Theorem paddatclN 39906

Description: The projective sum of a closed subspace and an atom is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddatcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddatcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
paddatcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddatclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem paddatclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 39314	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
3		paddatcl.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddatcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 39898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
6		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7	6, 3	atssbase 39246	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
8	5, 7	sstrdi 4021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9	8	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
10		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
11	6, 10	clatlubcl 18573	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
12	2, 9, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
15		paddatcl.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
16	6, 13, 3, 14, 15	pmapjat1 39810	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
17	12, 16	syld3an2 1411	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
18	10, 14, 4	pmapidclN 39899	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
19	18	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
20	3, 14	pmapat 39720	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
21	20	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
22	19, 21	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)) = (𝑋 + {𝑄}))
23	17, 22	eqtr2d 2781	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)))
24		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
25		hllat 39319	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
27	6, 3	atbase 39245	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
28	27	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
29	6, 13	latjcl 18509	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
30	26, 12, 28, 29	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
31	6, 14, 4	pmapsubclN 39903	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
32	24, 30, 31	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
33	23, 32	eqeltrd 2844	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lubclub 18379  joincjn 18381  Latclat 18501  CLatccla 18568  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  pmapcpmap 39454  +_𝑃cpadd 39752  PSubClcpscN 39891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-polarityN 39860  df-psubclN 39892

This theorem is referenced by:  pclfinclN  39907  osumcllem9N  39921  pexmidlem6N  39932