MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem algrf 16507
Description: An algorithm is a step function 𝐹:𝑆𝑆 on a state space 𝑆. An algorithm acts on an initial state 𝐴𝑆 by iteratively applying 𝐹 to give 𝐴, (𝐹𝐴), (𝐹‘(𝐹𝐴)) and so on. An algorithm is said to halt if a fixed point of 𝐹 is reached after a finite number of iterations.

The algorithm iterator 𝑅:ℕ0𝑆 "runs" the algorithm 𝐹 so that (𝑅𝑘) is the state after 𝑘 iterations of 𝐹 on the initial state 𝐴.

Domain and codomain of the algorithm iterator 𝑅. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses
Ref Expression
algrf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
algrf.2 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4 (𝜑𝐴𝑆)
algrf.5 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
Assertion
Ref Expression
algrf (𝜑𝑅:𝑍𝑆)

Proof of Theorem algrf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algrf.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 algrf.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 algrf.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
4 fvconst2g 7195 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑥𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
53, 4sylan 579 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
63adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴𝑆)
75, 6eqeltrd 2825 . . 3 ((𝜑𝑥𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
8 vex 3470 . . . . 5 𝑥 ∈ V
9 vex 3470 . . . . 5 𝑦 ∈ V
108, 9opco1i 8105 . . . 4 (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) = (𝐹𝑥)
11 algrf.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
12 simpl 482 . . . . 5 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑥𝑆)
13 ffvelcdm 7073 . . . . 5 ((𝐹:𝑆𝑆𝑥𝑆) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
1411, 12, 13syl2an 595 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
1510, 14eqeltrid 2829 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
161, 2, 7, 15seqf 13986 . 2 (𝜑 → seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴})):𝑍𝑆)
17 algrf.2 . . 3 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
1817feq1i 6698 . 2 (𝑅:𝑍𝑆 ↔ seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴})):𝑍𝑆)
1916, 18sylibr 233 1 (𝜑𝑅:𝑍𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4620   × cxp 5664  ccom 5670  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  1st c1st 7966  cz 12555  cuz 12819  seqcseq 13963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-seq 13964
This theorem is referenced by:  alginv  16509  algcvg  16510  algcvga  16513  algfx  16514  eucalgcvga  16520  eucalg  16521  ovolicc2lem2  25369  ovolicc2lem3  25370  ovolicc2lem4  25371  bfplem1  37180  bfplem2  37181
  Copyright terms: Public domain W3C validator