Theorem mrcssidd 17706

Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 17698. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mrcssidd	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem mrcssidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssidd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑋)
3		mrcssidd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
4	3	mrcssid 17698	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
5	1, 2, 4	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  Moorecmre 17659  mrClscmrc 17660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-mre 17663  df-mrc 17664

This theorem is used by:  submrc  17709  mrieqvlemd  17710  mrieqv2d  17720  mreexmrid  17724  mreexexlem2d  17726  mreexexlem3d  17727  mreexfidimd  17731  isacs2  17734  acsmap2d  18636  cycsubg2cl  19313  odf1o1  19673  gsumzsplit  20028  gsumzoppg  20045  gsumpt  20063  dprdfeq0  20125  dprdspan  20130  subgdmdprd  20137  subgdprd  20138  dprd2dlem1  20144  dprd2da  20145  dmdprdsplit2lem  20148  pgpfac1lem1  20177  pgpfac1lem3a  20179  pgpfac1lem3  20180  pgpfac1lem5  20182  pgpfaclem2  20185  proot1mul  43962