MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1b 10236
Description: The Ackermann bijection, part 1b: the bijection from ackbij1 10235 restricts naturally to the powers of particular naturals. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1b (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦

Proof of Theorem ackbij1b
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem17 10233 . . . . 5 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1β†’Ο‰
3 ackbij2lem1 10216 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝐴 βŠ† (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
4 pwexg 5376 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
5 f1imaeng 9012 . . . . 5 ((𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1β†’Ο‰ ∧ 𝒫 𝐴 βŠ† (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
62, 3, 4, 5mp3an2i 1466 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
7 nnfi 9169 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
8 pwfi 9180 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
97, 8sylib 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
10 ficardid 9959 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴)
11 ensym 9001 . . . . 5 ((cardβ€˜π’« 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴 β†’ 𝒫 𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π’« 𝐴))
129, 10, 113syl 18 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π’« 𝐴))
13 entr 9004 . . . 4 (((𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) β‰ˆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π’« 𝐴)) β†’ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) β‰ˆ (cardβ€˜π’« 𝐴))
146, 12, 13syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) β‰ˆ (cardβ€˜π’« 𝐴))
15 onfin2 9233 . . . . . . 7 Ο‰ = (On ∩ Fin)
16 inss2 4229 . . . . . . 7 (On ∩ Fin) βŠ† Fin
1715, 16eqsstri 4016 . . . . . 6 Ο‰ βŠ† Fin
18 ficardom 9958 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Ο‰)
199, 18syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Ο‰)
2017, 19sselid 3980 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Fin)
21 php3 9214 . . . . . 6 (((cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) ⊊ (cardβ€˜π’« 𝐴)) β†’ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) β‰Ί (cardβ€˜π’« 𝐴))
2221ex 413 . . . . 5 ((cardβ€˜π’« 𝐴) ∈ Fin β†’ ((𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) ⊊ (cardβ€˜π’« 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) β‰Ί (cardβ€˜π’« 𝐴)))
2320, 22syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) ⊊ (cardβ€˜π’« 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) β‰Ί (cardβ€˜π’« 𝐴)))
24 sdomnen 8979 . . . 4 ((𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) β‰Ί (cardβ€˜π’« 𝐴) β†’ Β¬ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) β‰ˆ (cardβ€˜π’« 𝐴))
2523, 24syl6 35 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) ⊊ (cardβ€˜π’« 𝐴) β†’ Β¬ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) β‰ˆ (cardβ€˜π’« 𝐴)))
2614, 25mt2d 136 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ Β¬ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) ⊊ (cardβ€˜π’« 𝐴))
27 fvex 6904 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ V
28 ackbij1lem3 10219 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
29 elpwi 4609 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴 β†’ π‘Ž βŠ† 𝐴)
301ackbij1lem12 10228 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π΄))
3128, 29, 30syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π΄))
321ackbij1lem10 10226 . . . . . . . . . . 11 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
33 peano1 7881 . . . . . . . . . . 11 βˆ… ∈ Ο‰
3432, 33f0cli 7099 . . . . . . . . . 10 (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ Ο‰
35 nnord 7865 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘Ž) ∈ Ο‰ β†’ Ord (πΉβ€˜π‘Ž))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Ord (πΉβ€˜π‘Ž)
3732, 33f0cli 7099 . . . . . . . . . 10 (πΉβ€˜π΄) ∈ Ο‰
38 nnord 7865 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π΄) ∈ Ο‰ β†’ Ord (πΉβ€˜π΄))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Ord (πΉβ€˜π΄)
40 ordsucsssuc 7813 . . . . . . . . 9 ((Ord (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ Ord (πΉβ€˜π΄)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π΄) ↔ suc (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† suc (πΉβ€˜π΄)))
4136, 39, 40mp2an 690 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π΄) ↔ suc (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† suc (πΉβ€˜π΄))
4231, 41sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† suc (πΉβ€˜π΄))
431ackbij1lem14 10230 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = suc (πΉβ€˜π΄))
441ackbij1lem8 10224 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
4543, 44eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ suc (πΉβ€˜π΄) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
4645adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴) β†’ suc (πΉβ€˜π΄) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
4742, 46sseqtrd 4022 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴) β†’ suc (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (cardβ€˜π’« 𝐴))
48 sucssel 6459 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘Ž) ∈ V β†’ (suc (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (cardβ€˜π’« 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (cardβ€˜π’« 𝐴)))
4927, 47, 48mpsyl 68 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (cardβ€˜π’« 𝐴))
5049ralrimiva 3146 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴(πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (cardβ€˜π’« 𝐴))
51 f1fun 6789 . . . . . 6 (𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1β†’Ο‰ β†’ Fun 𝐹)
522, 51ax-mp 5 . . . . 5 Fun 𝐹
53 f1dm 6791 . . . . . . 7 (𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1β†’Ο‰ β†’ dom 𝐹 = (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
542, 53ax-mp 5 . . . . . 6 dom 𝐹 = (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)
553, 54sseqtrrdi 4033 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝒫 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
56 funimass4 6956 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝒫 𝐴 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) βŠ† (cardβ€˜π’« 𝐴) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴(πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (cardβ€˜π’« 𝐴)))
5752, 55, 56sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) βŠ† (cardβ€˜π’« 𝐴) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 𝐴(πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (cardβ€˜π’« 𝐴)))
5850, 57mpbird 256 . . 3 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) βŠ† (cardβ€˜π’« 𝐴))
59 sspss 4099 . . 3 ((𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) βŠ† (cardβ€˜π’« 𝐴) ↔ ((𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) ⊊ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∨ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) = (cardβ€˜π’« 𝐴)))
6058, 59sylib 217 . 2 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) ⊊ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∨ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) = (cardβ€˜π’« 𝐴)))
61 orel1 887 . 2 (Β¬ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) ⊊ (cardβ€˜π’« 𝐴) β†’ (((𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) ⊊ (cardβ€˜π’« 𝐴) ∨ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) = (cardβ€˜π’« 𝐴)) β†’ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) = (cardβ€˜π’« 𝐴)))
6226, 60, 61sylc 65 1 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐹 β€œ 𝒫 𝐴) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β€œ cima 5679  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  Fun wfun 6537  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938   β‰Ί csdm 8940  Fincfn 8941  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936
This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  10237
  Copyright terms: Public domain W3C validator