Theorem npex 10946

Description: The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
npex	⊢ P ∈ V

Proof of Theorem npex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 10883	. . 3 ⊢ Q ∈ V
2	1	pwex 5338	. 2 ⊢ 𝒫 Q ∈ V
3		pssss 4064	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊊ Q → 𝑥 ⊆ Q)
4	3	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧)) → 𝑥 ⊆ Q)
5	4	ss2abi 4033	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧))} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ Q}
6		df-np 10941	. . 3 ⊢ P = {𝑥 ∣ ((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧))}
7		df-pw 4568	. . 3 ⊢ 𝒫 Q = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ Q}
8	5, 6, 7	3sstr4i 4001	. 2 ⊢ P ⊆ 𝒫 Q
9	2, 8	ssexi 5280	1 ⊢ P ∈ V

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   ⊊ wpss 3918  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566   class class class wbr 5110  Qcnq 10812   <_Q cltq 10818  Pcnp 10819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-om 7846  df-ni 10832  df-nq 10872  df-np 10941

This theorem is referenced by:  nrex1  11024  enrex  11027