MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjf2 21744
Description: A projection is a function from the base set to the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
pjf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjf2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)

Proof of Theorem pjf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2761 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
2 eqid 2761 . . 3 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3 eqid 2761 . . 3 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4 eqid 2761 . . 3 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5 phllmod 21660 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
65adantr 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2761 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 21003 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10 pjf.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 eqid 2761 . . . . . 6 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
12 pjf.k . . . . . 6 𝐾 = (proj‘𝑊)
1310, 7, 11, 2, 12pjdm2 21741 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)))
1413simprbda 502 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
159, 14sseldd 3937 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
1610, 7lssss 20981 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑇𝑉)
1714, 16syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇𝑉)
1810, 11, 7ocvlss 21702 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1917, 18syldan 600 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
209, 19sseldd 3937 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
2111, 7, 3ocvin 21704 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
2214, 21syldan 600 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
23 lmodabl 20954 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
246, 23syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
254, 24, 15, 20ablcntzd 19878 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
26 eqid 2761 . . 3 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
271, 2, 3, 4, 15, 20, 22, 25, 26pj1f 19718 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):(𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))⟶𝑇)
2811, 26, 12pjval 21740 . . . . 5 (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
2928adantl 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
3029eqcomd 2767 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = (𝐾𝑇))
3113simplbda 503 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)
3230, 31feq12d 6673 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):(𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))⟶𝑇 ↔ (𝐾𝑇):𝑉𝑇))
3327, 32mpbid 234 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1559  wcel 2141  cin 3903  wss 3904  {csn 4581  dom cdm 5645  wf 6511  cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17226  +gcplusg 17267  0gc0g 17449  SubGrpcsubg 19143  Cntzccntz 19336  LSSumclsm 19655  proj1cpj1 19656  Abelcabl 19802  LModclmod 20905  LSubSpclss 20976  PreHilcphl 21654  ocvcocv 21690  projcpj 21730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17248  df-plusg 17280  df-sca 17283  df-vsca 17284  df-ip 17285  df-0g 17451  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-grp 18959  df-minusg 18960  df-sbg 18961  df-subg 19146  df-ghm 19235  df-cntz 19338  df-lsm 19657  df-pj1 19658  df-cmn 19803  df-abl 19804  df-mgp 20168  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20907  df-lss 20977  df-lmhm 21067  df-lvec 21148  df-sra 21218  df-rgmod 21219  df-phl 21656  df-ocv 21693  df-pj 21733
This theorem is referenced by:  pjfo  21745
  Copyright terms: Public domain W3C validator