Theorem pmapidclN 40435

Description: Projective map of the LUB of a closed subspace. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapidcl.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
pmapidcl.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapidcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapidclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑀‘(𝑈‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem pmapidclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2		pmapidcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
3	1, 2	psubclssatN 40434	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
4		pmapidcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
5		pmapidcl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
7	4, 1, 5, 6	2polvalN 40407	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))
8	3, 7	syldan 597	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))
9	6, 2	psubcli2N 40432	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
10	8, 9	eqtr3d 2777	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑀‘(𝑈‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  lubclub 18273  Atomscatm 39756  HLchlt 39843  pmapcpmap 39990  ⊥_𝑃cpolN 40395  PSubClcpscN 40427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18396  df-clat 18463  df-oposet 39669  df-ol 39671  df-oml 39672  df-covers 39759  df-ats 39760  df-atl 39791  df-cvlat 39815  df-hlat 39844  df-pmap 39997  df-polarityN 40396  df-psubclN 40428

This theorem is referenced by:  psubclinN  40441  paddatclN  40442