Theorem opco1i 8125

Description: Inference form of opco1 8123. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opco1i.1	⊢ 𝐵 ∈ V
opco1i.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opco1i	⊢ (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵)

Proof of Theorem opco1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opco1i.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ V)
3		opco1i.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐶 ∈ V)
5	2, 4	opco1 8123	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵))
6	5	mptru 1577	1 ⊢ (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1^st c1st 7987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fo 6543  df-fv 6545  df-ov 7419  df-1st 7989

This theorem is used by:  fpwwe  10658  seq1st  16665  algrf  16667  algrp1  16668  dvnff  26152  dvnp1  26154