MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjff 20455
Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjff (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))

Proof of Theorem pjff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2777 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 eqid 2777 . . . 4 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3 eqid 2777 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4 eqid 2777 . . . 4 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
5 phllmod 20373 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
65adantr 474 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2777 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8 eqid 2777 . . . . . 6 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
9 pjf.k . . . . . 6 𝐾 = (proj‘𝑊)
107, 1, 8, 2, 9pjdm2 20454 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))))
1110simprbda 494 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊))
127, 1lssss 19329 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
147, 8, 1ocvlss 20415 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1513, 14syldan 585 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
168, 1, 3ocvin 20417 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g𝑊)})
1711, 16syldan 585 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g𝑊)})
181, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17pj1lmhm 19495 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ ((𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊))
1910simplbda 495 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))
2019oveq2d 6938 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑊s (Base‘𝑊)))
217ressid 16331 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑊s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
2221adantr 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
2320, 22eqtrd 2813 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = 𝑊)
2423oveq1d 6937 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊) = (𝑊 LMHom 𝑊))
2518, 24eleqtrd 2860 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑊))
268, 4, 9pjfval2 20452 . 2 𝐾 = (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↦ (𝑥(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
2725, 26fmptd 6648 1 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  cin 3790  wss 3791  {csn 4397  dom cdm 5355  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  s cress 16256  0gc0g 16486  LSSumclsm 18433  proj1cpj1 18434  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324   LMHom clmhm 19414  PreHilcphl 20367  ocvcocv 20403  projcpj 20443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-pj1 18436  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lmhm 19417  df-lvec 19498  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-phl 20369  df-ocv 20406  df-pj 20446
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator