MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnff Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvnff 25440
Description: The iterated derivative is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvnff ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D𝑛 𝐹):β„•0⟢(β„‚ ↑pm dom 𝐹))
Proof of Theorem dvnff
Dummy variables π‘˜ 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12864 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12570 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 0 ∈ β„€)
3 fvconst2g 7203 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {𝐹})β€˜π‘˜) = 𝐹)
43adantll 713 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {𝐹})β€˜π‘˜) = 𝐹)
5 dmexg 7894 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
65ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
7 cnex 11191 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
87a1i 11 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ β„‚ ∈ V)
9 elpm2g 8838 . . . . . . . . 9 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)))
107, 9mpan 689 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)))
1110biimpa 478 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆))
1211simpld 496 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
1312adantr 482 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
14 fpmg 8862 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∈ V ∧ β„‚ ∈ V ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))
156, 8, 13, 14syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))
164, 15eqeltrd 2834 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {𝐹})β€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))
17 vex 3479 . . . . . 6 π‘˜ ∈ V
18 vex 3479 . . . . . 6 𝑛 ∈ V
1917, 18opco1i 8111 . . . . 5 (π‘˜((π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯)) ∘ 1st )𝑛) = ((π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯))β€˜π‘˜)
20 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝑆 D π‘₯) = (𝑆 D π‘˜))
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯)) = (π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯))
22 ovex 7442 . . . . . . 7 (𝑆 D π‘˜) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6999 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯))β€˜π‘˜) = (𝑆 D π‘˜))
2423elv 3481 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯))β€˜π‘˜) = (𝑆 D π‘˜)
2519, 24eqtri 2761 . . . 4 (π‘˜((π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯)) ∘ 1st )𝑛) = (𝑆 D π‘˜)
267a1i 11 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ β„‚ ∈ V)
275ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ dom 𝐹 ∈ V)
28 dvfg 25423 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D π‘˜):dom (𝑆 D π‘˜)βŸΆβ„‚)
2928ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ (𝑆 D π‘˜):dom (𝑆 D π‘˜)βŸΆβ„‚)
30 recnprss 25421 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
3130ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
32 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))
33 elpm2g 8838 . . . . . . . . . 10 ((β„‚ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) β†’ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ↔ (π‘˜:dom π‘˜βŸΆβ„‚ ∧ dom π‘˜ βŠ† dom 𝐹)))
347, 27, 33sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ↔ (π‘˜:dom π‘˜βŸΆβ„‚ ∧ dom π‘˜ βŠ† dom 𝐹)))
3532, 34mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ (π‘˜:dom π‘˜βŸΆβ„‚ ∧ dom π‘˜ βŠ† dom 𝐹))
3635simpld 496 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ π‘˜:dom π‘˜βŸΆβ„‚)
3735simprd 497 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ dom π‘˜ βŠ† dom 𝐹)
3811simprd 497 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
3938adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
4037, 39sstrd 3993 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ dom π‘˜ βŠ† 𝑆)
4131, 36, 40dvbss 25418 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ dom (𝑆 D π‘˜) βŠ† dom π‘˜)
4241, 37sstrd 3993 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ dom (𝑆 D π‘˜) βŠ† dom 𝐹)
43 elpm2r 8839 . . . . 5 (((β„‚ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) ∧ ((𝑆 D π‘˜):dom (𝑆 D π‘˜)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝑆 D π‘˜) βŠ† dom 𝐹)) β†’ (𝑆 D π‘˜) ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))
4426, 27, 29, 42, 43syl22anc 838 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ (𝑆 D π‘˜) ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))
4525, 44eqeltrid 2838 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (π‘˜ ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))) β†’ (π‘˜((π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯)) ∘ 1st )𝑛) ∈ (β„‚ ↑pm dom 𝐹))
461, 2, 16, 45seqf 13989 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ seq0(((π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯)) ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐹})):β„•0⟢(β„‚ ↑pm dom 𝐹))
4721dvnfval 25439 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯)) ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐹})))
4830, 47sylan 581 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯)) ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐹})))
4948feq1d 6703 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹):β„•0⟢(β„‚ ↑pm dom 𝐹) ↔ seq0(((π‘₯ ∈ V ↦ (𝑆 D π‘₯)) ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐹})):β„•0⟢(β„‚ ↑pm dom 𝐹)))
5046, 49mpbird 257 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D𝑛 𝐹):β„•0⟢(β„‚ ↑pm dom 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  β„•0cn0 12472  seqcseq 13966   D cdv 25380   D𝑛 cdvn 25381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383  df-dv 25384  df-dvn 25385
This theorem is referenced by:  dvnf  25444  dvnbss  25445  dvnadd  25446
  Copyright terms: Public domain W3C validator