Theorem pjf2 20831

Description: A projection is a function from the base set to the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjf.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
pjf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjf2	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾‘𝑇):𝑉⟶𝑇)

Proof of Theorem pjf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5		phllmod 20747	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8	7	lsssssubg 20135	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10		pjf.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
12		pjf.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
13	10, 7, 11, 2, 12	pjdm2 20828	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)))
14	13	simprbda 498	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	9, 14	sseldd 3918	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16	10, 7	lssss 20113	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
18	10, 11, 7	ocvlss 20789	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	17, 18	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	9, 19	sseldd 3918	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
21	11, 7, 3	ocvin 20791	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g‘𝑊)})
22	14, 21	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g‘𝑊)})
23		lmodabl 20085	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
24	6, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
25	4, 24, 15, 20	ablcntzd 19373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
26		eqid 2738	. . 3 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
27	1, 2, 3, 4, 15, 20, 22, 25, 26	pj1f 19218	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):(𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))⟶𝑇)
28	11, 26, 12	pjval 20827	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾‘𝑇) = (𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
29	28	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾‘𝑇) = (𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
30	29	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = (𝐾‘𝑇))
31	13	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)
32	30, 31	feq12d 6572	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):(𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))⟶𝑇 ↔ (𝐾‘𝑇):𝑉⟶𝑇))
33	27, 32	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾‘𝑇):𝑉⟶𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  SubGrpcsubg 18664  Cntzccntz 18836  LSSumclsm 19154  proj₁cpj1 19155  Abelcabl 19302  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  PreHilcphl 20741  ocvcocv 20777  projcpj 20817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-pj1 19157  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lmhm 20199  df-lvec 20280  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-phl 20743  df-ocv 20780  df-pj 20820

This theorem is referenced by:  pjfo  20832