Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem9N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem osumcllem9N 38835
Description: Lemma for osumclN 38838. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
osumcllem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
osumcllem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
osumcllem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
osumcllem.c 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem9N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑀 = 𝑋)
Proof of Theorem osumcllem9N
StepHypRef Expression
1 inass 4220 . . . . . . 7 ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘ˆ) ∩ 𝑀) = (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))
2 simp11 1204 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simp13 1206 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐢)
4 simp21 1207 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
5 osumcllem.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 osumcllem.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 osumcllem.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 osumcllem.p . . . . . . . . . 10 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
9 osumcllem.o . . . . . . . . . 10 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
10 osumcllem.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (PSubClβ€˜πΎ)
11 osumcllem.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
12 osumcllem.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)))
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem3N 38829 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘ˆ) = π‘Œ)
142, 3, 4, 13syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘ˆ) = π‘Œ)
1514ineq1d 4212 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ π‘ˆ) ∩ 𝑀) = (π‘Œ ∩ 𝑀))
161, 15eqtr3id 2787 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀)) = (π‘Œ ∩ 𝑀))
17 simp12 1205 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
187, 10psubclssatN 38812 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
192, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
207, 10psubclssatN 38812 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
212, 3, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
22 simp22 1208 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
237, 8paddssat 38685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
242, 19, 21, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
257, 9polssatN 38779 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
262, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
277, 9polssatN 38779 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) βŠ† 𝐴)
282, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) βŠ† 𝐴)
2912, 28eqsstrid 4031 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐴)
30 simp23 1209 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ π‘ˆ)
3129, 30sseldd 3984 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
32 simp3 1139 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
335, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem8N 38834 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑀) = βˆ…)
342, 19, 21, 4, 22, 31, 32, 33syl331anc 1396 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∩ 𝑀) = βˆ…)
3516, 34eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀)) = βˆ…)
3635fveq2d 6896 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))) = ( βŠ₯ β€˜βˆ…))
377, 9pol0N 38780 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ ( βŠ₯ β€˜βˆ…) = 𝐴)
382, 37syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜βˆ…) = 𝐴)
3936, 38eqtrd 2773 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))) = 𝐴)
405, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem1N 38827 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) = 𝑀)
412, 19, 21, 30, 40syl31anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) = 𝑀)
4239, 41ineq12d 4214 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀)) = (𝐴 ∩ 𝑀))
437, 9, 10polsubclN 38823 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∈ 𝐢)
442, 26, 43syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∈ 𝐢)
4512, 44eqeltrid 2838 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐢)
467, 8, 10paddatclN 38820 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 + {𝑝}) ∈ 𝐢)
472, 17, 31, 46syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑋 + {𝑝}) ∈ 𝐢)
4811, 47eqeltrid 2838 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐢)
4910psubclinN 38819 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐢 ∧ 𝑀 ∈ 𝐢) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) ∈ 𝐢)
502, 45, 48, 49syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑀) ∈ 𝐢)
515, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12osumcllem2N 38828 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘ˆ ∩ 𝑀))
522, 19, 21, 30, 51syl31anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† (π‘ˆ ∩ 𝑀))
5310, 9poml6N 38826 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ (π‘ˆ ∩ 𝑀) ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 βŠ† (π‘ˆ ∩ 𝑀)) β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀)) = 𝑋)
542, 17, 50, 52, 53syl31anc 1374 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀))) ∩ (π‘ˆ ∩ 𝑀)) = 𝑋)
5531snssd 4813 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ {𝑝} βŠ† 𝐴)
567, 8paddssat 38685 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ {𝑝} βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + {𝑝}) βŠ† 𝐴)
572, 19, 55, 56syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝑋 + {𝑝}) βŠ† 𝐴)
5811, 57eqsstrid 4031 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑀 βŠ† 𝐴)
59 sseqin2 4216 . . 3 (𝑀 βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑀) = 𝑀)
6058, 59sylib 217 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∩ 𝑀) = 𝑀)
6142, 54, 603eqtr3rd 2782 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + π‘Œ)) β†’ 𝑀 = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  +𝑃cpadd 38666  βŠ₯𝑃cpolN 38773  PSubClcpscN 38805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-polarityN 38774  df-psubclN 38806
This theorem is referenced by:  osumcllem11N  38837
  Copyright terms: Public domain W3C validator