Theorem poml6N 38815

Description: Orthomodular law for projective lattices. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
poml6.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
poml6.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
poml6N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem poml6N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		poml6.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 38801	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
6	1, 2, 5	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	3, 4	psubclssatN 38801	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
9	1, 7, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		simpr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
11		poml6.p	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
12	11, 4	psubcli2N 38799	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
13	1, 7, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
14	3, 11	poml4N 38813	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
15	14	imp 408	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
16	1, 6, 9, 10, 13, 15	syl32anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
17	11, 4	psubcli2N 38799	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
18	1, 2, 17	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
19	16, 18	eqtrd 2773	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6541  Atomscatm 38122  HLchlt 38209  ⊥_𝑃cpolN 38762  PSubClcpscN 38794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-pmap 38364  df-polarityN 38763  df-psubclN 38795

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  38824