Theorem plelttr 18308

Description: Transitive law for chained "less than or equal to" and "less than". (sspsstr 4048 analog.) (Contributed by NM, 2-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
plelttr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem plelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltletr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pltletr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pltletr.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	pleval2 18301	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
5	4	3adant3r3 1186	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
6	1, 3	plttr 18306	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
7	6	expd 415	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
8		breq1 5088	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑍 ↔ 𝑌 < 𝑍))
9	8	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
11	7, 10	jaod 860	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
12	5, 11	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍)))
13	12	impd 410	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lecple 17227  Posetcpo 18273  ltcplt 18274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294

This theorem is referenced by:  isarchi3  33248  archiabllem2c  33256  athgt  39902  1cvratex  39919