Theorem pjff 20855

Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjf.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjff	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))

Proof of Theorem pjff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
5		phllmod 20773	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
9		pjf.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
10	7, 1, 8, 2, 9	pjdm2 20854	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))))
11	10	simprbda 501	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	7, 1	lssss 19707	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
14	7, 8, 1	ocvlss 20815	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	13, 14	syldan 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	8, 1, 3	ocvin 20817	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g‘𝑊)})
17	11, 16	syldan 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g‘𝑊)})
18	1, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17	pj1lmhm 19871	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊))
19	10	simplbda 502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))
20	19	oveq2d 7171	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)))
21	7	ressid 16558	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
22	21	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
23	20, 22	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = 𝑊)
24	23	oveq1d 7170	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊) = (𝑊 LMHom 𝑊))
25	18, 24	eleqtrd 2915	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑊))
26	8, 4, 9	pjfval2 20852	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
27	25, 26	fmptd 6877	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  {csn 4566  dom cdm 5554  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482   ↾_s cress 16483  0_gc0g 16712  LSSumclsm 18758  proj₁cpj1 18759  LModclmod 19633  LSubSpclss 19702   LMHom clmhm 19790  PreHilcphl 20767  ocvcocv 20803  projcpj 20843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-ghm 18355  df-cntz 18446  df-lsm 18760  df-pj1 18761  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lmhm 19793  df-lvec 19874  df-sra 19943  df-rgmod 19944  df-phl 20769  df-ocv 20806  df-pj 20846

This theorem is referenced by: (None)