Theorem osumcllem11N 40629

Description: Lemma for osumclN 40630. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcl.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
osumcllem11N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))

Proof of Theorem osumcllem11N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2976	. 2 ⊢ ¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)
2		simpl1 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simpl2 1209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
4		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		osumcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
6	4, 5	psubclssatN 40604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7	2, 3, 6	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8		simpl3 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
9	4, 5	psubclssatN 40604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10	2, 8, 9	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
11		osumcl.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
12	4, 11	paddssat 40477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13	2, 7, 10, 12	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
14		osumcl.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
15	4, 14	2polssN 40578	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
16	2, 13, 15	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
17		df-pss 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))))
18		pssnel 4437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
19	17, 18	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
20		df-rex 3096	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
21	19, 20	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
22		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
25		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
26	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem9N 40627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
27		simp11 1220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
28		simp12 1221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
29	27, 28, 6	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
30		simp13 1222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
31	27, 30, 9	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
32	13	3adantr3 1188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
33	32	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
34	4, 14	polssatN 40571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
35	27, 33, 34	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
36	4, 14	polssatN 40571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
37	27, 35, 36	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
38		simp23 1225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
39	37, 38	sseldd 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
40		simp3 1154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
41	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem10N 40628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
42	27, 29, 31, 39, 40, 41	syl311anc 1409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
43	26, 42	pm2.21ddne 3048	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
44	43	3exp 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))))
45	44	3expd 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))))))
46	45	imp32 423	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))))
47	46	rexlimdv 3170	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
48	21, 47	syl5 35	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
49	16, 48	mpand 707	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
50	49	necon1bd 2982	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))))
51	1, 50	mpi 21	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   ⊊ wpss 3914  ∅c0 4294  {csn 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  lecple 17316  joincjn 18366  Atomscatm 39926  HLchlt 40013  +_𝑃cpadd 40458  ⊥_𝑃cpolN 40565  PSubClcpscN 40597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-p1 18479  df-lat 18487  df-clat 18554  df-oposet 39839  df-ol 39841  df-oml 39842  df-covers 39929  df-ats 39930  df-atl 39961  df-cvlat 39985  df-hlat 40014  df-psubsp 40166  df-pmap 40167  df-padd 40459  df-polarityN 40566  df-psubclN 40598

This theorem is referenced by:  osumclN  40630