Theorem dvnff 24992

Description: The iterated derivative is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnff	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))

Proof of Theorem dvnff

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12549	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12261	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 0 ∈ ℤ)
3		fvconst2g 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) = 𝐹)
4	3	adantll 710	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) = 𝐹)
5		dmexg 7724	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
6	5	ad2antlr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → dom 𝐹 ∈ V)
7		cnex 10883	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ V)
9		elpm2g 8590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
10	7, 9	mpan 686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
11	10	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
12	11	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
14		fpmg 8614	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ℂ ∈ V ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
15	6, 8, 13, 14	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
16	4, 15	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
17		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
18		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑛 ∈ V
19	17, 18	opco1i 7937	. . . . 5 ⊢ (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) = ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘)
20		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 D 𝑥) = (𝑆 D 𝑘))
21		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))
22		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 D 𝑘) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘) = (𝑆 D 𝑘))
24	23	elv 3428	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘) = (𝑆 D 𝑘)
25	19, 24	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) = (𝑆 D 𝑘)
26	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → ℂ ∈ V)
27	5	ad2antlr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝐹 ∈ V)
28		dvfg 24975	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ)
29	28	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ)
30		recnprss 24973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31	30	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
32		simprl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
33		elpm2g 8590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) → (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)))
34	7, 27, 33	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)))
35	32, 34	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹))
36	35	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑘:dom 𝑘⟶ℂ)
37	35	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)
38	11	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
40	37, 39	sstrd 3927	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝑘 ⊆ 𝑆)
41	31, 36, 40	dvbss 24970	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝑘)
42	41, 37	sstrd 3927	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝐹)
43		elpm2r 8591	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) ∧ ((𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ ∧ dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝐹)) → (𝑆 D 𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
44	26, 27, 29, 42, 43	syl22anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑆 D 𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
45	25, 44	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
46	1, 2, 16, 45	seqf 13672	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))
47	21	dvnfval 24991	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})))
48	30, 47	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})))
49	48	feq1d 6569	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹)))
50	46, 49	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558  {cpr 4560   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  dom cdm 5580   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1^st c1st 7802   ↑_pm cpm 8574  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  ℕ₀cn0 12163  seqcseq 13649   D cdv 24932   D^𝑛 cdvn 24933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-rest 17050  df-topn 17051  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-limc 24935  df-dv 24936  df-dvn 24937

This theorem is referenced by:  dvnf  24996  dvnbss  24997  dvnadd  24998