Theorem opco1i 8120

Description: Inference form of opco1 8118. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opco1i.1	⊢ 𝐵 ∈ V
opco1i.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opco1i	⊢ (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵)

Proof of Theorem opco1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opco1i.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ V)
3		opco1i.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐶 ∈ V)
5	2, 4	opco1 8118	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵))
6	5	mptru 1574	1 ⊢ (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149  Vcvv 3461   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1^st c1st 7984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fo 6543  df-fv 6545  df-ov 7414  df-1st 7986

This theorem is referenced by:  fpwwe  10631  seq1st  16629  algrf  16631  algrp1  16632  dvnff  26051  dvnp1  26053