HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ococin 31290
Description: The double complement is the smallest closed subspace containing a subset of Hilbert space. Remark 3.12(B) of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococin (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = {𝑥C𝐴𝑥})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ococin
StepHypRef Expression
1 helch 31125 . . . . . . . . 9 ℋ ∈ C
21jctl 522 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℋ → ( ℋ ∈ C𝐴 ⊆ ℋ))
3 sseq2 4003 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ℋ → (𝐴𝑥𝐴 ⊆ ℋ))
43elrab 3679 . . . . . . . 8 ( ℋ ∈ {𝑥C𝐴𝑥} ↔ ( ℋ ∈ C𝐴 ⊆ ℋ))
52, 4sylibr 233 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → ℋ ∈ {𝑥C𝐴𝑥})
6 intss1 4967 . . . . . . 7 ( ℋ ∈ {𝑥C𝐴𝑥} → {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ ℋ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ ℋ)
8 ocss 31167 . . . . . 6 ( {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ ℋ → (⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ ℋ)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ ℋ)
10 ocss 31167 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
119, 10jca 510 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ))
12 ssintub 4970 . . . . 5 𝐴 {𝑥C𝐴𝑥}
13 occon 31169 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ ℋ) → (𝐴 {𝑥C𝐴𝑥} → (⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴)))
147, 13mpdan 685 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 {𝑥C𝐴𝑥} → (⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴)))
1512, 14mpi 20 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴))
16 occon 31169 . . . 4 (((⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → ((⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥}))))
1711, 15, 16sylc 65 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥})))
18 ssrab2 4073 . . . . 5 {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ C
193rspcev 3606 . . . . . . 7 (( ℋ ∈ C𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥C 𝐴𝑥)
201, 19mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥C 𝐴𝑥)
21 rabn0 4387 . . . . . 6 ({𝑥C𝐴𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥C 𝐴𝑥)
2220, 21sylibr 233 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥C𝐴𝑥} ≠ ∅)
23 chintcl 31214 . . . . 5 (({𝑥C𝐴𝑥} ⊆ C ∧ {𝑥C𝐴𝑥} ≠ ∅) → {𝑥C𝐴𝑥} ∈ C )
2418, 22, 23sylancr 585 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥C𝐴𝑥} ∈ C )
25 ococ 31288 . . . 4 ( {𝑥C𝐴𝑥} ∈ C → (⊥‘(⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥})) = {𝑥C𝐴𝑥})
2624, 25syl 17 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘ {𝑥C𝐴𝑥})) = {𝑥C𝐴𝑥})
2717, 26sseqtrd 4017 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ {𝑥C𝐴𝑥})
28 occl 31186 . . . . 5 ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ C )
2910, 28syl 17 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ C )
30 ococss 31175 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
31 sseq2 4003 . . . . 5 (𝑥 = (⊥‘(⊥‘𝐴)) → (𝐴𝑥𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
3231elrab 3679 . . . 4 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥C𝐴𝑥} ↔ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
3329, 30, 32sylanbrc 581 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥C𝐴𝑥})
34 intss1 4967 . . 3 ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥C𝐴𝑥} → {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
3533, 34syl 17 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥C𝐴𝑥} ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
3627, 35eqssd 3994 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = {𝑥C𝐴𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  {crab 3418  wss 3944  c0 4322   cint 4950  cfv 6549  chba 30801   C cch 30811  cort 30812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cc 10460  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvdistr1 30890  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966  ax-his4 30967  ax-hcompl 31084
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-lm 23177  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cfil 25227  df-cau 25228  df-cmet 25229  df-grpo 30375  df-gid 30376  df-ginv 30377  df-gdiv 30378  df-ablo 30427  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-vs 30481  df-nmcv 30482  df-ims 30483  df-dip 30583  df-ssp 30604  df-ph 30695  df-cbn 30745  df-hnorm 30850  df-hba 30851  df-hvsub 30853  df-hlim 30854  df-hcau 30855  df-sh 31089  df-ch 31103  df-oc 31134  df-ch0 31135
This theorem is referenced by:  hsupval2  31291  sshjval2  31293
  Copyright terms: Public domain W3C validator