Theorem opoc0 39196

Description: Orthocomplement of orthoposet zero. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoc1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
opoc1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
opoc1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoc0	⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 )

Proof of Theorem opoc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoc1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2		opoc1.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
3		opoc1.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	1, 2, 3	opoc1 39195	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	5, 2	op1cl 39178	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
7	5, 1	op0cl 39177	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
8	5, 3	opcon1b 39191	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 ))
9	6, 7, 8	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 ))
10	4, 9	mpbid 232	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  occoc 17228  0.cp0 18382  1.cp1 18383  OPcops 39165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306  df-p0 18384  df-p1 18385  df-oposet 39169

This theorem is referenced by:  1cvrjat  39469  doch0  41352