Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem algrf 15660
 Description: An algorithm is a step function 𝐹:𝑆⟶𝑆 on a state space 𝑆. An algorithm acts on an initial state 𝐴 ∈ 𝑆 by iteratively applying 𝐹 to give 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘(𝐹‘𝐴)) and so on. An algorithm is said to halt if a fixed point of 𝐹 is reached after a finite number of iterations. The algorithm iterator 𝑅:ℕ0⟶𝑆 "runs" the algorithm 𝐹 so that (𝑅‘𝑘) is the state after 𝑘 iterations of 𝐹 on the initial state 𝐴. Domain and codomain of the algorithm iterator 𝑅. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
algrf.2 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4 (𝜑𝐴𝑆)
algrf.5 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
Assertion
Ref Expression
algrf (𝜑𝑅:𝑍𝑆)

Proof of Theorem algrf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algrf.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 algrf.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 algrf.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
4 fvconst2g 6724 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑥𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
53, 4sylan 577 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
63adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴𝑆)
75, 6eqeltrd 2907 . . 3 ((𝜑𝑥𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
8 vex 3418 . . . . 5 𝑥 ∈ V
9 vex 3418 . . . . 5 𝑦 ∈ V
108, 9algrflem 7551 . . . 4 (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) = (𝐹𝑥)
11 algrf.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
12 simpl 476 . . . . 5 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑥𝑆)
13 ffvelrn 6607 . . . . 5 ((𝐹:𝑆𝑆𝑥𝑆) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
1411, 12, 13syl2an 591 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
1510, 14syl5eqel 2911 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
161, 2, 7, 15seqf 13117 . 2 (𝜑 → seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴})):𝑍𝑆)
17 algrf.2 . . 3 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
1817feq1i 6270 . 2 (𝑅:𝑍𝑆 ↔ seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴})):𝑍𝑆)
1916, 18sylibr 226 1 (𝜑𝑅:𝑍𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {csn 4398   × cxp 5341   ∘ ccom 5347  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  1st c1st 7427  ℤcz 11705  ℤ≥cuz 11969  seqcseq 13096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-seq 13097 This theorem is referenced by:  alginv  15662  algcvg  15663  algcvga  15666  algfx  15667  eucalgcvga  15673  eucalg  15674  ovolicc2lem2  23685  ovolicc2lem3  23686  ovolicc2lem4  23687  bfplem1  34164  bfplem2  34165
 Copyright terms: Public domain W3C validator