Theorem npex 10909

Description: The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
npex	⊢ P ∈ V

Proof of Theorem npex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 10846	. . 3 ⊢ Q ∈ V
2	1	pwex 5327	. 2 ⊢ 𝒫 Q ∈ V
3		pssss 4052	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊊ Q → 𝑥 ⊆ Q)
4	3	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ (((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧)) → 𝑥 ⊆ Q)
5	4	ss2abi 4020	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧))} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ Q}
6		df-np 10904	. . 3 ⊢ P = {𝑥 ∣ ((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧))}
7		df-pw 4558	. . 3 ⊢ 𝒫 Q = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ Q}
8	5, 6, 7	3sstr4i 3987	. 2 ⊢ P ⊆ 𝒫 Q
9	2, 8	ssexi 5269	1 ⊢ P ∈ V

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  Qcnq 10775   <_Q cltq 10781  Pcnp 10782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-om 7819  df-ni 10795  df-nq 10835  df-np 10904

This theorem is referenced by:  nrex1  10987  enrex  10990