Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poml6N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poml6N 37743
Description: Orthomodular law for projective lattices. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
poml6.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
poml6.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
poml6N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem poml6N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝐶)
3 eqid 2739 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4 poml6.c . . . . 5 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
53, 4psubclssatN 37729 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
61, 2, 5syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7 simpl3 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑌𝐶)
83, 4psubclssatN 37729 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
91, 7, 8syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10 simpr 488 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
11 poml6.p . . . . 5 = (⊥𝑃𝐾)
1211, 4psubcli2N 37727 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
131, 7, 12syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋𝑌) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
143, 11poml4N 37741 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋))))
1514imp 410 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑋𝑌 ∧ ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋)))
161, 6, 9, 10, 13, 15syl32anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = ( ‘( 𝑋)))
1711, 4psubcli2N 37727 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
181, 2, 17syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋𝑌) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
1916, 18eqtrd 2779 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋𝑌) → (( ‘(( 𝑋) ∩ 𝑌)) ∩ 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  cin 3882  wss 3883  cfv 6401  Atomscatm 37051  HLchlt 37138  𝑃cpolN 37690  PSubClcpscN 37722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5196  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-riotaBAD 36741
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-id 5472  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-undef 8039  df-proset 17835  df-poset 17853  df-plt 17869  df-lub 17885  df-glb 17886  df-join 17887  df-meet 17888  df-p0 17964  df-p1 17965  df-lat 17971  df-clat 18038  df-oposet 36964  df-ol 36966  df-oml 36967  df-covers 37054  df-ats 37055  df-atl 37086  df-cvlat 37110  df-hlat 37139  df-pmap 37292  df-polarityN 37691  df-psubclN 37723
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  37752
  Copyright terms: Public domain W3C validator