Theorem osumclN 39961

Description: Closure of orthogonal sum. If 𝑋 and 𝑌 are orthogonal closed projective subspaces, then their sum is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcl.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
osumclN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem osumclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		osumcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 39935	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	3, 4	psubclssatN 39935	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		osumcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	3, 10	paddssat 39808	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
12	1, 6, 9, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13		simpll1 1213	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
14		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
15	3, 10	padd02 39806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
16	1, 9, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
17	14, 16	sylan9eqr 2786	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
18		simpll3 1215	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ 𝐶)
19	17, 18	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)
20		osumcl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
21	20, 4	psubcli2N 39933	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
22	13, 19, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
23	10, 20, 4	osumcllem11N 39960	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
24	23	anassrs 467	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
25	24	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
26	22, 25	pm2.61dane 3012	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
27	3, 20, 4	ispsubclN 39931	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
28	1, 27	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
29	12, 26, 28	mpbir2and 713	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  +_𝑃cpadd 39789  ⊥_𝑃cpolN 39896  PSubClcpscN 39928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-psubsp 39497  df-pmap 39498  df-padd 39790  df-polarityN 39897  df-psubclN 39929

This theorem is referenced by:  pmapojoinN  39962  pexmidN  39963