| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | df-ov 7434 |
. 2
⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘〈𝐴, 𝐵〉) |
| 2 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢ 𝑆 = 𝑆 |
| 3 | | biidd 262 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑆 = 𝑆 ↔ 𝑆 = 𝑆)) |
| 4 | 3 | copsex2g 5498 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (∃𝑥∃𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑆 = 𝑆) ↔ 𝑆 = 𝑆)) |
| 5 | 2, 4 | mpbiri 258 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → ∃𝑥∃𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑆 = 𝑆)) |
| 6 | 5 | 3adant3 1133 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐶) → ∃𝑥∃𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑆 = 𝑆)) |
| 7 | 6 | adantr 480 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐶) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → ∃𝑥∃𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑆 = 𝑆)) |
| 8 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 〈𝐴, 𝐵〉 → (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ 〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
| 9 | 8 | anbi1d 631 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 〈𝐴, 𝐵〉 → ((𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅) ↔ (〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅))) |
| 10 | | ov6g.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝐵〉 → 𝑅 = 𝑆) |
| 11 | 10 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . 9
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝐵〉 → (𝑧 = 𝑅 ↔ 𝑧 = 𝑆)) |
| 12 | 11 | eqcoms 2745 |
. . . . . . . 8
⊢
(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑧 = 𝑅 ↔ 𝑧 = 𝑆)) |
| 13 | 12 | pm5.32i 574 |
. . . . . . 7
⊢
((〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅) ↔ (〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑆)) |
| 14 | 9, 13 | bitrdi 287 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = 〈𝐴, 𝐵〉 → ((𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅) ↔ (〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑆))) |
| 15 | 14 | 2exbidv 1924 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = 〈𝐴, 𝐵〉 → (∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅) ↔ ∃𝑥∃𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑆))) |
| 16 | | eqeq1 2741 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 = 𝑆 ↔ 𝑆 = 𝑆)) |
| 17 | 16 | anbi2d 630 |
. . . . . 6
⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑆) ↔ (〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑆 = 𝑆))) |
| 18 | 17 | 2exbidv 1924 |
. . . . 5
⊢ (𝑧 = 𝑆 → (∃𝑥∃𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑆) ↔ ∃𝑥∃𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑆 = 𝑆))) |
| 19 | | moeq 3713 |
. . . . . . 7
⊢
∃*𝑧 𝑧 = 𝑅 |
| 20 | 19 | mosubop 5516 |
. . . . . 6
⊢
∃*𝑧∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅) |
| 21 | 20 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 ∈ 𝐶 → ∃*𝑧∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅)) |
| 22 | | ov6g.2 |
. . . . . 6
⊢ 𝐹 = {〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅)} |
| 23 | | dfoprab2 7491 |
. . . . . 6
⊢
{〈〈𝑥,
𝑦〉, 𝑧〉 ∣ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅)} = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅))} |
| 24 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑤 ∈ 𝐶 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐶)) |
| 25 | 24 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ((𝑤 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅) ↔ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅))) |
| 26 | 25 | pm5.32i 574 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅)) ↔ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅))) |
| 27 | | an12 645 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (𝑤 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐶 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅))) |
| 28 | 26, 27 | bitr3i 277 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐶 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅))) |
| 29 | 28 | 2exbii 1849 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅)) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 ∈ 𝐶 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅))) |
| 30 | | 19.42vv 1957 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝑤 ∈ 𝐶 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅))) |
| 31 | 29, 30 | bitri 275 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅))) |
| 32 | 31 | opabbii 5210 |
. . . . . 6
⊢
{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 = 𝑅))} = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ (𝑤 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅))} |
| 33 | 22, 23, 32 | 3eqtri 2769 |
. . . . 5
⊢ 𝐹 = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ (𝑤 ∈ 𝐶 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑧 = 𝑅))} |
| 34 | 15, 18, 21, 33 | fvopab3ig 7012 |
. . . 4
⊢
((〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (∃𝑥∃𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑆 = 𝑆) → (𝐹‘〈𝐴, 𝐵〉) = 𝑆)) |
| 35 | 34 | 3ad2antl3 1188 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐶) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (∃𝑥∃𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝑆 = 𝑆) → (𝐹‘〈𝐴, 𝐵〉) = 𝑆)) |
| 36 | 7, 35 | mpd 15 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐶) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝐹‘〈𝐴, 𝐵〉) = 𝑆) |
| 37 | 1, 36 | eqtrid 2789 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻 ∧ 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐶) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆) |