Theorem nrex1 10830

Description: The class of signed reals is a set. Note that a shorter proof is possible using qsex 8552 (and not requiring enrer 10829), but it would add a dependency on ax-rep 5208. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) Extract proof from that of axcnex 10913. (Revised by BJ, 4-Feb-2023.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nrex1	⊢ R ∈ V

Proof of Theorem nrex1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 10822	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		npex 10752	. . . . 5 ⊢ P ∈ V
3	2, 2	xpex 7593	. . . 4 ⊢ (P × P) ∈ V
4	3	pwex 5301	. . 3 ⊢ 𝒫 (P × P) ∈ V
5		enrer 10829	. . . . . 6 ⊢ ~R Er (P × P)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ~R Er (P × P))
7	6	qsss 8554	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
8	7	mptru 1546	. . 3 ⊢ ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
9	4, 8	ssexi 5244	. 2 ⊢ ((P × P) / ~R ) ∈ V
10	1, 9	eqeltri 2835	1 ⊢ R ∈ V

Syntax hints:  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106  Vcvv 3429   ⊆ wss 3886  𝒫 cpw 4533   × cxp 5582   Er wer 8482   / cqs 8484  Pcnp 10625   ~_R cer 10630  Rcnr 10631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-oadd 8288  df-omul 8289  df-er 8485  df-ec 8487  df-qs 8491  df-ni 10638  df-pli 10639  df-mi 10640  df-lti 10641  df-plpq 10674  df-mpq 10675  df-ltpq 10676  df-enq 10677  df-nq 10678  df-erq 10679  df-plq 10680  df-mq 10681  df-1nq 10682  df-rq 10683  df-ltnq 10684  df-np 10747  df-plp 10749  df-ltp 10751  df-enr 10821  df-nr 10822

This theorem is referenced by:  axcnex  10913  bj-inftyexpitaudisj  35384