Theorem osumcllem11N 39923

Description: Lemma for osumclN 39924. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcl.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
osumcllem11N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))

Proof of Theorem osumcllem11N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonconne 2958	. 2 ⊢ ¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)
2		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simpl2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
4		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		osumcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
6	4, 5	psubclssatN 39898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7	2, 3, 6	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8		simpl3 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
9	4, 5	psubclssatN 39898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10	2, 8, 9	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
11		osumcl.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
12	4, 11	paddssat 39771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13	2, 7, 10, 12	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
14		osumcl.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
15	4, 14	2polssN 39872	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
16	2, 13, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
17		df-pss 3996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))))
18		pssnel 4494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
19	17, 18	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
20		df-rex 3077	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
21	19, 20	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
22		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
25		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
26	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem9N 39921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
27		simp11 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
28		simp12 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
29	27, 28, 6	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
30		simp13 1205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
31	27, 30, 9	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
32	13	3adantr3 1171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
33	32	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
34	4, 14	polssatN 39865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
35	27, 33, 34	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
36	4, 14	polssatN 39865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
37	27, 35, 36	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
38		simp23 1208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
39	37, 38	sseldd 4009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
40		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
41	22, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25	osumcllem10N 39922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
42	27, 29, 31, 39, 40, 41	syl311anc 1384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
43	26, 42	pm2.21ddne 3032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))
44	43	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))))
45	44	3expd 1353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))))))
46	45	imp32 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋))))
47	46	rexlimdv 3159	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
48	21, 47	syl5 34	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
49	16, 48	mpand 694	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + 𝑌) ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) → (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋)))
50	49	necon1bd 2964	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ 𝑋) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))))
51	1, 50	mpi 20	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977  ∅c0 4352  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  lecple 17318  joincjn 18381  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  +_𝑃cpadd 39752  ⊥_𝑃cpolN 39859  PSubClcpscN 39891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-polarityN 39860  df-psubclN 39892

This theorem is referenced by:  osumclN  39924