Theorem poml6N 39922

Description: Orthomodular law for projective lattices. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
poml6.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
poml6.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
poml6N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem poml6N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		poml6.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 39908	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	3, 4	psubclssatN 39908	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
11		poml6.p	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
12	11, 4	psubcli2N 39906	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
13	1, 7, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
14	3, 11	poml4N 39920	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
15	14	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
16	1, 6, 9, 10, 13, 15	syl32anc 1380	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
17	11, 4	psubcli2N 39906	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
18	1, 2, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
19	16, 18	eqtrd 2764	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  Atomscatm 39229  HLchlt 39316  ⊥_𝑃cpolN 39869  PSubClcpscN 39901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39142  df-ol 39144  df-oml 39145  df-covers 39232  df-ats 39233  df-atl 39264  df-cvlat 39288  df-hlat 39317  df-pmap 39471  df-polarityN 39870  df-psubclN 39902

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  39931