Theorem osumclN 40427

Description: Closure of orthogonal sum. If 𝑋 and 𝑌 are orthogonal closed projective subspaces, then their sum is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcl.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
osumclN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem osumclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		osumcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 40401	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
6	1, 2, 5	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7		simpl3 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	3, 4	psubclssatN 40401	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
9	1, 7, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		osumcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	3, 10	paddssat 40274	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
12	1, 6, 9, 11	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13		simpll1 1214	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
14		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
15	3, 10	padd02 40272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
16	1, 9, 15	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
17	14, 16	sylan9eqr 2794	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
18		simpll3 1216	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ 𝐶)
19	17, 18	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)
20		osumcl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
21	20, 4	psubcli2N 40399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
22	13, 19, 21	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
23	10, 20, 4	osumcllem11N 40426	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
24	23	anassrs 467	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
25	24	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
26	22, 25	pm2.61dane 3020	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
27	3, 20, 4	ispsubclN 40397	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
28	1, 27	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
29	12, 26, 28	mpbir2and 714	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Atomscatm 39723  HLchlt 39810  +_𝑃cpadd 40255  ⊥_𝑃cpolN 40362  PSubClcpscN 40394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-padd 40256  df-polarityN 40363  df-psubclN 40395

This theorem is referenced by:  pmapojoinN  40428  pexmidN  40429