Theorem enrex 11080

Description: The equivalence relation for signed reals exists. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
enrex	⊢ ~R ∈ V

Proof of Theorem enrex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npex 10999	. . . 4 ⊢ P ∈ V
2	1, 1	xpex 7756	. . 3 ⊢ (P × P) ∈ V
3	2, 2	xpex 7756	. 2 ⊢ ((P × P) × (P × P)) ∈ V
4		df-enr 11068	. . 3 ⊢ ~R = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (P × P) ∧ 𝑦 ∈ (P × P)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 +P 𝑢) = (𝑤 +P 𝑣)))}
5		opabssxp 5751	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (P × P) ∧ 𝑦 ∈ (P × P)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 +P 𝑢) = (𝑤 +P 𝑣)))} ⊆ ((P × P) × (P × P))
6	4, 5	eqsstri 3980	. 2 ⊢ ~R ⊆ ((P × P) × (P × P))
7	3, 6	ssexi 5291	1 ⊢ ~R ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ⟨cop 4593  {copab 5171   × cxp 5657  (class class class)co 7417  Pcnp 10872   +_P cpp 10874   ~_R cer 10877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-om 7867  df-ni 10885  df-nq 10925  df-np 10994  df-enr 11068

This theorem is used by:  addsrpr  11088  mulsrpr  11089  ltsrpr  11090  0r  11093  1sr  11094  m1r  11095  addclsr  11096  mulclsr  11097  recexsrlem  11116