Theorem dvnff 25845

Description: The iterated derivative is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnff	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))

Proof of Theorem dvnff

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12766	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12472	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 0 ∈ ℤ)
3		fvconst2g 7131	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) = 𝐹)
4	3	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) = 𝐹)
5		dmexg 7826	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
6	5	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → dom 𝐹 ∈ V)
7		cnex 11079	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ V)
9		elpm2g 8763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
10	7, 9	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆)))
11	10	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
12	11	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
14		fpmg 8787	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ V ∧ ℂ ∈ V ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
15	6, 8, 13, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
16	4, 15	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {𝐹})‘𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
17		vex 3438	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
18		vex 3438	. . . . . 6 ⊢ 𝑛 ∈ V
19	17, 18	opco1i 8050	. . . . 5 ⊢ (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) = ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘)
20		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 D 𝑥) = (𝑆 D 𝑘))
21		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))
22		ovex 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 D 𝑘) ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘) = (𝑆 D 𝑘))
24	23	elv 3439	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥))‘𝑘) = (𝑆 D 𝑘)
25	19, 24	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) = (𝑆 D 𝑘)
26	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → ℂ ∈ V)
27	5	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝐹 ∈ V)
28		dvfg 25827	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ)
29	28	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ)
30		recnprss 25825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31	30	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
32		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
33		elpm2g 8763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) → (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)))
34	7, 27, 33	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)))
35	32, 34	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘:dom 𝑘⟶ℂ ∧ dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹))
36	35	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → 𝑘:dom 𝑘⟶ℂ)
37	35	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝑘 ⊆ dom 𝐹)
38	11	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
40	37, 39	sstrd 3943	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom 𝑘 ⊆ 𝑆)
41	31, 36, 40	dvbss 25822	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝑘)
42	41, 37	sstrd 3943	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝐹)
43		elpm2r 8764	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ dom 𝐹 ∈ V) ∧ ((𝑆 D 𝑘):dom (𝑆 D 𝑘)⟶ℂ ∧ dom (𝑆 D 𝑘) ⊆ dom 𝐹)) → (𝑆 D 𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
44	26, 27, 29, 42, 43	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑆 D 𝑘) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
45	25, 44	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑘 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹) ∧ 𝑛 ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))) → (𝑘((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st )𝑛) ∈ (ℂ ↑pm dom 𝐹))
46	1, 2, 16, 45	seqf 13922	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))
47	21	dvnfval 25844	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})))
48	30, 47	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹) = seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})))
49	48	feq1d 6629	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹) ↔ seq0(((𝑥 ∈ V ↦ (𝑆 D 𝑥)) ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐹})):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹)))
50	46, 49	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D𝑛 𝐹):ℕ0⟶(ℂ ↑pm dom 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434   ⊆ wss 3900  {csn 4574  {cpr 4576   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612  dom cdm 5614   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  1^st c1st 7914   ↑_pm cpm 8746  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  ℕ₀cn0 12373  seqcseq 13900   D cdv 25784   D^𝑛 cdvn 25785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-icc 13244  df-fz 13400  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-struct 17050  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-rest 17318  df-topn 17319  df-topgen 17339  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22802  df-topon 22819  df-topsp 22841  df-bases 22854  df-cld 22927  df-ntr 22928  df-cls 22929  df-nei 23006  df-lp 23044  df-perf 23045  df-cnp 23136  df-haus 23223  df-fil 23754  df-fm 23846  df-flim 23847  df-flf 23848  df-xms 24228  df-ms 24229  df-limc 25787  df-dv 25788  df-dvn 25789

This theorem is referenced by:  dvnf  25849  dvnbss  25850  dvnadd  25851