MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankmapu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankmapu 9911
Description: An upper bound on the rank of set exponentiation. (Contributed by GΓ©rard Lang, 5-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxpl.1 𝐴 ∈ V
rankxpl.2 𝐡 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rankmapu (rankβ€˜(𝐴 ↑m 𝐡)) βŠ† suc suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))

Proof of Theorem rankmapu
StepHypRef Expression
1 mapsspw 8905 . . 3 (𝐴 ↑m 𝐡) βŠ† 𝒫 (𝐡 Γ— 𝐴)
2 rankxpl.2 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
3 rankxpl.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
42, 3xpex 7763 . . . . 5 (𝐡 Γ— 𝐴) ∈ V
54pwex 5384 . . . 4 𝒫 (𝐡 Γ— 𝐴) ∈ V
65rankss 9882 . . 3 ((𝐴 ↑m 𝐡) βŠ† 𝒫 (𝐡 Γ— 𝐴) β†’ (rankβ€˜(𝐴 ↑m 𝐡)) βŠ† (rankβ€˜π’« (𝐡 Γ— 𝐴)))
71, 6ax-mp 5 . 2 (rankβ€˜(𝐴 ↑m 𝐡)) βŠ† (rankβ€˜π’« (𝐡 Γ— 𝐴))
84rankpw 9876 . . 3 (rankβ€˜π’« (𝐡 Γ— 𝐴)) = suc (rankβ€˜(𝐡 Γ— 𝐴))
92, 3rankxpu 9909 . . . . 5 (rankβ€˜(𝐡 Γ— 𝐴)) βŠ† suc suc (rankβ€˜(𝐡 βˆͺ 𝐴))
10 uncom 4154 . . . . . . . 8 (𝐡 βˆͺ 𝐴) = (𝐴 βˆͺ 𝐡)
1110fveq2i 6905 . . . . . . 7 (rankβ€˜(𝐡 βˆͺ 𝐴)) = (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
12 suceq 6440 . . . . . . 7 ((rankβ€˜(𝐡 βˆͺ 𝐴)) = (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) β†’ suc (rankβ€˜(𝐡 βˆͺ 𝐴)) = suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 suc (rankβ€˜(𝐡 βˆͺ 𝐴)) = suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
14 suceq 6440 . . . . . 6 (suc (rankβ€˜(𝐡 βˆͺ 𝐴)) = suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) β†’ suc suc (rankβ€˜(𝐡 βˆͺ 𝐴)) = suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 suc suc (rankβ€˜(𝐡 βˆͺ 𝐴)) = suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
169, 15sseqtri 4018 . . . 4 (rankβ€˜(𝐡 Γ— 𝐴)) βŠ† suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
17 rankon 9828 . . . . . 6 (rankβ€˜(𝐡 Γ— 𝐴)) ∈ On
1817onordi 6485 . . . . 5 Ord (rankβ€˜(𝐡 Γ— 𝐴))
19 rankon 9828 . . . . . . . 8 (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On
2019onsuci 7850 . . . . . . 7 suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On
2120onsuci 7850 . . . . . 6 suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ On
2221onordi 6485 . . . . 5 Ord suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
23 ordsucsssuc 7834 . . . . 5 ((Ord (rankβ€˜(𝐡 Γ— 𝐴)) ∧ Ord suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) β†’ ((rankβ€˜(𝐡 Γ— 𝐴)) βŠ† suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ↔ suc (rankβ€˜(𝐡 Γ— 𝐴)) βŠ† suc suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))))
2418, 22, 23mp2an 690 . . . 4 ((rankβ€˜(𝐡 Γ— 𝐴)) βŠ† suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ↔ suc (rankβ€˜(𝐡 Γ— 𝐴)) βŠ† suc suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
2516, 24mpbi 229 . . 3 suc (rankβ€˜(𝐡 Γ— 𝐴)) βŠ† suc suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
268, 25eqsstri 4016 . 2 (rankβ€˜π’« (𝐡 Γ— 𝐴)) βŠ† suc suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
277, 26sstri 3991 1 (rankβ€˜(𝐴 ↑m 𝐡)) βŠ† suc suc suc (rankβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606   Γ— cxp 5680  Ord word 6373  suc csuc 6376  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8853  rankcrnk 9796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-reg 9625  ax-inf2 9674
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-map 8855  df-pm 8856  df-r1 9797  df-rank 9798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator