Theorem opco1i 8104

Description: Inference form of opco1 8102. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opco1i.1	⊢ 𝐵 ∈ V
opco1i.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opco1i	⊢ (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵)

Proof of Theorem opco1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opco1i.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ V)
3		opco1i.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐶 ∈ V)
5	2, 4	opco1 8102	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵))
6	5	mptru 1547	1 ⊢ (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1^st c1st 7966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fo 6517  df-fv 6519  df-ov 7390  df-1st 7968

This theorem is referenced by:  fpwwe  10599  seq1st  16541  algrf  16543  algrp1  16544  dvnff  25825  dvnp1  25827