Theorem pjff 21702

Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjf.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjff	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))

Proof of Theorem pjff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
5		phllmod 21620	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
9		pjf.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
10	7, 1, 8, 2, 9	pjdm2 21701	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))))
11	10	simprbda 498	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	7, 1	lssss 20922	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
14	7, 8, 1	ocvlss 21662	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	13, 14	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	8, 1, 3	ocvin 21664	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g‘𝑊)})
17	11, 16	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g‘𝑊)})
18	1, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17	pj1lmhm 21087	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊))
19	10	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))
20	19	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)))
21	7	ressid 17205	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
23	20, 22	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = 𝑊)
24	23	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊) = (𝑊 LMHom 𝑊))
25	18, 24	eleqtrd 2839	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑊))
26	8, 4, 9	pjfval2 21699	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
27	25, 26	fmptd 7060	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  0_gc0g 17393  LSSumclsm 19600  proj₁cpj1 19601  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917   LMHom clmhm 21006  PreHilcphl 21614  ocvcocv 21650  projcpj 21690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-pj1 19603  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lmhm 21009  df-lvec 21090  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-phl 21616  df-ocv 21653  df-pj 21693

This theorem is referenced by: (None)