Theorem opoc0 39695

Description: Orthocomplement of orthoposet zero. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoc1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
opoc1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
opoc1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoc0	⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 )

Proof of Theorem opoc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoc1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2		opoc1.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
3		opoc1.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	1, 2, 3	opoc1 39694	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	5, 2	op1cl 39677	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
7	5, 1	op0cl 39676	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
8	5, 3	opcon1b 39690	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 ))
9	6, 7, 8	mpd3an23 1471	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 ))
10	4, 9	mpbid 233	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  occoc 17219  0.cp0 18378  1.cp1 18379  OPcops 39664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-proset 18251  df-poset 18270  df-lub 18301  df-glb 18302  df-p0 18380  df-p1 18381  df-oposet 39668

This theorem is referenced by:  1cvrjat  39967  doch0  41850