Theorem osumcllem3N 37534

Description: Lemma for osumclN 37543. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem3N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Proof of Theorem osumcllem3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4106	. 2 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋))
2		osumcllem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
3		simp1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
5		osumcllem.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		osumcllem.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
7	5, 6	psubclssatN 37517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
8	7	3adant3 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
9		osumcllem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
10	5, 9	polssatN 37484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
11	3, 8, 10	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
12	4, 11	sstrd 3902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
13		osumcllem.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
14	5, 13, 9	poldmj1N 37504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
15	3, 12, 8, 14	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
16		incom 4106	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))
17	15, 16	eqtrdi 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
18	17	fveq2d 6662	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
19	2, 18	syl5eq 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑈 = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
20	19	ineq1d 4116	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
21	5, 9	polcon2N 37495	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
22	8, 21	syld3an2 1408	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
23	5, 9	poml5N 37530	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
24	3, 12, 22, 23	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
25	9, 6	psubcli2N 37515	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
26	25	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
27	20, 24, 26	3eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑌)
28	1, 27	syl5eq 2805	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  {csn 4522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  lecple 16630  joincjn 17620  Atomscatm 36839  HLchlt 36926  +_𝑃cpadd 37371  ⊥_𝑃cpolN 37478  PSubClcpscN 37510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-riotaBAD 36529

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-undef 7949  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-p1 17716  df-lat 17722  df-clat 17784  df-oposet 36752  df-ol 36754  df-oml 36755  df-covers 36842  df-ats 36843  df-atl 36874  df-cvlat 36898  df-hlat 36927  df-psubsp 37079  df-pmap 37080  df-padd 37372  df-polarityN 37479  df-psubclN 37511

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  37540