Theorem osumcllem3N 38829

Description: Lemma for osumclN 38838. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem3N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Proof of Theorem osumcllem3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4202	. 2 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋))
2		osumcllem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
3		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
5		osumcllem.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		osumcllem.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
7	5, 6	psubclssatN 38812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
8	7	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
9		osumcllem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
10	5, 9	polssatN 38779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
11	3, 8, 10	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
12	4, 11	sstrd 3993	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
13		osumcllem.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
14	5, 13, 9	poldmj1N 38799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
15	3, 12, 8, 14	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
16		incom 4202	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))
17	15, 16	eqtrdi 2789	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
18	17	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
19	2, 18	eqtrid 2785	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑈 = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
20	19	ineq1d 4212	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
21	5, 9	polcon2N 38790	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
22	8, 21	syld3an2 1412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
23	5, 9	poml5N 38825	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
24	3, 12, 22, 23	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
25	9, 6	psubcli2N 38810	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
26	25	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
27	20, 24, 26	3eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑌)
28	1, 27	eqtrid 2785	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  {csn 4629  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  +_𝑃cpadd 38666  ⊥_𝑃cpolN 38773  PSubClcpscN 38805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-polarityN 38774  df-psubclN 38806

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  38835