Theorem poml6N 39958

Description: Orthomodular law for projective lattices. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
poml6.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
poml6.p	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
poml6N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem poml6N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		poml6.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 39944	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7		simpl3 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	3, 4	psubclssatN 39944	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
11		poml6.p	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
12	11, 4	psubcli2N 39942	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
13	1, 7, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
14	3, 11	poml4N 39956	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
15	14	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
16	1, 6, 9, 10, 13, 15	syl32anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
17	11, 4	psubcli2N 39942	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
18	1, 2, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
19	16, 18	eqtrd 2776	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ‘cfv 6560  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  ⊥_𝑃cpolN 39905  PSubClcpscN 39937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-pmap 39507  df-polarityN 39906  df-psubclN 39938

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  39967