Theorem bndrank 9530

Description: Any class whose elements have bounded rank is a set. Proposition 9.19 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
bndrank	⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem bndrank

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 9484	. . . . . . . 8 ⊢ (rank‘𝑦) ∈ On
2	1	onordi 6356	. . . . . . 7 ⊢ Ord (rank‘𝑦)
3		eloni 6261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
4		ordsucsssuc 7645	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord (rank‘𝑦) ∧ Ord 𝑥) → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ suc (rank‘𝑦) ⊆ suc 𝑥))
5	2, 3, 4	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ suc (rank‘𝑦) ⊆ suc 𝑥))
6	1	onsuci 7660	. . . . . . 7 ⊢ suc (rank‘𝑦) ∈ On
7		suceloni 7635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ On → suc 𝑥 ∈ On)
8		r1ord3 9471	. . . . . . 7 ⊢ ((suc (rank‘𝑦) ∈ On ∧ suc 𝑥 ∈ On) → (suc (rank‘𝑦) ⊆ suc 𝑥 → (𝑅1‘suc (rank‘𝑦)) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥)))
9	6, 7, 8	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (suc (rank‘𝑦) ⊆ suc 𝑥 → (𝑅1‘suc (rank‘𝑦)) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥)))
10	5, 9	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → (𝑅1‘suc (rank‘𝑦)) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥)))
11		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	rankid 9522	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝑦))
13		ssel 3910	. . . . 5 ⊢ ((𝑅1‘suc (rank‘𝑦)) ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)))
14	10, 12, 13	syl6mpi 67	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → ((rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)))
15	14	ralimdv 3103	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥)))
16		dfss3 3905	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
17		fvex 6769	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘suc 𝑥) ∈ V
18	17	ssex 5240	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑅1‘suc 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
19	16, 18	sylbir 234	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
20	15, 19	syl6 35	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V))
21	20	rexlimiv 3208	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑦) ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  Ord word 6250  Oncon0 6251  suc csuc 6253  ‘cfv 6418  𝑅₁cr1 9451  rankcrnk 9452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-r1 9453  df-rank 9454

This theorem is referenced by:  unbndrank  9531  scottex  9574