Theorem psubclssatN 40822

Description: A closed projective subspace is a set of atoms. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
psubclssat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
psubclssat.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psubclssatN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem psubclssatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psubclssat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
3		psubclssat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
4	1, 2, 3	psubcliN 40819	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋))
5	4	simpld 500	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  Atomscatm 40144  ⊥_𝑃cpolN 40783  PSubClcpscN 40815

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-psubclN 40816

This theorem is used by:  pmapidclN  40823  psubclinN  40829  paddatclN  40830  pclfinclN  40831  poml6N  40836  osumcllem3N  40839  osumcllem9N  40845  osumcllem11N  40847  osumclN  40848