Theorem osumclN 40840

Description: Closure of orthogonal sum. If 𝑋 and 𝑌 are orthogonal closed projective subspaces, then their sum is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcl.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
osumclN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem osumclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		osumcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 40814	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	3, 4	psubclssatN 40814	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
9	1, 7, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		osumcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	3, 10	paddssat 40687	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
12	1, 6, 9, 11	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13		simpll1 1231	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
14		oveq1 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
15	3, 10	padd02 40685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
16	1, 9, 15	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
17	14, 16	sylan9eqr 2817	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
18		simpll3 1233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ 𝐶)
19	17, 18	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)
20		osumcl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
21	20, 4	psubcli2N 40812	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
22	13, 19, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
23	10, 20, 4	osumcllem11N 40839	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
24	23	anassrs 473	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
25	24	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
26	22, 25	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
27	3, 20, 4	ispsubclN 40810	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
28	1, 27	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
29	12, 26, 28	mpbir2and 726	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Atomscatm 40136  HLchlt 40223  +_𝑃cpadd 40668  ⊥_𝑃cpolN 40775  PSubClcpscN 40807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-p1 18512  df-lat 18520  df-clat 18587  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-psubsp 40376  df-pmap 40377  df-padd 40669  df-polarityN 40776  df-psubclN 40808

This theorem is used by:  pmapojoinN  40841  pexmidN  40842