HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ococin 29197
Description: The double complement is the smallest closed subspace containing a subset of Hilbert space. Remark 3.12(B) of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococin (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = {𝑥C𝐴𝑥})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ococin
StepHypRef Expression
1 helch 29032 . . . . . . . . 9 ℋ ∈ C
21jctl 527 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℋ → ( ℋ ∈ C𝐴 ⊆ ℋ))
3 sseq2 3980 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ℋ → (𝐴𝑥𝐴 ⊆ ℋ))
43elrab 3667 . . . . . . . 8 ( ℋ ∈ {𝑥C𝐴𝑥} ↔ ( ℋ ∈ C𝐴 ⊆ ℋ))
52, 4sylibr 237 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → ℋ ∈ {𝑥C𝐴𝑥})
6 intss1 4878 . . . . . . 7 ( ℋ ∈ {𝑥C𝐴𝑥} → {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ ℋ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ ℋ)
8 ocss 29074 . . . . . 6 ( {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ ℋ → (⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ ℋ)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ ℋ)
10 ocss 29074 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
119, 10jca 515 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ))
12 ssintub 4881 . . . . 5 𝐴 {𝑥C𝐴𝑥}
13 occon 29076 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ ℋ) → (𝐴 {𝑥C𝐴𝑥} → (⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴)))
147, 13mpdan 686 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 {𝑥C𝐴𝑥} → (⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴)))
1512, 14mpi 20 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴))
16 occon 29076 . . . 4 (((⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → ((⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}))))
1711, 15, 16sylc 65 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥})))
18 ssrab2 4043 . . . . 5 {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ C
193rspcev 3610 . . . . . . 7 (( ℋ ∈ C𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥C 𝐴𝑥)
201, 19mpan 689 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥C 𝐴𝑥)
21 rabn0 4323 . . . . . 6 ({𝑥C𝐴𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥C 𝐴𝑥)
2220, 21sylibr 237 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥C𝐴𝑥} ≠ ∅)
23 chintcl 29121 . . . . 5 (({𝑥C𝐴𝑥} ⊆ C ∧ {𝑥C𝐴𝑥} ≠ ∅) → {𝑥C𝐴𝑥} ∈ C )
2418, 22, 23sylancr 590 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥C𝐴𝑥} ∈ C )
25 ococ 29195 . . . 4 ( {𝑥C𝐴𝑥} ∈ C → (⊥‘(⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥})) = {𝑥C𝐴𝑥})
2624, 25syl 17 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥})) = {𝑥C𝐴𝑥})
2717, 26sseqtrd 3994 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ {𝑥C𝐴𝑥})
28 occl 29093 . . . . 5 ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ C )
2910, 28syl 17 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ C )
30 ococss 29082 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
31 sseq2 3980 . . . . 5 (𝑥 = (⊥‘(⊥‘𝐴)) → (𝐴𝑥𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
3231elrab 3667 . . . 4 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥C𝐴𝑥} ↔ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
3329, 30, 32sylanbrc 586 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥C𝐴𝑥})
34 intss1 4878 . . 3 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥C𝐴𝑥} → {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
3533, 34syl 17 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
3627, 35eqssd 3971 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = {𝑥C𝐴𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  {crab 3137  wss 3920  c0 4277   cint 4863  cfv 6344  chba 28708   C cch 28718  cort 28719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616  ax-hilex 28788  ax-hfvadd 28789  ax-hvcom 28790  ax-hvass 28791  ax-hv0cl 28792  ax-hvaddid 28793  ax-hfvmul 28794  ax-hvmulid 28795  ax-hvmulass 28796  ax-hvdistr1 28797  ax-hvdistr2 28798  ax-hvmul0 28799  ax-hfi 28868  ax-his1 28871  ax-his2 28872  ax-his3 28873  ax-his4 28874  ax-hcompl 28991
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-omul 8104  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-fi 8873  df-sup 8904  df-inf 8905  df-oi 8972  df-card 9366  df-acn 9369  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ioo 12742  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-lm 21840  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cfil 23865  df-cau 23866  df-cmet 23867  df-grpo 28282  df-gid 28283  df-ginv 28284  df-gdiv 28285  df-ablo 28334  df-vc 28348  df-nv 28381  df-va 28384  df-ba 28385  df-sm 28386  df-0v 28387  df-vs 28388  df-nmcv 28389  df-ims 28390  df-dip 28490  df-ssp 28511  df-ph 28602  df-cbn 28652  df-hnorm 28757  df-hba 28758  df-hvsub 28760  df-hlim 28761  df-hcau 28762  df-sh 28996  df-ch 29010  df-oc 29041  df-ch0 29042
This theorem is referenced by:  hsupval2  29198  sshjval2  29200
  Copyright terms: Public domain W3C validator