Theorem psubclssatN 40756

Description: A closed projective subspace is a set of atoms. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
psubclssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
psubclssat.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psubclssatN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem psubclssatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psubclssat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
3		psubclssat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
4	1, 2, 3	psubcliN 40753	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋))
5	4	simpld 500	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  Atomscatm 40078  ⊥_𝑃cpolN 40717  PSubClcpscN 40749

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-psubclN 40750

This theorem is used by:  pmapidclN  40757  psubclinN  40763  paddatclN  40764  pclfinclN  40765  poml6N  40770  osumcllem3N  40773  osumcllem9N  40779  osumcllem11N  40781  osumclN  40782