Theorem opoc0 39312

Description: Orthocomplement of orthoposet zero. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoc1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
opoc1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
opoc1.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoc0	⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 )

Proof of Theorem opoc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoc1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2		opoc1.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
3		opoc1.o	. . 3 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	1, 2, 3	opoc1 39311	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 1 ) = 0 )
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	5, 2	op1cl 39294	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
7	5, 1	op0cl 39293	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
8	5, 3	opcon1b 39307	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 ))
9	6, 7, 8	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (( ⊥ ‘ 1 ) = 0 ↔ ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 ))
10	4, 9	mpbid 232	1 ⊢ (𝐾 ∈ OP → ( ⊥ ‘ 0 ) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  occoc 17169  0.cp0 18327  1.cp1 18328  OPcops 39281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-proset 18200  df-poset 18219  df-lub 18250  df-glb 18251  df-p0 18329  df-p1 18330  df-oposet 39285

This theorem is referenced by:  1cvrjat  39584  doch0  41467