Theorem plelttr 17977

Description: Transitive law for chained "less than or equal to" and "less than". (sspsstr 4036 analog.) (Contributed by NM, 2-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
plelttr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem plelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltletr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pltletr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pltletr.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	pleval2 17970	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
5	4	3adant3r3 1182	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
6	1, 3	plttr 17975	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
7	6	expd 415	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
8		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑍 ↔ 𝑌 < 𝑍))
9	8	biimprd 247	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
11	7, 10	jaod 855	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
12	5, 11	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
13	12	impd 410	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  Posetcpo 17940  ltcplt 17941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963

This theorem is referenced by:  isarchi3  31343  archiabllem2c  31351  athgt  37397  1cvratex  37414