Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapidclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapidclN 37124
Description: Projective map of the LUB of a closed subspace. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapidcl.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
pmapidcl.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapidcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapidclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → (𝑀‘(𝑈𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem pmapidclN
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2 pmapidcl.c . . . 4 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
31, 2psubclssatN 37123 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
4 pmapidcl.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
5 pmapidcl.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6 eqid 2821 . . . 4 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
74, 1, 5, 62polvalN 37096 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈𝑋)))
83, 7syldan 594 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈𝑋)))
96, 2psubcli2N 37121 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
108, 9eqtr3d 2858 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → (𝑀‘(𝑈𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3910  cfv 6328  lubclub 17531  Atomscatm 36445  HLchlt 36532  pmapcpmap 36679  𝑃cpolN 37084  PSubClcpscN 37116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-riotaBAD 36135
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-undef 7914  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-oposet 36358  df-ol 36360  df-oml 36361  df-covers 36448  df-ats 36449  df-atl 36480  df-cvlat 36504  df-hlat 36533  df-pmap 36686  df-polarityN 37085  df-psubclN 37117
This theorem is referenced by:  psubclinN  37130  paddatclN  37131
  Copyright terms: Public domain W3C validator