Theorem osumcllem11N 40342

Description: Lemma for osumclN 40343. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcl.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
osumcllem11N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))

Proof of Theorem osumcllem11N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2945	. 2 ⊢ ¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)
2		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simpl2 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		osumcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
6	4, 5	psubclssatN 40317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7	2, 3, 6	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8		simpl3 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
9	4, 5	psubclssatN 40317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10	2, 8, 9	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
11		osumcl.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
12	4, 11	paddssat 40190	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13	2, 7, 10, 12	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
14		osumcl.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
15	4, 14	2polssN 40291	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
16	2, 13, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
17		df-pss 3923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))))
18		pssnel 4425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
19	17, 18	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
20		df-rex 3063	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
21	19, 20	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
22		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
25		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
26	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem9N 40340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
27		simp11 1205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
28		simp12 1206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
29	27, 28, 6	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
30		simp13 1207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
31	27, 30, 9	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
32	13	3adantr3 1173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
33	32	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
34	4, 14	polssatN 40284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
35	27, 33, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
36	4, 14	polssatN 40284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
37	27, 35, 36	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
38		simp23 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
39	37, 38	sseldd 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
40		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
41	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem10N 40341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
42	27, 29, 31, 39, 40, 41	syl311anc 1387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
43	26, 42	pm2.21ddne 3017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
44	43	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))))
45	44	3expd 1355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))))))
46	45	imp32 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))))
47	46	rexlimdv 3137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
48	21, 47	syl5 34	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
49	16, 48	mpand 696	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
50	49	necon1bd 2951	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))))
51	1, 50	mpi 20	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904  ∅c0 4287  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  lecple 17196  joincjn 18246  Atomscatm 39639  HLchlt 39726  +_𝑃cpadd 40171  ⊥_𝑃cpolN 40278  PSubClcpscN 40310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-psubsp 39879  df-pmap 39880  df-padd 40172  df-polarityN 40279  df-psubclN 40311

This theorem is referenced by:  osumclN  40343