Theorem bndrank 9757

Description: Any class whose elements have bounded rank is a set. Proposition 9.19 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
bndrank	⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem bndrank

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 9711	. . . . . . . 8 ⊢ (rank‘𝑦) ∈ On
2	1	onordi 6431	. . . . . . 7 ⊢ Ord (rank‘𝑦)
3		eloni 6328	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
4		ordsucsssuc 7767	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord (rank‘𝑦) ∧ Ord 𝑥) → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ suc (rank‘𝑦) ⊆ suc 𝑥))
5	2, 3, 4	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ suc (rank‘𝑦) ⊆ suc 𝑥))
6	1	onsuci 7783	. . . . . . 7 ⊢ suc (rank‘𝑦) ∈ On
7		onsuc 7757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ On → suc 𝑥 ∈ On)
8		r1ord3 9698	. . . . . . 7 ⊢ ((suc (rank‘𝑦) ∈ On ∧ suc 𝑥 ∈ On) → (suc (rank‘𝑦) ⊆ suc 𝑥 → (𝑅1‘suc (rank‘𝑦)) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥)))
9	6, 7, 8	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (suc (rank‘𝑦) ⊆ suc 𝑥 → (𝑅1‘suc (rank‘𝑦)) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥)))
10	5, 9	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → (𝑅1‘suc (rank‘𝑦)) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥)))
11		vex 3445	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	rankid 9749	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝑦))
13		ssel 3928	. . . . 5 ⊢ ((𝑅1‘suc (rank‘𝑦)) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)))
14	10, 12, 13	syl6mpi 67	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)))
15	14	ralimdv 3151	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)))
16		dfss3 3923	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
17		fvex 6848	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘suc 𝑥) ∈ V
18	17	ssex 5267	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
19	16, 18	sylbir 235	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
20	15, 19	syl6 35	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V))
21	20	rexlimiv 3131	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  Ord word 6317  Oncon0 6318  suc csuc 6320  ‘cfv 6493  𝑅₁cr1 9678  rankcrnk 9679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-reg 9501  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-r1 9680  df-rank 9681

This theorem is referenced by:  unbndrank  9758  scottex  9801  onvf1odlem4  35302