Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem3N 35767
Description: Lemma for osumclN 35776. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem3N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( 𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Proof of Theorem osumcllem3N
StepHypRef Expression
1 incom 3956 . 2 (( 𝑋) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ ( 𝑋))
2 osumcllem.u . . . . 5 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
3 simp1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
5 osumcllem.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 osumcllem.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
75, 6psubclssatN 35750 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌𝐴)
873adant3 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌𝐴)
9 osumcllem.o . . . . . . . . . . 11 = (⊥𝑃𝐾)
105, 9polssatN 35717 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
113, 8, 10syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
124, 11sstrd 3762 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋𝐴)
13 osumcllem.p . . . . . . . . 9 + = (+𝑃𝐾)
145, 13, 9poldmj1N 35737 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)))
153, 12, 8, 14syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)))
16 incom 3956 . . . . . . 7 (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)) = (( 𝑌) ∩ ( 𝑋))
1715, 16syl6eq 2821 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑌) ∩ ( 𝑋)))
1817fveq2d 6337 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))))
192, 18syl5eq 2817 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑈 = ( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))))
2019ineq1d 3964 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑈 ∩ ( 𝑋)) = (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)))
215, 9polcon2N 35728 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
228, 21syld3an2 1518 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
235, 9poml5N 35763 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)) = ( ‘( 𝑌)))
243, 12, 22, 23syl3anc 1476 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)) = ( ‘( 𝑌)))
259, 6psubcli2N 35748 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
26253adant3 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
2720, 24, 263eqtrd 2809 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑈 ∩ ( 𝑋)) = 𝑌)
281, 27syl5eq 2817 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( 𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723  {csn 4317  cfv 6030  (class class class)co 6796  lecple 16156  joincjn 17152  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  +𝑃cpadd 35604  𝑃cpolN 35711  PSubClcpscN 35743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-undef 7555  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-psubsp 35312  df-pmap 35313  df-padd 35605  df-polarityN 35712  df-psubclN 35744
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  35773
  Copyright terms: Public domain W3C validator