Theorem osumcllem3N 40328

Description: Lemma for osumclN 40337. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem3N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Proof of Theorem osumcllem3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4163	. 2 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋))
2		osumcllem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
3		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
5		osumcllem.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		osumcllem.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
7	5, 6	psubclssatN 40311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
8	7	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
9		osumcllem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
10	5, 9	polssatN 40278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
11	3, 8, 10	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
12	4, 11	sstrd 3946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
13		osumcllem.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
14	5, 13, 9	poldmj1N 40298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
15	3, 12, 8, 14	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
16		incom 4163	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))
17	15, 16	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
18	17	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
19	2, 18	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑈 = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
20	19	ineq1d 4173	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
21	5, 9	polcon2N 40289	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
22	8, 21	syld3an2 1414	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
23	5, 9	poml5N 40324	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
24	3, 12, 22, 23	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
25	9, 6	psubcli2N 40309	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
26	25	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
27	20, 24, 26	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑌)
28	1, 27	eqtrid 2784	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  lecple 17196  joincjn 18246  Atomscatm 39633  HLchlt 39720  +_𝑃cpadd 40165  ⊥_𝑃cpolN 40272  PSubClcpscN 40304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39546  df-ol 39548  df-oml 39549  df-covers 39636  df-ats 39637  df-atl 39668  df-cvlat 39692  df-hlat 39721  df-psubsp 39873  df-pmap 39874  df-padd 40166  df-polarityN 40273  df-psubclN 40305

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  40334