Theorem ococin 31669

Description: The double complement is the smallest closed subspace containing a subset of Hilbert space. Remark 3.12(B) of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ococin	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ococin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helch 31504	. . . . . . . . 9 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
2	1	jctl 532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ( ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ))
3		sseq2 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ℋ → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ ℋ))
4	3	elrab 3653	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ↔ ( ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ))
5	2, 4	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ℋ ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
6		intss1 4924	. . . . . . 7 ⊢ ( ℋ ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ℋ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ℋ)
8		ocss 31546	. . . . . 6 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ℋ → (⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ ℋ)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ ℋ)
10		ocss 31546	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
11	9, 10	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ))
12		ssintub 4927	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}
13		occon 31548	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → (⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴)))
14	7, 13	mpdan 699	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → (⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴)))
15	12, 14	mpi 21	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴))
16		occon 31548	. . . 4 ⊢ (((⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → ((⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}) ⊆ (⊥‘𝐴) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}))))
17	11, 15, 16	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})))
18		ssrab2 4036	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ Cℋ
19	3	rspcev 3584	. . . . . . 7 ⊢ (( ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
20	1, 19	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
21		rabn0 4346	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 ⊆ 𝑥)
22	20, 21	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅)
23		chintcl 31593	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ Cℋ ∧ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Cℋ )
24	18, 22, 23	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Cℋ )
25		ococ 31667	. . . 4 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})) = ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
26	24, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})) = ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
27	17, 26	sseqtrd 3975	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
28		occl 31565	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
29	10, 28	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ )
30		ococss 31554	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
31		sseq2 3965	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⊥‘(⊥‘𝐴)) → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
32	31	elrab 3653	. . . 4 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ↔ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
33	29, 30, 32	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
34		intss1 4924	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
35	33, 34	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
36	27, 35	eqssd 3956	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) = ∩ {𝑥 ∈ Cℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  {crab 3417   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  ∩ cint 4908  ‘cfv 6525   ℋchba 31180   C_ℋ cch 31190  ⊥cort 31191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cc 10407  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168  ax-hilex 31260  ax-hfvadd 31261  ax-hvcom 31262  ax-hvass 31263  ax-hv0cl 31264  ax-hvaddid 31265  ax-hfvmul 31266  ax-hvmulid 31267  ax-hvmulass 31268  ax-hvdistr1 31269  ax-hvdistr2 31270  ax-hvmul0 31271  ax-hfi 31340  ax-his1 31343  ax-his2 31344  ax-his3 31345  ax-his4 31346  ax-hcompl 31463

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-lm 23347  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cfil 25375  df-cau 25376  df-cmet 25377  df-grpo 30754  df-gid 30755  df-ginv 30756  df-gdiv 30757  df-ablo 30806  df-vc 30820  df-nv 30853  df-va 30856  df-ba 30857  df-sm 30858  df-0v 30859  df-vs 30860  df-nmcv 30861  df-ims 30862  df-dip 30962  df-ssp 30983  df-ph 31074  df-cbn 31124  df-hnorm 31229  df-hba 31230  df-hvsub 31232  df-hlim 31233  df-hcau 31234  df-sh 31468  df-ch 31482  df-oc 31513  df-ch0 31514

This theorem is referenced by:  hsupval2  31670  sshjval2  31672