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Theorem onsuct0 35374
Description: A successor ordinal number is a T0 space. (Contributed by Chen-Pang He, 8-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuct0 (𝐴 ∈ On β†’ suc 𝐴 ∈ Kol2)
Proof of Theorem onsuct0
Dummy variables π‘œ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eloni 6375 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ Ord 𝐴)
2 df-ral 3063 . . . . . 6 (βˆ€π‘œ ∈ suc 𝐴(π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ βˆ€π‘œ(π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)))
3 ordelon 6389 . . . . . . . . . . 11 ((Ord 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ On)
4 ordelon 6389 . . . . . . . . . . 11 ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ On)
53, 4anim12dan 620 . . . . . . . . . 10 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On))
6 ordsuc 7801 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7 ordelon 6389 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ord suc 𝐴 ∧ π‘œ ∈ suc 𝐴) β†’ π‘œ ∈ On)
87ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (Ord suc 𝐴 β†’ (π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ π‘œ ∈ On))
96, 8sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝐴 β†’ (π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ π‘œ ∈ On))
109adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ π‘œ ∈ On))
11 notbi 319 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ↔ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ))
12 ontri1 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘œ ∈ On ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (π‘œ βŠ† π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ))
13 onsssuc 6455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘œ ∈ On ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (π‘œ βŠ† π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc π‘₯))
1412, 13bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘œ ∈ On ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ↔ π‘œ ∈ suc π‘₯))
1514adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘œ ∈ On ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ↔ π‘œ ∈ suc π‘₯))
16 ontri1 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘œ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) β†’ (π‘œ βŠ† 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ))
17 onsssuc 6455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘œ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) β†’ (π‘œ βŠ† 𝑦 ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦))
1816, 17bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘œ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦))
1918adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘œ ∈ On ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On)) β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦))
2015, 19bibi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘œ ∈ On ∧ (π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On)) β†’ ((Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ↔ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦)))
2120ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ π‘œ ∈ On) β†’ ((Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ↔ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦)))
2211, 21bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ π‘œ ∈ On) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦)))
2322biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) ∧ π‘œ ∈ On) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦)))
245, 10, 23syl6an 683 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦))))
2524a2d 29 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)) β†’ (π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦))))
26 ordelss 6381 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐴)
27 ordelord 6387 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Ord π‘₯)
28 ordsucsssuc 7811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Ord π‘₯ ∧ Ord 𝐴) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ suc π‘₯ βŠ† suc 𝐴))
2928ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord 𝐴 ∧ Ord π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ suc π‘₯ βŠ† suc 𝐴))
3027, 29syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ suc π‘₯ βŠ† suc 𝐴))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ord 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ suc π‘₯ βŠ† suc 𝐴)
3231ssneld 3985 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ Β¬ π‘œ ∈ suc π‘₯))
3332adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (Β¬ π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ Β¬ π‘œ ∈ suc π‘₯))
34 ordelss 6381 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
35 ordelord 6387 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ Ord 𝑦)
36 ordsucsssuc 7811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝐴) β†’ (𝑦 βŠ† 𝐴 ↔ suc 𝑦 βŠ† suc 𝐴))
3736ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝑦) β†’ (𝑦 βŠ† 𝐴 ↔ suc 𝑦 βŠ† suc 𝐴))
3835, 37syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 βŠ† 𝐴 ↔ suc 𝑦 βŠ† suc 𝐴))
3934, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ suc 𝑦 βŠ† suc 𝐴)
4039ssneld 3985 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ Β¬ π‘œ ∈ suc 𝑦))
4140adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (Β¬ π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ Β¬ π‘œ ∈ suc 𝑦))
4233, 41jcad 514 . . . . . . . . . 10 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (Β¬ π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ (Β¬ π‘œ ∈ suc π‘₯ ∧ Β¬ π‘œ ∈ suc 𝑦)))
43 pm5.21 824 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ π‘œ ∈ suc π‘₯ ∧ Β¬ π‘œ ∈ suc 𝑦) β†’ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦))
4442, 43syl6 35 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (Β¬ π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦)))
45 idd 24 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦) β†’ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦)))
4644, 45jad 187 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦)) β†’ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦)))
4725, 46syld 47 . . . . . . 7 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)) β†’ (π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦)))
4847alimdv 1920 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘œ(π‘œ ∈ suc 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)) β†’ βˆ€π‘œ(π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦)))
492, 48biimtrid 241 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ suc 𝐴(π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ(π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦)))
50 dfcleq 2726 . . . . . . 7 (suc π‘₯ = suc 𝑦 ↔ βˆ€π‘œ(π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦))
51 suc11 6472 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) β†’ (suc π‘₯ = suc 𝑦 ↔ π‘₯ = 𝑦))
5250, 51bitr3id 285 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) β†’ (βˆ€π‘œ(π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
535, 52syl 17 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘œ(π‘œ ∈ suc π‘₯ ↔ π‘œ ∈ suc 𝑦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
5449, 53sylibd 238 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ suc 𝐴(π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦))
5554ralrimivva 3201 . . 3 (Ord 𝐴 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘œ ∈ suc 𝐴(π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦))
561, 55syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘œ ∈ suc 𝐴(π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦))
57 onsuctopon 35367 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ suc 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄))
58 ist0-2 22848 . . 3 (suc 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄) β†’ (suc 𝐴 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘œ ∈ suc 𝐴(π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
5957, 58syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On β†’ (suc 𝐴 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘œ ∈ suc 𝐴(π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
6056, 59mpbird 257 1 (𝐴 ∈ On β†’ suc 𝐴 ∈ Kol2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  Ord word 6364  Oncon0 6365  suc csuc 6367  β€˜cfv 6544  TopOnctopon 22412  Kol2ct0 22810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-t0 22817
This theorem is referenced by:  ordtopt0  35375
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