MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjf2 21735
Description: A projection is a function from the base set to the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
pjf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjf2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)

Proof of Theorem pjf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
2 eqid 2736 . . 3 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3 eqid 2736 . . 3 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4 eqid 2736 . . 3 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5 phllmod 21649 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2736 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 20957 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10 pjf.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 eqid 2736 . . . . . 6 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
12 pjf.k . . . . . 6 𝐾 = (proj‘𝑊)
1310, 7, 11, 2, 12pjdm2 21732 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)))
1413simprbda 498 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
159, 14sseldd 3983 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
1610, 7lssss 20935 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑇𝑉)
1714, 16syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇𝑉)
1810, 11, 7ocvlss 21691 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1917, 18syldan 591 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
209, 19sseldd 3983 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
2111, 7, 3ocvin 21693 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
2214, 21syldan 591 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
23 lmodabl 20908 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
246, 23syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
254, 24, 15, 20ablcntzd 19876 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
26 eqid 2736 . . 3 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
271, 2, 3, 4, 15, 20, 22, 25, 26pj1f 19716 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):(𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))⟶𝑇)
2811, 26, 12pjval 21731 . . . . 5 (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
2928adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
3029eqcomd 2742 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = (𝐾𝑇))
3113simplbda 499 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)
3230, 31feq12d 6723 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):(𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))⟶𝑇 ↔ (𝐾𝑇):𝑉𝑇))
3327, 32mpbid 232 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cin 3949  wss 3950  {csn 4625  dom cdm 5684  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485  SubGrpcsubg 19139  Cntzccntz 19334  LSSumclsm 19653  proj1cpj1 19654  Abelcabl 19800  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  PreHilcphl 21643  ocvcocv 21679  projcpj 21721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-lsm 19655  df-pj1 19656  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lmhm 21022  df-lvec 21103  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-phl 21645  df-ocv 21682  df-pj 21724
This theorem is referenced by:  pjfo  21736
  Copyright terms: Public domain W3C validator