Theorem mrcidm 17525

Description: The closure operation is idempotent. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrcidm	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘(𝐹‘𝑈)) = (𝐹‘𝑈))

Proof of Theorem mrcidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcfval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
2	1	mrccl 17517	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐶)
3	1	mrcid 17519	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐶) → (𝐹‘(𝐹‘𝑈)) = (𝐹‘𝑈))
4	2, 3	syldan 591	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘(𝐹‘𝑈)) = (𝐹‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  Moorecmre 17484  mrClscmrc 17485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-mre 17488  df-mrc 17489

This theorem is referenced by:  mrcuni  17527  mrcidmd  17532  ismrc  42678