Theorem pjff 22024

Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjf.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjff	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))

Proof of Theorem pjff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
5		phllmod 21942	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
9		pjf.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
10	7, 1, 8, 2, 9	pjdm2 22023	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))))
11	10	simprbda 504	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	7, 1	lssss 21217	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
14	7, 8, 1	ocvlss 21984	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	13, 14	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	8, 1, 3	ocvin 21986	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g‘𝑊)})
17	11, 16	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g‘𝑊)})
18	1, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17	pj1lmhm 21381	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ ((𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊))
19	10	simplbda 505	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))
20	19	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)))
21	7	ressid 17428	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
23	20, 22	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = 𝑊)
24	23	oveq1d 7436	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((𝑊 ↾s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊) = (𝑊 LMHom 𝑊))
25	18, 24	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑊))
26	8, 4, 9	pjfval2 22021	. 2 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↦ (𝑥(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
27	25, 26	fmptd 7115	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  {csn 4584  dom cdm 5650  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  0_gc0g 17616  LSSumclsm 19854  proj₁cpj1 19855  LModclmod 21141  LSubSpclss 21212   LMHom clmhm 21300  PreHilcphl 21936  ocvcocv 21972  projcpj 22012

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-cntz 19537  df-lsm 19856  df-pj1 19857  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lmhm 21303  df-lvec 21384  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-phl 21938  df-ocv 21975  df-pj 22015

This theorem is used by: (None)