Theorem npex 10874

Description: The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
npex	⊢ P ∈ V

Proof of Theorem npex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 10811	. . 3 ⊢ Q ∈ V
2	1	pwex 5318	. 2 ⊢ 𝒫 Q ∈ V
3		pssss 4048	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊊ Q → 𝑥 ⊆ Q)
4	3	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧)) → 𝑥 ⊆ Q)
5	4	ss2abi 4018	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧))} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ Q}
6		df-np 10869	. . 3 ⊢ P = {𝑥 ∣ ((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧))}
7		df-pw 4552	. . 3 ⊢ 𝒫 Q = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ Q}
8	5, 6, 7	3sstr4i 3986	. 2 ⊢ P ⊆ 𝒫 Q
9	2, 8	ssexi 5260	1 ⊢ P ∈ V

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1539   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4550   class class class wbr 5091  Qcnq 10740   <_Q cltq 10746  Pcnp 10747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-tr 5199  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-om 7797  df-ni 10760  df-nq 10800  df-np 10869

This theorem is referenced by:  nrex1  10952  enrex  10955