Theorem plelttr 18248

Description: Transitive law for chained "less than or equal to" and "less than". (sspsstr 4058 analog.) (Contributed by NM, 2-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
plelttr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem plelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltletr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pltletr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pltletr.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	pleval2 18241	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
5	4	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
6	1, 3	plttr 18246	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
7	6	expd 415	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
8		breq1 5094	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑍 ↔ 𝑌 < 𝑍))
9	8	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
11	7, 10	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
12	5, 11	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
13	12	impd 410	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  lecple 17168  Posetcpo 18213  ltcplt 18214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234

This theorem is referenced by:  isarchi3  33154  archiabllem2c  33162  athgt  39501  1cvratex  39518