Theorem nrex1 11048

Description: The class of signed reals is a set. Note that a shorter proof is possible using qsex 8769 (and not requiring enrer 11047), but it would add a dependency on ax-rep 5242. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) Extract proof from that of axcnex 11131. (Revised by BJ, 4-Feb-2023.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nrex1	⊢ R ∈ V

Proof of Theorem nrex1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11040	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		npex 10970	. . . . 5 ⊢ P ∈ V
3	2, 2	xpex 7751	. . . 4 ⊢ (P × P) ∈ V
4	3	pwex 5352	. . 3 ⊢ 𝒫 (P × P) ∈ V
5		enrer 11047	. . . . . 6 ⊢ ~R Er (P × P)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ~R Er (P × P))
7	6	qsss 8772	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
8	7	mptru 1574	. . 3 ⊢ ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
9	4, 8	ssexi 5293	. 2 ⊢ ((P × P) / ~R ) ∈ V
10	1, 9	eqeltri 2865	1 ⊢ R ∈ V

Syntax hints:  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   × cxp 5660   Er wer 8690   / cqs 8692  Pcnp 10843   ~_R cer 10848  Rcnr 10849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-ni 10856  df-pli 10857  df-mi 10858  df-lti 10859  df-plpq 10892  df-mpq 10893  df-ltpq 10894  df-enq 10895  df-nq 10896  df-erq 10897  df-plq 10898  df-mq 10899  df-1nq 10900  df-rq 10901  df-ltnq 10902  df-np 10965  df-plp 10967  df-ltp 10969  df-enr 11039  df-nr 11040

This theorem is referenced by:  axcnex  11131  bj-inftyexpitaudisj  37736