Theorem paddatclN 40764

Description: The projective sum of a closed subspace and an atom is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddatcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddatcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
paddatcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddatclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem paddatclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 40173	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
3		paddatcl.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddatcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 40756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
6		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7	6, 3	atssbase 40105	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
8	5, 7	sstrdi 3952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9	8	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
10		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
11	6, 10	clatlubcl 18584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
12	2, 9, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
15		paddatcl.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
16	6, 13, 3, 14, 15	pmapjat1 40668	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
17	12, 16	syld3an2 1438	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
18	10, 14, 4	pmapidclN 40757	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
19	18	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
20	3, 14	pmapat 40578	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
21	20	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
22	19, 21	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)) = (𝑋 + {𝑄}))
23	17, 22	eqtr2d 2802	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)))
24		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
25		hllat 40178	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
26	25	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
27	6, 3	atbase 40104	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
28	27	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
29	6, 13	latjcl 18520	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
30	26, 12, 28, 29	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
31	6, 14, 4	pmapsubclN 40761	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
32	24, 30, 31	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
33	23, 32	eqeltrd 2866	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  {csn 4594  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  lubclub 18390  joincjn 18392  Latclat 18512  CLatccla 18579  Atomscatm 40078  HLchlt 40165  pmapcpmap 40312  +_𝑃cpadd 40610  PSubClcpscN 40749

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-oposet 39991  df-ol 39993  df-oml 39994  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166  df-pmap 40319  df-padd 40611  df-polarityN 40718  df-psubclN 40750

This theorem is used by:  pclfinclN  40765  osumcllem9N  40779  pexmidlem6N  40790