Theorem occon2 31363

Description: Double contraposition for orthogonal complement. (Contributed by NM, 22-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
occon2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))

Proof of Theorem occon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocss 31360	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
2		ocss 31360	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐵) ⊆ ℋ)
3	1, 2	anim12ci 614	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → ((⊥‘𝐵) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ))
4		occon 31362	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘𝐵) ⊆ (⊥‘𝐴)))
5		occon 31362	. 2 ⊢ (((⊥‘𝐵) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → ((⊥‘𝐵) ⊆ (⊥‘𝐴) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
6	3, 4, 5	sylsyld 61	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492   ℋchba 30994  ⊥cort 31005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hv0cl 31078  ax-hfvmul 31080  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his2 31158  ax-his3 31159

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sh 31282  df-oc 31327

This theorem is referenced by:  occon2i  31364  hsupss  31416  shlej1  31435  shlub  31489