Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem11N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem11N 38826
Description: Lemma for osumclN 38827. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcl.p + = (+𝑃𝐾)
osumcl.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
osumcllem11N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))

Proof of Theorem osumcllem11N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nonconne 2953 . 2 ¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)
2 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋𝐶)
4 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5 osumcl.c . . . . . . . 8 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
64, 5psubclssatN 38801 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
72, 3, 6syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌𝐶)
94, 5psubclssatN 38801 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
102, 8, 9syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
11 osumcl.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
124, 11paddssat 38674 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
132, 7, 10, 12syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
14 osumcl.o . . . . . 6 = (⊥𝑃𝐾)
154, 142polssN 38775 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
162, 13, 15syl2anc 585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
17 df-pss 3967 . . . . . . 7 ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))))
18 pssnel 4470 . . . . . . 7 ((𝑋 + 𝑌) ⊊ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
1917, 18sylbir 234 . . . . . 6 (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
20 df-rex 3072 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)))
2119, 20sylibr 233 . . . . 5 (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → ∃𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
2622, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25osumcllem9N 38824 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
27 simp11 1204 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
28 simp12 1205 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋𝐶)
2927, 28, 6syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
30 simp13 1206 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌𝐶)
3127, 30, 9syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
32133adantr3 1172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
33323adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
344, 14polssatN 38768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
3527, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
364, 14polssatN 38768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
3727, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
38 simp23 1209 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
3937, 38sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
40 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
4122, 23, 4, 11, 14, 5, 24, 25osumcllem10N 38825 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
4227, 29, 31, 39, 40, 41syl311anc 1385 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
4326, 42pm2.21ddne 3027 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌)) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
44433exp 1120 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))))
45443expd 1354 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → (𝑋 ⊆ ( 𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))))))
4645imp32 420 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))))
4746rexlimdv 3154 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝 ∈ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
4821, 47syl5 34 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + 𝑌) ⊆ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
4916, 48mpand 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + 𝑌) ≠ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
5049necon1bd 2959 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))))
511, 50mpi 20 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  wss 3948  wpss 3949  c0 4322  {csn 4628  cfv 6541  (class class class)co 7406  lecple 17201  joincjn 18261  Atomscatm 38122  HLchlt 38209  +𝑃cpadd 38655  𝑃cpolN 38762  PSubClcpscN 38794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-psubsp 38363  df-pmap 38364  df-padd 38656  df-polarityN 38763  df-psubclN 38795
This theorem is referenced by:  osumclN  38827
  Copyright terms: Public domain W3C validator