Theorem ovmpoelrn 8085

Description: An operation's value belongs to its range. (Contributed by AV, 27-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovmpoelrn.o	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ovmpoelrn	⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑀 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝑂𝑌) ∈ 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑂(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑥, 𝑦)   𝑌(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem ovmpoelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpoelrn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpo 8079	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑀 ↔ 𝑂:(𝐴 × 𝐵)⟶𝑀)
3		fovcdm 7591	. 2 ⊢ ((𝑂:(𝐴 × 𝐵)⟶𝑀 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝑂𝑌) ∈ 𝑀)
4	2, 3	syl3an1b 1430	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑀 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝑂𝑌) ∈ 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   × cxp 5648  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002

This theorem is used by:  opifismgm  18837  opmpoismgm  49264