MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjf2 20457
Description: A projection is a function from the base set to the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
pjf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjf2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)

Proof of Theorem pjf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
2 eqid 2778 . . 3 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3 eqid 2778 . . 3 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4 eqid 2778 . . 3 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5 phllmod 20373 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
65adantr 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2778 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 19353 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10 pjf.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 eqid 2778 . . . . . 6 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
12 pjf.k . . . . . 6 𝐾 = (proj‘𝑊)
1310, 7, 11, 2, 12pjdm2 20454 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)))
1413simprbda 494 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
159, 14sseldd 3822 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
1610, 7lssss 19329 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑇𝑉)
1714, 16syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇𝑉)
1810, 11, 7ocvlss 20415 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1917, 18syldan 585 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
209, 19sseldd 3822 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
2111, 7, 3ocvin 20417 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
2214, 21syldan 585 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
23 lmodabl 19302 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
246, 23syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
254, 24, 15, 20ablcntzd 18646 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
26 eqid 2778 . . 3 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
271, 2, 3, 4, 15, 20, 22, 25, 26pj1f 18494 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):(𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))⟶𝑇)
2811, 26, 12pjval 20453 . . . . 5 (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
2928adantl 475 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
3029eqcomd 2784 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = (𝐾𝑇))
3113simplbda 495 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)
3230, 31feq12d 6279 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):(𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))⟶𝑇 ↔ (𝐾𝑇):𝑉𝑇))
3327, 32mpbid 224 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cin 3791  wss 3792  {csn 4398  dom cdm 5355  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  0gc0g 16486  SubGrpcsubg 17972  Cntzccntz 18131  LSSumclsm 18433  proj1cpj1 18434  Abelcabl 18580  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324  PreHilcphl 20367  ocvcocv 20403  projcpj 20443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-pj1 18436  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lmhm 19417  df-lvec 19498  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-phl 20369  df-ocv 20406  df-pj 20446
This theorem is referenced by:  pjfo  20458
  Copyright terms: Public domain W3C validator