MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjf2 21641
Description: A projection is a function from the base set to the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
pjf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjf2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):π‘‰βŸΆπ‘‡)

Proof of Theorem pjf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
2 eqid 2728 . . 3 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
3 eqid 2728 . . 3 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
4 eqid 2728 . . 3 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
5 phllmod 21555 . . . . . 6 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
65adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 eqid 2728 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
87lsssssubg 20835 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
96, 8syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
10 pjf.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 eqid 2728 . . . . . 6 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
12 pjf.k . . . . . 6 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
1310, 7, 11, 2, 12pjdm2 21638 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = 𝑉)))
1413simprbda 498 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
159, 14sseldd 3979 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
1610, 7lssss 20813 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
1714, 16syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
1810, 11, 7ocvlss 21597 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1917, 18syldan 590 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
209, 19sseldd 3979 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2111, 7, 3ocvin 21599 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑇 ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2214, 21syldan 590 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (𝑇 ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
23 lmodabl 20785 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
246, 23syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Abel)
254, 24, 15, 20ablcntzd 19805 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
26 eqid 2728 . . 3 (proj1β€˜π‘Š) = (proj1β€˜π‘Š)
271, 2, 3, 4, 15, 20, 22, 25, 26pj1f 19645 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)):(𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‡)
2811, 26, 12pjval 21637 . . . . 5 (𝑇 ∈ dom 𝐾 β†’ (πΎβ€˜π‘‡) = (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
2928adantl 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡) = (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
3029eqcomd 2734 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = (πΎβ€˜π‘‡))
3113simplbda 499 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = 𝑉)
3230, 31feq12d 6704 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)):(𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡))βŸΆπ‘‡ ↔ (πΎβ€˜π‘‡):π‘‰βŸΆπ‘‡))
3327, 32mpbid 231 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):π‘‰βŸΆπ‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  {csn 4624  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  0gc0g 17414  SubGrpcsubg 19068  Cntzccntz 19259  LSSumclsm 19582  proj1cpj1 19583  Abelcabl 19729  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808  PreHilcphl 21549  ocvcocv 21585  projcpj 21627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-lsm 19584  df-pj1 19585  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lmhm 20900  df-lvec 20981  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-phl 21551  df-ocv 21588  df-pj 21630
This theorem is referenced by:  pjfo  21642
  Copyright terms: Public domain W3C validator