Theorem nrex1 11188

Description: The class of signed reals is a set. Note that a shorter proof is possible using qsex 8831 (and not requiring enrer 11187), but it would add a dependency on ax-rep 5238. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) Extract proof from that of axcnex 11271. (Revised by BJ, 4-Feb-2023.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nrex1	⊢ R ∈ V

Proof of Theorem nrex1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11180	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		npex 11110	. . . . 5 ⊢ P ∈ V
3	2, 2	xpex 7799	. . . 4 ⊢ (P × P) ∈ V
4	3	pwex 5349	. . 3 ⊢ 𝒫 (P × P) ∈ V
5		enrer 11187	. . . . . 6 ⊢ ~R Er (P × P)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ~R Er (P × P))
7	6	qsss 8834	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
8	7	mptru 1577	. . 3 ⊢ ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
9	4, 8	ssexi 5291	. 2 ⊢ ((P × P) / ~R ) ∈ V
10	1, 9	eqeltri 2860	1 ⊢ R ∈ V

This proof depends on syntax axioms:  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   × cxp 5656   Er wer 8752   / cqs 8754  Pcnp 10983   ~_R cer 10988  Rcnr 10989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-ni 10996  df-pli 10997  df-mi 10998  df-lti 10999  df-plpq 11032  df-mpq 11033  df-ltpq 11034  df-enq 11035  df-nq 11036  df-erq 11037  df-plq 11038  df-mq 11039  df-1nq 11040  df-rq 11041  df-ltnq 11042  df-np 11105  df-plp 11107  df-ltp 11109  df-enr 11179  df-nr 11180

This theorem is used by:  axcnex  11271  bj-inftyexpitaudisj  38394