Theorem dvnff 26204

Description: The iterated derivative is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnff	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))

Proof of Theorem dvnff

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12972	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12674	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 0 ∈ ℤ)
3		fvconst2g 7196	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) = 𝐹)
4	3	adantll 727	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) = 𝐹)
5		dmexg 7896	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
6	5	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → dom 𝐹 ∈ V)
7		cnex 11252	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ V)
9		elpm2g 8842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
10	7, 9	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
11	10	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
12	11	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
14		fpmg 8874	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ℂ ∈ V ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
15	6, 8, 13, 14	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
16	4, 15	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
17		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
18		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑛 ∈ V
19	17, 18	opco1i 8119	. . . . 5 ⊢ (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) = ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘)
20		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 D 𝑥) = (𝑆 D 𝑘))
21		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))
22		ovex 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 D 𝑘) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 6981	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘) = (𝑆 D 𝑘))
24	23	elv 3455	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘) = (𝑆 D 𝑘)
25	19, 24	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) = (𝑆 D 𝑘)
26	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → ℂ ∈ V)
27	5	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝐹 ∈ V)
28		dvfg 26187	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ)
29	28	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ)
30		recnprss 26185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31	30	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
32		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
33		elpm2g 8842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) → (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)))
34	7, 27, 33	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)))
35	32, 34	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹))
36	35	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑘:dom 𝑘⟶ℂ)
37	35	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)
38	11	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
40	37, 39	sstrd 3940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝑘 ⊆ 𝑆)
41	31, 36, 40	dvbss 26182	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝑘)
42	41, 37	sstrd 3940	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝐹)
43		elpm2r 8843	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) ∧ ((𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ ∧ dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝐹)) → (𝑆 D 𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
44	26, 27, 29, 42, 43	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑆 D 𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
45	25, 44	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
46	1, 2, 16, 45	seqf 14134	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))
47	21	dvnfval 26203	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})))
48	30, 47	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})))
49	48	feq1d 6679	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹)))
50	46, 49	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  {csn 4583  {cpr 4585   ↦ cmpt 5185   × cxp 5645  dom cdm 5647   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1^st c1st 7982   ↑_pm cpm 8826  ℂcc 11169  ℝcr 11170  0cc0 11171  ℕ₀cn0 12575  seqcseq 14112   D cdv 26144   D^𝑛 cdvn 26145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-icc 13452  df-fz 13609  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-struct 17286  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-rest 17554  df-topn 17555  df-topgen 17575  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-lp 23415  df-perf 23416  df-cnp 23507  df-haus 23594  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-xms 24600  df-ms 24601  df-limc 26147  df-dv 26148  df-dvn 26149

This theorem is used by:  dvnf  26208  dvnbss  26209  dvnadd  26210