Theorem pjf 20931

Description: A projection is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjf.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
pjf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjf	⊢ (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾‘𝑇):𝑉⟶𝑉)

Proof of Theorem pjf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
5		pjf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	pjdm 20925	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):𝑉⟶𝑉))
7	6	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):𝑉⟶𝑉)
8	3, 4, 5	pjval 20928	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾‘𝑇) = (𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
9	8	feq1d 6583	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom 𝐾 → ((𝐾‘𝑇):𝑉⟶𝑉 ↔ (𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):𝑉⟶𝑉))
10	7, 9	mpbird 256	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾‘𝑇):𝑉⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  dom cdm 5590  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923  proj₁cpj1 19251  LSubSpclss 20204  ocvcocv 20876  projcpj 20918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-fv 6440  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-map 8609  df-pj 20921

This theorem is referenced by: (None)