Theorem occon3 31786

Description: Hilbert lattice contraposition law. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
occon3	⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem occon3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ococss 31782	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → 𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
3		ocss 31774	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐵) ⊆ ℋ)
4		occon 31776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐵) ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘𝐴)))
5	3, 4	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → (⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘𝐴)))
6		sstr2 3941	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)) → ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ⊆ (⊥‘𝐴) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))
7	2, 5, 6	sylsyld 62	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))
8		ococss 31782	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
10		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → 𝐵 ⊆ ℋ)
11		ocss 31774	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
12		occon 31776	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐵)))
13	10, 11, 12	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐵)))
14		sstr2 3941	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)) → ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘𝐵) → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
15	9, 13, 14	sylsyld 62	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)))
16	7, 15	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537   ℋchba 31408  ⊥cort 31419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-hilex 31488  ax-hfvadd 31489  ax-hv0cl 31492  ax-hfvmul 31494  ax-hvmul0 31499  ax-hfi 31568  ax-his1 31571  ax-his2 31572  ax-his3 31573

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sh 31696  df-oc 31741

This theorem is used by:  chsscon2i  31952  chsscon2  31991