Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem3N 38767
Description: Lemma for osumclN 38776. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem3N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( 𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Proof of Theorem osumcllem3N
StepHypRef Expression
1 incom 4200 . 2 (( 𝑋) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ ( 𝑋))
2 osumcllem.u . . . . 5 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
3 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
5 osumcllem.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 osumcllem.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
75, 6psubclssatN 38750 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌𝐴)
873adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌𝐴)
9 osumcllem.o . . . . . . . . . . 11 = (⊥𝑃𝐾)
105, 9polssatN 38717 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
113, 8, 10syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
124, 11sstrd 3991 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋𝐴)
13 osumcllem.p . . . . . . . . 9 + = (+𝑃𝐾)
145, 13, 9poldmj1N 38737 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)))
153, 12, 8, 14syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)))
16 incom 4200 . . . . . . 7 (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)) = (( 𝑌) ∩ ( 𝑋))
1715, 16eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑌) ∩ ( 𝑋)))
1817fveq2d 6892 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))))
192, 18eqtrid 2785 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑈 = ( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))))
2019ineq1d 4210 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑈 ∩ ( 𝑋)) = (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)))
215, 9polcon2N 38728 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
228, 21syld3an2 1412 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
235, 9poml5N 38763 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)) = ( ‘( 𝑌)))
243, 12, 22, 23syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)) = ( ‘( 𝑌)))
259, 6psubcli2N 38748 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
26253adant3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
2720, 24, 263eqtrd 2777 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑈 ∩ ( 𝑋)) = 𝑌)
281, 27eqtrid 2785 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( 𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3946  wss 3947  {csn 4627  cfv 6540  (class class class)co 7404  lecple 17200  joincjn 18260  Atomscatm 38071  HLchlt 38158  +𝑃cpadd 38604  𝑃cpolN 38711  PSubClcpscN 38743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-polarityN 38712  df-psubclN 38744
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  38773
  Copyright terms: Public domain W3C validator