Theorem nrex1 11104

Description: The class of signed reals is a set. Note that a shorter proof is possible using qsex 8816 (and not requiring enrer 11103), but it would add a dependency on ax-rep 5279. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) Extract proof from that of axcnex 11187. (Revised by BJ, 4-Feb-2023.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nrex1	⊢ R ∈ V

Proof of Theorem nrex1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11096	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		npex 11026	. . . . 5 ⊢ P ∈ V
3	2, 2	xpex 7773	. . . 4 ⊢ (P × P) ∈ V
4	3	pwex 5380	. . 3 ⊢ 𝒫 (P × P) ∈ V
5		enrer 11103	. . . . . 6 ⊢ ~R Er (P × P)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ~R Er (P × P))
7	6	qsss 8818	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
8	7	mptru 1547	. . 3 ⊢ ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
9	4, 8	ssexi 5322	. 2 ⊢ ((P × P) / ~R ) ∈ V
10	1, 9	eqeltri 2837	1 ⊢ R ∈ V

Syntax hints:  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600   × cxp 5683   Er wer 8742   / cqs 8744  Pcnp 10899   ~_R cer 10904  Rcnr 10905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-ni 10912  df-pli 10913  df-mi 10914  df-lti 10915  df-plpq 10948  df-mpq 10949  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-plq 10954  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957  df-ltnq 10958  df-np 11021  df-plp 11023  df-ltp 11025  df-enr 11095  df-nr 11096

This theorem is referenced by:  axcnex  11187  bj-inftyexpitaudisj  37206