Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem9N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem osumcllem9N 38927
Description: Lemma for osumclN 38930. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
osumcllem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
osumcllem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
osumcllem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.c 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem9N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑀 = 𝑋)
Proof of Theorem osumcllem9N
StepHypRef Expression
1 inass 4219 . . . . . . 7 ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘ˆ) ∩ 𝑀) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))
2 simp11 1203 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simp13 1205 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
4 simp21 1206 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
5 osumcllem.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 osumcllem.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 osumcllem.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 osumcllem.p . . . . . . . . . 10 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
9 osumcllem.o . . . . . . . . . 10 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
10 osumcllem.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
11 osumcllem.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
12 osumcllem.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem3N 38921 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘ˆ) = π‘Œ)
142, 3, 4, 13syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘ˆ) = π‘Œ)
1514ineq1d 4211 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘ˆ) ∩ 𝑀) = (π‘Œ ∩ 𝑀))
161, 15eqtr3id 2786 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀)) = (π‘Œ ∩ 𝑀))
17 simp12 1204 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
187, 10psubclssatN 38904 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
192, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
207, 10psubclssatN 38904 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
212, 3, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
22 simp22 1207 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
237, 8paddssat 38777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
242, 19, 21, 23syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
257, 9polssatN 38871 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
262, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
277, 9polssatN 38871 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) βŠ† 𝐴)
282, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) βŠ† 𝐴)
2912, 28eqsstrid 4030 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐴)
30 simp23 1208 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ π‘ˆ)
3129, 30sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
32 simp3 1138 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
335, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem8N 38926 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑀) = βˆ…)
342, 19, 21, 4, 22, 31, 32, 33syl331anc 1395 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑀) = βˆ…)
3516, 34eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀)) = βˆ…)
3635fveq2d 6895 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))) = ( βŠ₯ β€˜βˆ…))
377, 9pol0N 38872 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ ( βŠ₯ β€˜βˆ…) = 𝐴)
382, 37syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜βˆ…) = 𝐴)
3936, 38eqtrd 2772 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))) = 𝐴)
405, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem1N 38919 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) = 𝑀)
412, 19, 21, 30, 40syl31anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) = 𝑀)
4239, 41ineq12d 4213 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀)) = (𝐴 ∩ 𝑀))
437, 9, 10polsubclN 38915 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∈ 𝐢)
442, 26, 43syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∈ 𝐢)
4512, 44eqeltrid 2837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐢)
467, 8, 10paddatclN 38912 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + {𝑝}) ∈ 𝐢)
472, 17, 31, 46syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑋 + {𝑝}) ∈ 𝐢)
4811, 47eqeltrid 2837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐢)
4910psubclinN 38911 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐢 ∧ 𝑀 ∈ 𝐢) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) ∈ 𝐢)
502, 45, 48, 49syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) ∈ 𝐢)
515, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem2N 38920 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘ˆ ∩ 𝑀))
522, 19, 21, 30, 51syl31anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘ˆ ∩ 𝑀))
5310, 9poml6N 38918 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ (π‘ˆ ∩ 𝑀) ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 βŠ† (π‘ˆ ∩ 𝑀)) β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀)) = 𝑋)
542, 17, 50, 52, 53syl31anc 1373 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀)) = 𝑋)
5531snssd 4812 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ {𝑝} βŠ† 𝐴)
567, 8paddssat 38777 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ {𝑝} βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + {𝑝}) βŠ† 𝐴)
572, 19, 55, 56syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑋 + {𝑝}) βŠ† 𝐴)
5811, 57eqsstrid 4030 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑀 βŠ† 𝐴)
59 sseqin2 4215 . . 3 (𝑀 βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑀) = 𝑀)
6058, 59sylib 217 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑀) = 𝑀)
6142, 54, 603eqtr3rd 2781 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑀 = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  lecple 17206  joincjn 18266  Atomscatm 38225  HLchlt 38312  +𝑃cpadd 38758  βŠ₯𝑃cpolN 38865  PSubClcpscN 38897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38138  df-ol 38140  df-oml 38141  df-covers 38228  df-ats 38229  df-atl 38260  df-cvlat 38284  df-hlat 38313  df-psubsp 38466  df-pmap 38467  df-padd 38759  df-polarityN 38866  df-psubclN 38898
This theorem is referenced by:  osumcllem11N  38929
  Copyright terms: Public domain W3C validator