Theorem osumcllem9N 37260

Description: Lemma for osumclN 37263. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem9N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑀 = 𝑋)

Proof of Theorem osumcllem9N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 4146	. . . . . . 7 ⊢ ((( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) ∩ 𝑀) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ (𝑈 ∩ 𝑀))
2		simp11 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simp13 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
4		simp21 1203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
5		osumcllem.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		osumcllem.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		osumcllem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		osumcllem.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
9		osumcllem.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
10		osumcllem.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
11		osumcllem.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
12		osumcllem.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	osumcllem3N 37254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)
15	14	ineq1d 4138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) ∩ 𝑀) = (𝑌 ∩ 𝑀))
16	1, 15	syl5eqr 2847	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ (𝑈 ∩ 𝑀)) = (𝑌 ∩ 𝑀))
17		simp12 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
18	7, 10	psubclssatN 37237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
19	2, 17, 18	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
20	7, 10	psubclssatN 37237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
21	2, 3, 20	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
22		simp22 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ≠ ∅)
23	7, 8	paddssat 37110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
24	2, 19, 21, 23	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
25	7, 9	polssatN 37204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
26	2, 24, 25	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴)
27	7, 9	polssatN 37204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
28	2, 26, 27	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ 𝐴)
29	12, 28	eqsstrid 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑈 ⊆ 𝐴)
30		simp23 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝑈)
31	29, 30	sseldd 3916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
32		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
33	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	osumcllem8N 37259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅)
34	2, 19, 21, 4, 22, 31, 32, 33	syl331anc 1392	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑌 ∩ 𝑀) = ∅)
35	16, 34	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ (𝑈 ∩ 𝑀)) = ∅)
36	35	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ (𝑈 ∩ 𝑀))) = ( ⊥ ‘∅))
37	7, 9	pol0N 37205	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ( ⊥ ‘∅) = 𝐴)
38	2, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘∅) = 𝐴)
39	36, 38	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ (𝑈 ∩ 𝑀))) = 𝐴)
40	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	osumcllem1N 37252	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)
41	2, 19, 21, 30, 40	syl31anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑈 ∩ 𝑀) = 𝑀)
42	39, 41	ineq12d 4140	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ (𝑈 ∩ 𝑀))) ∩ (𝑈 ∩ 𝑀)) = (𝐴 ∩ 𝑀))
43	7, 9, 10	polsubclN 37248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐶)
44	2, 26, 43	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐶)
45	12, 44	eqeltrid 2894	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑈 ∈ 𝐶)
46	7, 8, 10	paddatclN 37245	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑝}) ∈ 𝐶)
47	2, 17, 31, 46	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ∈ 𝐶)
48	11, 47	eqeltrid 2894	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑀 ∈ 𝐶)
49	10	psubclinN 37244	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐶 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶) → (𝑈 ∩ 𝑀) ∈ 𝐶)
50	2, 45, 48, 49	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑈 ∩ 𝑀) ∈ 𝐶)
51	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	osumcllem2N 37253	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ⊆ (𝑈 ∩ 𝑀))
52	2, 19, 21, 30, 51	syl31anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (𝑈 ∩ 𝑀))
53	10, 9	poml6N 37251	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ (𝑈 ∩ 𝑀) ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ (𝑈 ∩ 𝑀)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ (𝑈 ∩ 𝑀))) ∩ (𝑈 ∩ 𝑀)) = 𝑋)
54	2, 17, 50, 52, 53	syl31anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ (𝑈 ∩ 𝑀))) ∩ (𝑈 ∩ 𝑀)) = 𝑋)
55	31	snssd 4702	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
56	7, 8	paddssat 37110	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝐴)
57	2, 19, 55, 56	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ⊆ 𝐴)
58	11, 57	eqsstrid 3963	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑀 ⊆ 𝐴)
59		sseqin2 4142	. . 3 ⊢ (𝑀 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑀) = 𝑀)
60	58, 59	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝐴 ∩ 𝑀) = 𝑀)
61	42, 54, 60	3eqtr3rd 2842	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑀 = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  lecple 16564  joincjn 17546  Atomscatm 36559  HLchlt 36646  +_𝑃cpadd 37091  ⊥_𝑃cpolN 37198  PSubClcpscN 37230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-riotaBAD 36249

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-undef 7922  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-polarityN 37199  df-psubclN 37231

This theorem is referenced by:  osumcllem11N  37262