Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjff 20399
 Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjff (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))

Proof of Theorem pjff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 eqid 2822 . . . 4 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3 eqid 2822 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4 eqid 2822 . . . 4 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
5 phllmod 20317 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
65adantr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8 eqid 2822 . . . . . 6 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
9 pjf.k . . . . . 6 𝐾 = (proj‘𝑊)
107, 1, 8, 2, 9pjdm2 20398 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))))
1110simprbda 502 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊))
127, 1lssss 19699 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
147, 8, 1ocvlss 20359 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1513, 14syldan 594 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
168, 1, 3ocvin 20361 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g𝑊)})
1711, 16syldan 594 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g𝑊)})
181, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17pj1lmhm 19863 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ ((𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊))
1910simplbda 503 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))
2019oveq2d 7156 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑊s (Base‘𝑊)))
217ressid 16550 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑊s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
2221adantr 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
2320, 22eqtrd 2857 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = 𝑊)
2423oveq1d 7155 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊) = (𝑊 LMHom 𝑊))
2518, 24eleqtrd 2916 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑊))
268, 4, 9pjfval2 20396 . 2 𝐾 = (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↦ (𝑥(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
2725, 26fmptd 6860 1 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  {csn 4539  dom cdm 5532  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  0gc0g 16704  LSSumclsm 18750  proj1cpj1 18751  LModclmod 19625  LSubSpclss 19694   LMHom clmhm 19782  PreHilcphl 20311  ocvcocv 20347  projcpj 20387 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-lsm 18752  df-pj1 18753  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lmhm 19785  df-lvec 19866  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-phl 20313  df-ocv 20350  df-pj 20390 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator