Theorem npex 11098

Description: The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
npex	⊢ P ∈ V

Proof of Theorem npex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 11035	. . 3 ⊢ Q ∈ V
2	1	pwex 5346	. 2 ⊢ 𝒫 Q ∈ V
3		pssss 4028	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊊ Q → 𝑥 ⊆ Q)
4	3	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧)) → 𝑥 ⊆ Q)
5	4	ss2abi 3994	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧))} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ Q}
6		df-np 11093	. . 3 ⊢ P = {𝑥 ∣ ((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧))}
7		df-pw 4562	. . 3 ⊢ 𝒫 Q = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ Q}
8	5, 6, 7	3sstr4i 3964	. 2 ⊢ P ⊆ 𝒫 Q
9	2, 8	ssexi 5288	1 ⊢ P ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  Qcnq 10964   <_Q cltq 10970  Pcnp 10971

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-om 7902  df-ni 10984  df-nq 11024  df-np 11093

This theorem is used by:  nrex1  11176  enrex  11179