Theorem paddatclN 40395

Description: The projective sum of a closed subspace and an atom is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddatcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddatcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
paddatcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddatclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem paddatclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 39804	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
3		paddatcl.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddatcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 40387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
6		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7	6, 3	atssbase 39736	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
8	5, 7	sstrdi 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9	8	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
11	6, 10	clatlubcl 18469	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
12	2, 9, 11	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
15		paddatcl.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
16	6, 13, 3, 14, 15	pmapjat1 40299	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
17	12, 16	syld3an2 1414	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
18	10, 14, 4	pmapidclN 40388	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
19	18	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
20	3, 14	pmapat 40209	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
21	20	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
22	19, 21	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)) = (𝑋 + {𝑄}))
23	17, 22	eqtr2d 2773	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)))
24		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
25		hllat 39809	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
26	25	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
27	6, 3	atbase 39735	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
28	27	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
29	6, 13	latjcl 18405	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
30	26, 12, 28, 29	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
31	6, 14, 4	pmapsubclN 40392	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
32	24, 30, 31	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
33	23, 32	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  lubclub 18275  joincjn 18277  Latclat 18397  CLatccla 18464  Atomscatm 39709  HLchlt 39796  pmapcpmap 39943  +_𝑃cpadd 40241  PSubClcpscN 40380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-polarityN 40349  df-psubclN 40381

This theorem is referenced by:  pclfinclN  40396  osumcllem9N  40410  pexmidlem6N  40421