Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddatclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddatclN 39552
Description: The projective sum of a closed subspace and an atom is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddatcl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddatcl.p + = (+𝑃𝐾)
paddatcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddatclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem paddatclN
StepHypRef Expression
1 hlclat 38960 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
3 paddatcl.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddatcl.c . . . . . . . 8 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
53, 4psubclssatN 39544 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋𝐴)
6 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
76, 3atssbase 38892 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
85, 7sstrdi 3989 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
983adant3 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
10 eqid 2725 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
116, 10clatlubcl 18498 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
122, 9, 11syl2anc 582 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13 eqid 2725 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14 eqid 2725 . . . . 5 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
15 paddatcl.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
166, 13, 3, 14, 15pmapjat1 39456 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
1712, 16syld3an2 1408 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
1810, 14, 4pmapidclN 39545 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
19183adant3 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
203, 14pmapat 39366 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
21203adant2 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
2219, 21oveq12d 7437 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)) = (𝑋 + {𝑄}))
2317, 22eqtr2d 2766 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)))
24 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
25 hllat 38965 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
26253ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
276, 3atbase 38891 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
28273ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
296, 13latjcl 18434 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3026, 12, 28, 29syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
316, 14, 4pmapsubclN 39549 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
3224, 30, 31syl2anc 582 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
3323, 32eqeltrd 2825 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑄𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3944  {csn 4630  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lubclub 18304  joincjn 18306  Latclat 18426  CLatccla 18493  Atomscatm 38865  HLchlt 38952  pmapcpmap 39100  +𝑃cpadd 39398  PSubClcpscN 39537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-polarityN 39506  df-psubclN 39538
This theorem is referenced by:  pclfinclN  39553  osumcllem9N  39567  pexmidlem6N  39578
  Copyright terms: Public domain W3C validator