Theorem dvnff 25827

Description: The iterated derivative is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnff	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))

Proof of Theorem dvnff

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12880	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12586	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 0 ∈ ℤ)
3		fvconst2g 7208	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) = 𝐹)
4	3	adantll 713	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) = 𝐹)
5		dmexg 7901	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
6	5	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → dom 𝐹 ∈ V)
7		cnex 11205	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ V)
9		elpm2g 8852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
10	7, 9	mpan 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
11	10	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
12	11	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
14		fpmg 8876	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ℂ ∈ V ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
15	6, 8, 13, 14	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
16	4, 15	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
17		vex 3473	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
18		vex 3473	. . . . . 6 ⊢ 𝑛 ∈ V
19	17, 18	opco1i 8122	. . . . 5 ⊢ (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) = ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘)
20		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 D 𝑥) = (𝑆 D 𝑘))
21		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))
22		ovex 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 D 𝑘) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 6999	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘) = (𝑆 D 𝑘))
24	23	elv 3475	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘) = (𝑆 D 𝑘)
25	19, 24	eqtri 2755	. . . 4 ⊢ (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) = (𝑆 D 𝑘)
26	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → ℂ ∈ V)
27	5	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝐹 ∈ V)
28		dvfg 25809	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ)
29	28	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ)
30		recnprss 25807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31	30	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
32		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
33		elpm2g 8852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) → (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)))
34	7, 27, 33	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)))
35	32, 34	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹))
36	35	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑘:dom 𝑘⟶ℂ)
37	35	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)
38	11	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
40	37, 39	sstrd 3988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝑘 ⊆ 𝑆)
41	31, 36, 40	dvbss 25804	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝑘)
42	41, 37	sstrd 3988	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝐹)
43		elpm2r 8853	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) ∧ ((𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ ∧ dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝐹)) → (𝑆 D 𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
44	26, 27, 29, 42, 43	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑆 D 𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
45	25, 44	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
46	1, 2, 16, 45	seqf 14006	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))
47	21	dvnfval 25826	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})))
48	30, 47	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})))
49	48	feq1d 6701	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹)))
50	46, 49	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944  {csn 4624  {cpr 4626   ↦ cmpt 5225   × cxp 5670  dom cdm 5672   ∘ ccom 5676  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1^st c1st 7983   ↑_pm cpm 8835  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  ℕ₀cn0 12488  seqcseq 13984   D cdv 25766   D^𝑛 cdvn 25767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-icc 13349  df-fz 13503  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-struct 17101  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-rest 17389  df-topn 17390  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-limc 25769  df-dv 25770  df-dvn 25771

This theorem is referenced by:  dvnf  25831  dvnbss  25832  dvnadd  25833