MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjf2 21579
Description: A projection is a function from the base set to the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
pjf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjf2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)

Proof of Theorem pjf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
2 eqid 2731 . . 3 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3 eqid 2731 . . 3 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4 eqid 2731 . . 3 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5 phllmod 21493 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2731 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 20801 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10 pjf.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 eqid 2731 . . . . . 6 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
12 pjf.k . . . . . 6 𝐾 = (proj‘𝑊)
1310, 7, 11, 2, 12pjdm2 21576 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)))
1413simprbda 498 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
159, 14sseldd 3983 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
1610, 7lssss 20779 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑇𝑉)
1714, 16syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇𝑉)
1810, 11, 7ocvlss 21535 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1917, 18syldan 590 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
209, 19sseldd 3983 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
2111, 7, 3ocvin 21537 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
2214, 21syldan 590 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
23 lmodabl 20751 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
246, 23syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
254, 24, 15, 20ablcntzd 19773 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
26 eqid 2731 . . 3 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
271, 2, 3, 4, 15, 20, 22, 25, 26pj1f 19613 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):(𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))⟶𝑇)
2811, 26, 12pjval 21575 . . . . 5 (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
2928adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
3029eqcomd 2737 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = (𝐾𝑇))
3113simplbda 499 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)
3230, 31feq12d 6705 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)):(𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))⟶𝑇 ↔ (𝐾𝑇):𝑉𝑇))
3327, 32mpbid 231 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  cin 3947  wss 3948  {csn 4628  dom cdm 5676  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  SubGrpcsubg 19043  Cntzccntz 19227  LSSumclsm 19550  proj1cpj1 19551  Abelcabl 19697  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  PreHilcphl 21487  ocvcocv 21523  projcpj 21565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-pj1 19553  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lmhm 20866  df-lvec 20947  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-phl 21489  df-ocv 21526  df-pj 21568
This theorem is referenced by:  pjfo  21580
  Copyright terms: Public domain W3C validator