Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumclN 35988
Description: Closure of orthogonal sum. If 𝑋 and 𝑌 are orthogonal closed projective subspaces, then their sum is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcl.p + = (+𝑃𝐾)
osumcl.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
osumclN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem osumclN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1243 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1245 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋𝐶)
3 eqid 2799 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4 osumcl.c . . . . 5 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
53, 4psubclssatN 35962 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
61, 2, 5syl2anc 580 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7 simpl3 1247 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌𝐶)
83, 4psubclssatN 35962 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
91, 7, 8syl2anc 580 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10 osumcl.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
113, 10paddssat 35835 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
121, 6, 9, 11syl3anc 1491 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13 simpll1 1270 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
14 oveq1 6885 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
153, 10padd02 35833 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
161, 9, 15syl2anc 580 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
1714, 16sylan9eqr 2855 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
18 simpll3 1274 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌𝐶)
1917, 18eqeltrd 2878 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)
20 osumcl.o . . . . 5 = (⊥𝑃𝐾)
2120, 4psubcli2N 35960 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
2213, 19, 21syl2anc 580 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
2310, 20, 4osumcllem11N 35987 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
2423anassrs 460 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
2524eqcomd 2805 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
2622, 25pm2.61dane 3058 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
273, 20, 4ispsubclN 35958 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
281, 27syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
2912, 26, 28mpbir2and 705 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wss 3769  c0 4115  cfv 6101  (class class class)co 6878  Atomscatm 35284  HLchlt 35371  +𝑃cpadd 35816  𝑃cpolN 35923  PSubClcpscN 35955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-riotaBAD 34974
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-undef 7637  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-p1 17355  df-lat 17361  df-clat 17423  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-psubsp 35524  df-pmap 35525  df-padd 35817  df-polarityN 35924  df-psubclN 35956
This theorem is referenced by:  pmapojoinN  35989  pexmidN  35990
  Copyright terms: Public domain W3C validator