Theorem opco1i 7966

Description: Inference form of opco1 7964. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opco1i.1	⊢ 𝐵 ∈ V
opco1i.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opco1i	⊢ (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵)

Proof of Theorem opco1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opco1i.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ V)
3		opco1i.2	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐶 ∈ V)
5	2, 4	opco1 7964	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵))
6	5	mptru 1546	1 ⊢ (𝐵(𝐹 ∘ 1st )𝐶) = (𝐹‘𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1^st c1st 7829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fo 6439  df-fv 6441  df-ov 7278  df-1st 7831

This theorem is referenced by:  fpwwe  10402  seq1st  16276  algrf  16278  algrp1  16279  dvnff  25087  dvnp1  25089