Theorem pjff 22073

Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjf.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjff	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))

Proof of Theorem pjff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
5		phllmod 21991	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
9		pjf.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
10	7, 1, 8, 2, 9	pjdm2 22072	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))))
11	10	simprbda 504	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	7, 1	lssss 21262	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
14	7, 8, 1	ocvlss 22033	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	13, 14	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	8, 1, 3	ocvin 22035	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g‘𝑊)})
17	11, 16	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g‘𝑊)})
18	1, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17	pj1lmhm 21426	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊))
19	10	simplbda 505	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))
20	19	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)))
21	7	ressid 17466	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
23	20, 22	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = 𝑊)
24	23	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊) = (𝑊 LMHom 𝑊))
25	18, 24	eleqtrd 2866	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑊))
26	8, 4, 9	pjfval2 22070	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
27	25, 26	fmptd 7146	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  {csn 4588  dom cdm 5658  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  0_gc0g 17660  LSSumclsm 19899  proj₁cpj1 19900  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257   LMHom clmhm 21345  PreHilcphl 21985  ocvcocv 22021  projcpj 22061

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-lsm 19901  df-pj1 19902  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lmhm 21348  df-lvec 21429  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-phl 21987  df-ocv 22024  df-pj 22064

This theorem is used by: (None)