Theorem paddatclN 39967

Description: The projective sum of a closed subspace and an atom is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddatcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddatcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
paddatcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddatclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem paddatclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlclat 39376	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CLat)
3		paddatcl.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		paddatcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 39959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
6		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7	6, 3	atssbase 39308	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
8	5, 7	sstrdi 3945	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9	8	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
10		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
11	6, 10	clatlubcl 18401	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
12	2, 9, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
15		paddatcl.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
16	6, 13, 3, 14, 15	pmapjat1 39871	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
17	12, 16	syld3an2 1413	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)))
18	10, 14, 4	pmapidclN 39960	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
19	18	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
20	3, 14	pmapat 39781	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
21	20	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘𝑄) = {𝑄})
22	19, 21	oveq12d 7359	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) + ((pmap‘𝐾)‘𝑄)) = (𝑋 + {𝑄}))
23	17, 22	eqtr2d 2766	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) = ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)))
24		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
25		hllat 39381	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
27	6, 3	atbase 39307	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
28	27	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
29	6, 13	latjcl 18337	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
30	26, 12, 28, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
31	6, 14, 4	pmapsubclN 39964	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
32	24, 30, 31	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)𝑄)) ∈ 𝐶)
33	23, 32	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑋 + {𝑄}) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900  {csn 4574  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  lubclub 18207  joincjn 18209  Latclat 18329  CLatccla 18396  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  pmapcpmap 39515  +_𝑃cpadd 39813  PSubClcpscN 39952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-proset 18192  df-poset 18211  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18330  df-clat 18397  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-pmap 39522  df-padd 39814  df-polarityN 39921  df-psubclN 39953

This theorem is referenced by:  pclfinclN  39968  osumcllem9N  39982  pexmidlem6N  39993