MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plelttr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plelttr 18301
Description: Transitive law for chained "less than or equal to" and "less than". (sspsstr 4104 analog.) (Contributed by NM, 2-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pltletr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pltletr.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pltletr.s < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
plelttr ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑍) β†’ 𝑋 < 𝑍))
Proof of Theorem plelttr
StepHypRef Expression
1 pltletr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 pltletr.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 pltletr.s . . . . 5 < = (ltβ€˜πΎ)
41, 2, 3pleval2 18294 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
543adant3r3 1182 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
61, 3plttr 18299 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑍) β†’ 𝑋 < 𝑍))
76expd 414 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ (π‘Œ < 𝑍 β†’ 𝑋 < 𝑍)))
8 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 < 𝑍 ↔ π‘Œ < 𝑍))
98biimprd 247 . . . . 5 (𝑋 = π‘Œ β†’ (π‘Œ < 𝑍 β†’ 𝑋 < 𝑍))
109a1i 11 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ (π‘Œ < 𝑍 β†’ 𝑋 < 𝑍)))
117, 10jaod 855 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (π‘Œ < 𝑍 β†’ 𝑋 < 𝑍)))
125, 11sylbid 239 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (π‘Œ < 𝑍 β†’ 𝑋 < 𝑍)))
1312impd 409 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑍) β†’ 𝑋 < 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  lecple 17208  Posetcpo 18264  ltcplt 18265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287
This theorem is referenced by:  isarchi3  32603  archiabllem2c  32611  athgt  38630  1cvratex  38647
  Copyright terms: Public domain W3C validator