Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddatclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddatclN 37989
Description: The projective sum of a closed subspace and an atom is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddatcl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddatcl.p + = (+𝑃𝐾)
paddatcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddatclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem paddatclN
StepHypRef Expression
1 hlclat 37398 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
213ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
3 paddatcl.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddatcl.c . . . . . . . 8 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
53, 4psubclssatN 37981 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋𝐴)
6 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
76, 3atssbase 37330 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
85, 7sstrdi 3935 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
983adant3 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
10 eqid 2733 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
116, 10clatlubcl 18249 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
122, 9, 11syl2anc 583 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13 eqid 2733 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14 eqid 2733 . . . . 5 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
15 paddatcl.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
166, 13, 3, 14, 15pmapjat1 37893 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
1712, 16syld3an2 1409 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
1810, 14, 4pmapidclN 37982 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
19183adant3 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
203, 14pmapat 37803 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
21203adant2 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
2219, 21oveq12d 7313 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)) = (𝑋 + {𝑄}))
2317, 22eqtr2d 2774 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)))
24 simp1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
25 hllat 37403 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
26253ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
276, 3atbase 37329 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
28273ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
296, 13latjcl 18185 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3026, 12, 28, 29syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
316, 14, 4pmapsubclN 37986 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
3224, 30, 31syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
3323, 32eqeltrd 2834 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1537  wcel 2101  wss 3889  {csn 4564  cfv 6447  (class class class)co 7295  Basecbs 16940  lubclub 18055  joincjn 18057  Latclat 18177  CLatccla 18244  Atomscatm 37303  HLchlt 37390  pmapcpmap 37537  +𝑃cpadd 37835  PSubClcpscN 37974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-riotaBAD 36993
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-undef 8109  df-proset 18041  df-poset 18059  df-plt 18076  df-lub 18092  df-glb 18093  df-join 18094  df-meet 18095  df-p0 18171  df-p1 18172  df-lat 18178  df-clat 18245  df-oposet 37216  df-ol 37218  df-oml 37219  df-covers 37306  df-ats 37307  df-atl 37338  df-cvlat 37362  df-hlat 37391  df-pmap 37544  df-padd 37836  df-polarityN 37943  df-psubclN 37975
This theorem is referenced by:  pclfinclN  37990  osumcllem9N  38004  pexmidlem6N  38015
  Copyright terms: Public domain W3C validator