MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjff 21639
Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjff (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐾:dom 𝐾⟢(π‘Š LMHom π‘Š))

Proof of Theorem pjff
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 eqid 2728 . . . 4 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
3 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
4 eqid 2728 . . . 4 (proj1β€˜π‘Š) = (proj1β€˜π‘Š)
5 phllmod 21555 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
65adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
9 pjf.k . . . . . 6 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
107, 1, 8, 2, 9pjdm2 21638 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐾 ↔ (π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘Š))))
1110simprbda 498 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
127, 1lssss 20813 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
147, 8, 1ocvlss 21597 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1513, 14syldan 590 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
168, 1, 3ocvin 21599 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
1711, 16syldan 590 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ (π‘₯ ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
181, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17pj1lmhm 20978 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) ∈ ((π‘Š β†Ύs (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) LMHom π‘Š))
1910simplbda 499 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘Š))
2019oveq2d 7430 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ (π‘Š β†Ύs (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) = (π‘Š β†Ύs (Baseβ€˜π‘Š)))
217ressid 17218 . . . . . 6 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (π‘Š β†Ύs (Baseβ€˜π‘Š)) = π‘Š)
2221adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ (π‘Š β†Ύs (Baseβ€˜π‘Š)) = π‘Š)
2320, 22eqtrd 2768 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ (π‘Š β†Ύs (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) = π‘Š)
2423oveq1d 7429 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ ((π‘Š β†Ύs (π‘₯(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) LMHom π‘Š) = (π‘Š LMHom π‘Š))
2518, 24eleqtrd 2831 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐾) β†’ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom π‘Š))
268, 4, 9pjfval2 21636 . 2 𝐾 = (π‘₯ ∈ dom 𝐾 ↦ (π‘₯(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
2725, 26fmptd 7118 1 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐾:dom 𝐾⟢(π‘Š LMHom π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  {csn 4624  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173   β†Ύs cress 17202  0gc0g 17414  LSSumclsm 19582  proj1cpj1 19583  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808   LMHom clmhm 20897  PreHilcphl 21549  ocvcocv 21585  projcpj 21627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-lsm 19584  df-pj1 19585  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lmhm 20900  df-lvec 20981  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-phl 21551  df-ocv 21588  df-pj 21630
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator