Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumclN 38643
Description: Closure of orthogonal sum. If 𝑋 and 𝑌 are orthogonal closed projective subspaces, then their sum is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcl.p + = (+𝑃𝐾)
osumcl.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
osumclN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem osumclN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋𝐶)
3 eqid 2731 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4 osumcl.c . . . . 5 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
53, 4psubclssatN 38617 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
61, 2, 5syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7 simpl3 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌𝐶)
83, 4psubclssatN 38617 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
91, 7, 8syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10 osumcl.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
113, 10paddssat 38490 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
121, 6, 9, 11syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13 simpll1 1212 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
14 oveq1 7400 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
153, 10padd02 38488 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
161, 9, 15syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
1714, 16sylan9eqr 2793 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
18 simpll3 1214 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌𝐶)
1917, 18eqeltrd 2832 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)
20 osumcl.o . . . . 5 = (⊥𝑃𝐾)
2120, 4psubcli2N 38615 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
2213, 19, 21syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
2310, 20, 4osumcllem11N 38642 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
2423anassrs 468 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 + 𝑌) = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))))
2524eqcomd 2737 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
2622, 25pm2.61dane 3028 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
273, 20, 4ispsubclN 38613 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
281, 27syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
2912, 26, 28mpbir2and 711 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wss 3944  c0 4318  cfv 6532  (class class class)co 7393  Atomscatm 37938  HLchlt 38025  +𝑃cpadd 38471  𝑃cpolN 38578  PSubClcpscN 38610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37851  df-ol 37853  df-oml 37854  df-covers 37941  df-ats 37942  df-atl 37973  df-cvlat 37997  df-hlat 38026  df-psubsp 38179  df-pmap 38180  df-padd 38472  df-polarityN 38579  df-psubclN 38611
This theorem is referenced by:  pmapojoinN  38644  pexmidN  38645
  Copyright terms: Public domain W3C validator