Theorem opoc0 39649

Description: Orthocomplement of orthoposet zero. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoc1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
opoc1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
opoc1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoc0	⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 )

Proof of Theorem opoc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoc1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2		opoc1.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
3		opoc1.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	1, 2, 3	opoc1 39648	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	5, 2	op1cl 39631	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
7	5, 1	op0cl 39630	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
8	5, 3	opcon1b 39644	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 ))
9	6, 7, 8	mpd3an23 1466	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 ))
10	4, 9	mpbid 232	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  occoc 17228  0.cp0 18387  1.cp1 18388  OPcops 39618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-proset 18260  df-poset 18279  df-lub 18310  df-glb 18311  df-p0 18389  df-p1 18390  df-oposet 39622

This theorem is referenced by:  1cvrjat  39921  doch0  41804