Theorem ococin 31479

Description: The double complement is the smallest closed subspace containing a subset of Hilbert space. Remark 3.12(B) of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ococin	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ococin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helch 31314	. . . . . . . . 9 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
2	1	jctl 523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ( ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ))
3		sseq2 3948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ℋ → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ℋ))
4	3	elrab 3634	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ↔ ( ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ))
5	2, 4	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ℋ ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
6		intss1 4905	. . . . . . 7 ⊢ ( ℋ ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ℋ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ℋ)
8		ocss 31356	. . . . . 6 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ℋ → (⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ ℋ)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ ℋ)
10		ocss 31356	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
11	9, 10	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ))
12		ssintub 4908	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}
13		occon 31358	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → (⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴)))
14	7, 13	mpdan 688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → (⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴)))
15	12, 14	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴))
16		occon 31358	. . . 4 ⊢ (((⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → ((⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}))))
17	11, 15, 16	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})))
18		ssrab2 4020	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ Cℋ
19	3	rspcev 3564	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
20	1, 19	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
21		rabn0 4329	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
22	20, 21	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅)
23		chintcl 31403	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ Cℋ ∧ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Cℋ )
24	18, 22, 23	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Cℋ )
25		ococ 31477	. . . 4 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})) = ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})) = ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
27	17, 26	sseqtrd 3958	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
28		occl 31375	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
29	10, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
30		ococss 31364	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
31		sseq2 3948	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⊥‘(⊥‘𝐴)) → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
32	31	elrab 3634	. . . 4 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ↔ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
33	29, 30, 32	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
34		intss1 4905	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
35	33, 34	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
36	27, 35	eqssd 3939	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∩ cint 4889  ‘cfv 6498   ℋchba 30990   C_ℋ cch 31000  ⊥cort 31001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156  ax-hcompl 31273

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-lm 23194  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cfil 25222  df-cau 25223  df-cmet 25224  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-gdiv 30567  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-vs 30670  df-nmcv 30671  df-ims 30672  df-dip 30772  df-ssp 30793  df-ph 30884  df-cbn 30934  df-hnorm 31039  df-hba 31040  df-hvsub 31042  df-hlim 31043  df-hcau 31044  df-sh 31278  df-ch 31292  df-oc 31323  df-ch0 31324

This theorem is referenced by:  hsupval2  31480  sshjval2  31482