HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem occon2 29067
Description: Double contraposition for orthogonal complement. (Contributed by NM, 22-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
occon2 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴𝐵 → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))

Proof of Theorem occon2
StepHypRef Expression
1 ocss 29064 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
2 ocss 29064 . . 3 (𝐵 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐵) ⊆ ℋ)
31, 2anim12ci 616 . 2 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → ((⊥‘𝐵) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ))
4 occon 29066 . 2 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴𝐵 → (⊥‘𝐵) ⊆ (⊥‘𝐴)))
5 occon 29066 . 2 (((⊥‘𝐵) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → ((⊥‘𝐵) ⊆ (⊥‘𝐴) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
63, 4, 5sylsyld 61 1 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴𝐵 → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wss 3919  cfv 6343  chba 28698  cort 28709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hv0cl 28782  ax-hfvmul 28784  ax-hvmul0 28789  ax-hfi 28858  ax-his2 28862  ax-his3 28863
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7148  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sh 28986  df-oc 29031
This theorem is referenced by:  occon2i  29068  hsupss  29120  shlej1  29139  shlub  29193
  Copyright terms: Public domain W3C validator