Theorem nrex1 10950

Description: The class of signed reals is a set. Note that a shorter proof is possible using qsex 8692 (and not requiring enrer 10949), but it would add a dependency on ax-rep 5212. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) Extract proof from that of axcnex 11033. (Revised by BJ, 4-Feb-2023.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nrex1	⊢ R ∈ V

Proof of Theorem nrex1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 10942	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		npex 10872	. . . . 5 ⊢ P ∈ V
3	2, 2	xpex 7681	. . . 4 ⊢ (P × P) ∈ V
4	3	pwex 5313	. . 3 ⊢ 𝒫 (P × P) ∈ V
5		enrer 10949	. . . . . 6 ⊢ ~R Er (P × P)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ~R Er (P × P))
7	6	qsss 8695	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
8	7	mptru 1548	. . 3 ⊢ ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
9	4, 8	ssexi 5255	. 2 ⊢ ((P × P) / ~R ) ∈ V
10	1, 9	eqeltri 2827	1 ⊢ R ∈ V

Syntax hints:  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4545   × cxp 5609   Er wer 8614   / cqs 8616  Pcnp 10745   ~_R cer 10750  Rcnr 10751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-ni 10758  df-pli 10759  df-mi 10760  df-lti 10761  df-plpq 10794  df-mpq 10795  df-ltpq 10796  df-enq 10797  df-nq 10798  df-erq 10799  df-plq 10800  df-mq 10801  df-1nq 10802  df-rq 10803  df-ltnq 10804  df-np 10867  df-plp 10869  df-ltp 10871  df-enr 10941  df-nr 10942

This theorem is referenced by:  axcnex  11033  bj-inftyexpitaudisj  37239