Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem11N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem11N 39949
Description: Lemma for osumclN 39950. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcl.p + = (+𝑃𝐾)
osumcl.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
osumcllem11N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))

Proof of Theorem osumcllem11N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nonconne 2950 . 2 ¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)
2 simpl1 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋𝐶)
4 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5 osumcl.c . . . . . . . 8 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
64, 5psubclssatN 39924 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
72, 3, 6syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌𝐶)
94, 5psubclssatN 39924 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
102, 8, 9syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
11 osumcl.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
124, 11paddssat 39797 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
132, 7, 10, 12syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
14 osumcl.o . . . . . 6 = (⊥𝑃𝐾)
154, 142polssN 39898 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
162, 13, 15syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
17 df-pss 3983 . . . . . . 7 ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))))
18 pssnel 4477 . . . . . . 7 ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
1917, 18sylbir 235 . . . . . 6 (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
20 df-rex 3069 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
2119, 20sylibr 234 . . . . 5 (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
22 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
25 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
2622, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25osumcllem9N 39947 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
27 simp11 1202 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
28 simp12 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋𝐶)
2927, 28, 6syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
30 simp13 1204 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌𝐶)
3127, 30, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
32133adantr3 1170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
33323adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
344, 14polssatN 39891 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
3527, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
364, 14polssatN 39891 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
3727, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
38 simp23 1207 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
3937, 38sseldd 3996 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
40 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
4122, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25osumcllem10N 39948 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
4227, 29, 31, 39, 40, 41syl311anc 1383 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
4326, 42pm2.21ddne 3024 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
44433exp 1118 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))))
45443expd 1352 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → (𝑋 ⊆ ( 𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))))))
4645imp32 418 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))))
4746rexlimdv 3151 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
4821, 47syl5 34 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
4916, 48mpand 695 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
5049necon1bd 2956 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))))
511, 50mpi 20 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  wss 3963  wpss 3964  c0 4339  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  lecple 17305  joincjn 18369  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  +𝑃cpadd 39778  𝑃cpolN 39885  PSubClcpscN 39917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-polarityN 39886  df-psubclN 39918
This theorem is referenced by:  osumclN  39950
  Copyright terms: Public domain W3C validator