Theorem nrex1 11142

Description: The class of signed reals is a set. Note that a shorter proof is possible using qsex 8786 (and not requiring enrer 11141), but it would add a dependency on ax-rep 5232. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) Extract proof from that of axcnex 11225. (Revised by BJ, 4-Feb-2023.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nrex1	⊢ R ∈ V

Proof of Theorem nrex1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11134	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		npex 11064	. . . . 5 ⊢ P ∈ V
3	2, 2	xpex 7765	. . . 4 ⊢ (P × P) ∈ V
4	3	pwex 5342	. . 3 ⊢ 𝒫 (P × P) ∈ V
5		enrer 11141	. . . . . 6 ⊢ ~R Er (P × P)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ~R Er (P × P))
7	6	qsss 8789	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
8	7	mptru 1577	. . 3 ⊢ ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
9	4, 8	ssexi 5284	. 2 ⊢ ((P × P) / ~R ) ∈ V
10	1, 9	eqeltri 2857	1 ⊢ R ∈ V

This proof depends on syntax axioms:  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   × cxp 5649   Er wer 8707   / cqs 8709  Pcnp 10937   ~_R cer 10942  Rcnr 10943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-ec 8712  df-qs 8716  df-ni 10950  df-pli 10951  df-mi 10952  df-lti 10953  df-plpq 10986  df-mpq 10987  df-ltpq 10988  df-enq 10989  df-nq 10990  df-erq 10991  df-plq 10992  df-mq 10993  df-1nq 10994  df-rq 10995  df-ltnq 10996  df-np 11059  df-plp 11061  df-ltp 11063  df-enr 11133  df-nr 11134

This theorem is used by:  axcnex  11225  bj-inftyexpitaudisj  38106