Theorem nrex1 10820

Description: The class of signed reals is a set. Note that a shorter proof is possible using qsex 8565 (and not requiring enrer 10819), but it would add a dependency on ax-rep 5209. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) Extract proof from that of axcnex 10903. (Revised by BJ, 4-Feb-2023.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nrex1	⊢ R ∈ V

Proof of Theorem nrex1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 10812	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		npex 10742	. . . . 5 ⊢ P ∈ V
3	2, 2	xpex 7603	. . . 4 ⊢ (P × P) ∈ V
4	3	pwex 5303	. . 3 ⊢ 𝒫 (P × P) ∈ V
5		enrer 10819	. . . . . 6 ⊢ ~R Er (P × P)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ~R Er (P × P))
7	6	qsss 8567	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
8	7	mptru 1546	. . 3 ⊢ ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
9	4, 8	ssexi 5246	. 2 ⊢ ((P × P) / ~R ) ∈ V
10	1, 9	eqeltri 2835	1 ⊢ R ∈ V

Syntax hints:  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533   × cxp 5587   Er wer 8495   / cqs 8497  Pcnp 10615   ~_R cer 10620  Rcnr 10621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-ni 10628  df-pli 10629  df-mi 10630  df-lti 10631  df-plpq 10664  df-mpq 10665  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-plq 10670  df-mq 10671  df-1nq 10672  df-rq 10673  df-ltnq 10674  df-np 10737  df-plp 10739  df-ltp 10741  df-enr 10811  df-nr 10812

This theorem is referenced by:  axcnex  10903  bj-inftyexpitaudisj  35376