MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1b 10216
Description: The Ackermann bijection, part 1b: the bijection from ackbij1 10215 restricts naturally to the powers of particular naturals. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1b (𝐴 ∈ ω → (𝐹 “ 𝒫 𝐴) = (card‘𝒫 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem ackbij1b
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem17 10213 . . . . 5 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω
3 ackbij2lem1 10196 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))
4 pwexg 5369 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5 f1imaeng 8993 . . . . 5 ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
62, 3, 4, 5mp3an2i 1466 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
7 nnfi 9150 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8 pwfi 9161 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
97, 8sylib 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
10 ficardid 9939 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → (card‘𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
11 ensym 8982 . . . . 5 ((card‘𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (card‘𝒫 𝐴))
129, 10, 113syl 18 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ≈ (card‘𝒫 𝐴))
13 entr 8985 . . . 4 (((𝐹 “ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≈ (card‘𝒫 𝐴)) → (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ≈ (card‘𝒫 𝐴))
146, 12, 13syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ≈ (card‘𝒫 𝐴))
15 onfin2 9214 . . . . . . 7 ω = (On ∩ Fin)
16 inss2 4225 . . . . . . 7 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
1715, 16eqsstri 4012 . . . . . 6 ω ⊆ Fin
18 ficardom 9938 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → (card‘𝒫 𝐴) ∈ ω)
199, 18syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝒫 𝐴) ∈ ω)
2017, 19sselid 3976 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝒫 𝐴) ∈ Fin)
21 php3 9195 . . . . . 6 (((card‘𝒫 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊊ (card‘𝒫 𝐴)) → (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ≺ (card‘𝒫 𝐴))
2221ex 413 . . . . 5 ((card‘𝒫 𝐴) ∈ Fin → ((𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊊ (card‘𝒫 𝐴) → (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ≺ (card‘𝒫 𝐴)))
2320, 22syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊊ (card‘𝒫 𝐴) → (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ≺ (card‘𝒫 𝐴)))
24 sdomnen 8960 . . . 4 ((𝐹 “ 𝒫 𝐴) ≺ (card‘𝒫 𝐴) → ¬ (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ≈ (card‘𝒫 𝐴))
2523, 24syl6 35 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊊ (card‘𝒫 𝐴) → ¬ (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ≈ (card‘𝒫 𝐴)))
2614, 25mt2d 136 . 2 (𝐴 ∈ ω → ¬ (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊊ (card‘𝒫 𝐴))
27 fvex 6891 . . . . . 6 (𝐹𝑎) ∈ V
28 ackbij1lem3 10199 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
29 elpwi 4603 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
301ackbij1lem12 10208 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑎𝐴) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝐴))
3128, 29, 30syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝐴))
321ackbij1lem10 10206 . . . . . . . . . . 11 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
33 peano1 7861 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ ω
3432, 33f0cli 7084 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑎) ∈ ω
35 nnord 7846 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑎) ∈ ω → Ord (𝐹𝑎))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Ord (𝐹𝑎)
3732, 33f0cli 7084 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) ∈ ω
38 nnord 7846 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) ∈ ω → Ord (𝐹𝐴))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Ord (𝐹𝐴)
40 ordsucsssuc 7794 . . . . . . . . 9 ((Ord (𝐹𝑎) ∧ Ord (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝐴) ↔ suc (𝐹𝑎) ⊆ suc (𝐹𝐴)))
4136, 39, 40mp2an 690 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝐴) ↔ suc (𝐹𝑎) ⊆ suc (𝐹𝐴))
4231, 41sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → suc (𝐹𝑎) ⊆ suc (𝐹𝐴))
431ackbij1lem14 10210 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘{𝐴}) = suc (𝐹𝐴))
441ackbij1lem8 10204 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘{𝐴}) = (card‘𝒫 𝐴))
4543, 44eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → suc (𝐹𝐴) = (card‘𝒫 𝐴))
4645adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → suc (𝐹𝐴) = (card‘𝒫 𝐴))
4742, 46sseqtrd 4018 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → suc (𝐹𝑎) ⊆ (card‘𝒫 𝐴))
48 sucssel 6448 . . . . . 6 ((𝐹𝑎) ∈ V → (suc (𝐹𝑎) ⊆ (card‘𝒫 𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ (card‘𝒫 𝐴)))
4927, 47, 48mpsyl 68 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ (card‘𝒫 𝐴))
5049ralrimiva 3145 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(𝐹𝑎) ∈ (card‘𝒫 𝐴))
51 f1fun 6776 . . . . . 6 (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω → Fun 𝐹)
522, 51ax-mp 5 . . . . 5 Fun 𝐹
53 f1dm 6778 . . . . . . 7 (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω → dom 𝐹 = (𝒫 ω ∩ Fin))
542, 53ax-mp 5 . . . . . 6 dom 𝐹 = (𝒫 ω ∩ Fin)
553, 54sseqtrrdi 4029 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
56 funimass4 6943 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊆ (card‘𝒫 𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(𝐹𝑎) ∈ (card‘𝒫 𝐴)))
5752, 55, 56sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊆ (card‘𝒫 𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(𝐹𝑎) ∈ (card‘𝒫 𝐴)))
5850, 57mpbird 256 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊆ (card‘𝒫 𝐴))
59 sspss 4095 . . 3 ((𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊆ (card‘𝒫 𝐴) ↔ ((𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊊ (card‘𝒫 𝐴) ∨ (𝐹 “ 𝒫 𝐴) = (card‘𝒫 𝐴)))
6058, 59sylib 217 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊊ (card‘𝒫 𝐴) ∨ (𝐹 “ 𝒫 𝐴) = (card‘𝒫 𝐴)))
61 orel1 887 . 2 (¬ (𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊊ (card‘𝒫 𝐴) → (((𝐹 “ 𝒫 𝐴) ⊊ (card‘𝒫 𝐴) ∨ (𝐹 “ 𝒫 𝐴) = (card‘𝒫 𝐴)) → (𝐹 “ 𝒫 𝐴) = (card‘𝒫 𝐴)))
6226, 60, 61sylc 65 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐹 “ 𝒫 𝐴) = (card‘𝒫 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  Vcvv 3473  cin 3943  wss 3944  wpss 3945  𝒫 cpw 4596  {csn 4622   ciun 4990   class class class wbr 5141  cmpt 5224   × cxp 5667  dom cdm 5669  cima 5672  Ord word 6352  Oncon0 6353  suc csuc 6355  Fun wfun 6526  1-1wf1 6529  cfv 6532  ωcom 7838  cen 8919  csdm 8921  Fincfn 8922  cardccrd 9912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-dju 9878  df-card 9916
This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  10217
  Copyright terms: Public domain W3C validator