Theorem pmapidclN 39471

Description: Projective map of the LUB of a closed subspace. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapidcl.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
pmapidcl.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapidcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapidclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑀‘(𝑈‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem pmapidclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2		pmapidcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
3	1, 2	psubclssatN 39470	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
4		pmapidcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
5		pmapidcl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
7	4, 1, 5, 6	2polvalN 39443	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))
8	3, 7	syldan 589	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑋)))
9	6, 2	psubcli2N 39468	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
10	8, 9	eqtr3d 2767	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑀‘(𝑈‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6543  lubclub 18300  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  pmapcpmap 39026  ⊥_𝑃cpolN 39431  PSubClcpscN 39463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-pmap 39033  df-polarityN 39432  df-psubclN 39464

This theorem is referenced by:  psubclinN  39477  paddatclN  39478