Theorem npex 10408

Description: The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
npex	⊢ P ∈ V

Proof of Theorem npex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 10345	. . 3 ⊢ Q ∈ V
2	1	pwex 5281	. 2 ⊢ 𝒫 Q ∈ V
3		pssss 4072	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊊ Q → 𝑥 ⊆ Q)
4	3	ad2antlr 725	. . . 4 ⊢ (((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧)) → 𝑥 ⊆ Q)
5	4	ss2abi 4043	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧))} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ Q}
6		df-np 10403	. . 3 ⊢ P = {𝑥 ∣ ((∅ ⊊ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 <Q 𝑧))}
7		df-pw 4541	. . 3 ⊢ 𝒫 Q = {𝑥 ∣ 𝑥 ⊆ Q}
8	5, 6, 7	3sstr4i 4010	. 2 ⊢ P ⊆ 𝒫 Q
9	2, 8	ssexi 5226	1 ⊢ P ∈ V

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1535   ∈ wcel 2114  {cab 2799  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936   ⊊ wpss 3937  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5066  Qcnq 10274   <_Q cltq 10280  Pcnp 10281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-tr 5173  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-om 7581  df-ni 10294  df-nq 10334  df-np 10403

This theorem is referenced by:  nrex1  10486  enrex  10489