Theorem dvnff 25097

Description: The iterated derivative is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnff	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))

Proof of Theorem dvnff

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12630	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12341	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 0 ∈ ℤ)
3		fvconst2g 7069	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) = 𝐹)
4	3	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) = 𝐹)
5		dmexg 7740	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
6	5	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → dom 𝐹 ∈ V)
7		cnex 10962	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ V)
9		elpm2g 8619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
10	7, 9	mpan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
11	10	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
12	11	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
14		fpmg 8643	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ℂ ∈ V ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
15	6, 8, 13, 14	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
16	4, 15	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
17		vex 3433	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
18		vex 3433	. . . . . 6 ⊢ 𝑛 ∈ V
19	17, 18	opco1i 7953	. . . . 5 ⊢ (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) = ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘)
20		oveq2 7275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 D 𝑥) = (𝑆 D 𝑘))
21		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))
22		ovex 7300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 D 𝑘) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘) = (𝑆 D 𝑘))
24	23	elv 3435	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘) = (𝑆 D 𝑘)
25	19, 24	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) = (𝑆 D 𝑘)
26	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → ℂ ∈ V)
27	5	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝐹 ∈ V)
28		dvfg 25080	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ)
29	28	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ)
30		recnprss 25078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31	30	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
32		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
33		elpm2g 8619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) → (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)))
34	7, 27, 33	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)))
35	32, 34	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹))
36	35	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑘:dom 𝑘⟶ℂ)
37	35	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)
38	11	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
40	37, 39	sstrd 3930	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝑘 ⊆ 𝑆)
41	31, 36, 40	dvbss 25075	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝑘)
42	41, 37	sstrd 3930	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝐹)
43		elpm2r 8620	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) ∧ ((𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ ∧ dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝐹)) → (𝑆 D 𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
44	26, 27, 29, 42, 43	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑆 D 𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
45	25, 44	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
46	1, 2, 16, 45	seqf 13754	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))
47	21	dvnfval 25096	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})))
48	30, 47	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})))
49	48	feq1d 6577	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹)))
50	46, 49	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3429   ⊆ wss 3886  {csn 4561  {cpr 4563   ↦ cmpt 5156   × cxp 5582  dom cdm 5584   ∘ ccom 5588  ⟶wf 6422  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  1^st c1st 7818   ↑_pm cpm 8603  ℂcc 10879  ℝcr 10880  0cc0 10881  ℕ₀cn0 12243  seqcseq 13731   D cdv 25037   D^𝑛 cdvn 25038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-icc 13096  df-fz 13250  df-seq 13732  df-exp 13793  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-struct 16858  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-rest 17143  df-topn 17144  df-topgen 17164  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-fbas 20604  df-fg 20605  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cld 22180  df-ntr 22181  df-cls 22182  df-nei 22259  df-lp 22297  df-perf 22298  df-cnp 22389  df-haus 22476  df-fil 23007  df-fm 23099  df-flim 23100  df-flf 23101  df-xms 23483  df-ms 23484  df-limc 25040  df-dv 25041  df-dvn 25042

This theorem is referenced by:  dvnf  25101  dvnbss  25102  dvnadd  25103