Theorem algrf 16592

Description: An algorithm is a step function 𝐹:𝑆⟶𝑆 on a state space 𝑆. An algorithm acts on an initial state 𝐴 ∈ 𝑆 by iteratively applying 𝐹 to give 𝐴, (𝐹‘𝐴), (𝐹‘(𝐹‘𝐴)) and so on. An algorithm is said to halt if a fixed point of 𝐹 is reached after a finite number of iterations.

The algorithm iterator 𝑅:ℕ₀⟶𝑆 "runs" the algorithm 𝐹 so that (𝑅‘𝑘) is the state after 𝑘 iterations of 𝐹 on the initial state 𝐴.

Domain and codomain of the algorithm iterator 𝑅. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
algrf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
algrf.2	⊢ 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
algrf.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
algrf	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑍⟶𝑆)

Proof of Theorem algrf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algrf.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		algrf.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		algrf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		fvconst2g 7194	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
5	3, 4	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
6	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ 𝑆)
7	5, 6	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
8		vex 3463	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3463	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	opco1i 8124	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) = (𝐹‘𝑥)
11		algrf.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
13		ffvelcdm 7071	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
15	10, 14	eqeltrid 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
16	1, 2, 7, 15	seqf 14041	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴})):𝑍⟶𝑆)
17		algrf.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
18	17	feq1i 6697	. 2 ⊢ (𝑅:𝑍⟶𝑆 ↔ seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴})):𝑍⟶𝑆)
19	16, 18	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑍⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4601   × cxp 5652   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1^st c1st 7986  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  seqcseq 14019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020

This theorem is referenced by:  alginv  16594  algcvg  16595  algcvga  16598  algfx  16599  eucalgcvga  16605  eucalg  16606  ovolicc2lem2  25471  ovolicc2lem3  25472  ovolicc2lem4  25473  bfplem1  37846  bfplem2  37847