd2da  19086  dmdprdsplit2lem  19089  pgpfac1lem1  19118  pgpfac1lem3a  19120  pgpfac1lem3  19121  pgpfac1lem5  19123  pgpfaclem2  19126  proot1mul  39666
  Copyright terms: Public domain W3C validator