Theorem osumclN 39970

Description: Closure of orthogonal sum. If 𝑋 and 𝑌 are orthogonal closed projective subspaces, then their sum is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcl.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
osumclN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem osumclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		osumcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 39944	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7		simpl3 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	3, 4	psubclssatN 39944	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		osumcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	3, 10	paddssat 39817	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
12	1, 6, 9, 11	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13		simpll1 1212	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
14		oveq1 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
15	3, 10	padd02 39815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
16	1, 9, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
17	14, 16	sylan9eqr 2798	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
18		simpll3 1214	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ 𝐶)
19	17, 18	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)
20		osumcl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
21	20, 4	psubcli2N 39942	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
22	13, 19, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
23	10, 20, 4	osumcllem11N 39969	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
24	23	anassrs 467	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
25	24	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
26	22, 25	pm2.61dane 3028	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
27	3, 20, 4	ispsubclN 39940	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
28	1, 27	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
29	12, 26, 28	mpbir2and 713	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  +_𝑃cpadd 39798  ⊥_𝑃cpolN 39905  PSubClcpscN 39937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-polarityN 39906  df-psubclN 39938

This theorem is referenced by:  pmapojoinN  39971  pexmidN  39972