MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrex1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrex1 10471
Description: The class of signed reals is a set. Note that a shorter proof is possible using qsex 8339 (and not requiring enrer 10470), but it would add a dependency on ax-rep 5171. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) Extract proof from that of axcnex 10554. (Revised by BJ, 4-Feb-2023.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nrex1 R ∈ V

Proof of Theorem nrex1
StepHypRef Expression
1 df-nr 10463 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 npex 10393 . . . . 5 P ∈ V
32, 2xpex 7459 . . . 4 (P × P) ∈ V
43pwex 5262 . . 3 𝒫 (P × P) ∈ V
5 enrer 10470 . . . . . 6 ~R Er (P × P)
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ~R Er (P × P))
76qsss 8341 . . . 4 (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
87mptru 1545 . . 3 ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
94, 8ssexi 5207 . 2 ((P × P) / ~R ) ∈ V
101, 9eqeltri 2912 1 R ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wtru 1539  wcel 2115  Vcvv 3479  wss 3918  𝒫 cpw 4520   × cxp 5534   Er wer 8269   / cqs 8271  Pcnp 10266   ~R cer 10271  Rcnr 10272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-ni 10279  df-pli 10280  df-mi 10281  df-lti 10282  df-plpq 10315  df-mpq 10316  df-ltpq 10317  df-enq 10318  df-nq 10319  df-erq 10320  df-plq 10321  df-mq 10322  df-1nq 10323  df-rq 10324  df-ltnq 10325  df-np 10388  df-plp 10390  df-ltp 10392  df-enr 10462  df-nr 10463
This theorem is referenced by:  axcnex  10554  bj-inftyexpitaudisj  34523
  Copyright terms: Public domain W3C validator