Theorem opco1i 8105

Description: Inference form of opco1 8103. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opco1i.1	⊢ 𝐵 ∈ V
opco1i.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opco1i	⊢ (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵)

Proof of Theorem opco1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opco1i.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ V)
3		opco1i.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐶 ∈ V)
5	2, 4	opco1 8103	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵))
6	5	mptru 1568	1 ⊢ (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1561  ⊤wtru 1562   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∘ ccom 5652  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  1^st c1st 7969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-fo 6528  df-fv 6530  df-ov 7400  df-1st 7971

This theorem is referenced by:  fpwwe  10605  seq1st  16606  algrf  16608  algrp1  16609  dvnff  25986  dvnp1  25988