Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclfinclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclfinclN 38907
Description: The projective subspace closure of a finite set of atoms is a closed subspace. Compare the (non-closed) subspace version pclfinN 38857 and also pclcmpatN 38858. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfincl.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pclfincl.c π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
pclfincl.s 𝑆 = (PSubClβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pclfinclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem pclfinclN
Dummy variables π‘ž 𝑝 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 4007 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ βˆ… βŠ† 𝐴))
21anbi2d 629 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ βˆ… βŠ† 𝐴)))
3 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) = (π‘ˆβ€˜βˆ…))
43eleq1d 2818 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆβ€˜βˆ…) ∈ 𝑆))
52, 4imbi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = βˆ… β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ… βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) ∈ 𝑆)))
6 sseq1 4007 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ 𝑦 βŠ† 𝐴))
76anbi2d 629 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
8 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) = (π‘ˆβ€˜π‘¦))
98eleq1d 2818 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆))
107, 9imbi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆)))
11 sseq1 4007 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴))
1211anbi2d 629 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)))
13 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) = (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})))
1413eleq1d 2818 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∈ 𝑆))
1512, 14imbi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
16 sseq1 4007 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ 𝑋 βŠ† 𝐴))
1716anbi2d 629 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴)))
18 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) = (π‘ˆβ€˜π‘‹))
1918eleq1d 2818 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆))
2017, 19imbi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)))
21 pclfincl.c . . . . . . 7 π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
2221pcl0N 38879 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) = βˆ…)
23 pclfincl.s . . . . . . 7 𝑆 = (PSubClβ€˜πΎ)
24230psubclN 38900 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆ… ∈ 𝑆)
2522, 24eqeltrd 2833 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) ∈ 𝑆)
2625adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ… βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) ∈ 𝑆)
27 anass 469 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
28 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
2928snss 4789 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐴)
3029anbi2i 623 . . . . . . . . 9 ((𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ {𝑧} βŠ† 𝐴))
31 unss 4184 . . . . . . . . 9 ((𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ {𝑧} βŠ† 𝐴) ↔ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
3230, 31bitri 274 . . . . . . . 8 ((𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
3332anbi2i 623 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴))
3427, 33bitr2i 275 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
35 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 = βˆ…)
3635uneq1d 4162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) = (βˆ… βˆͺ {𝑧}))
37 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ… βˆͺ {𝑧}) = ({𝑧} βˆͺ βˆ…)
38 un0 4390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑧} βˆͺ βˆ…) = {𝑧}
3937, 38eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ… βˆͺ {𝑧}) = {𝑧}
4036, 39eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) = {𝑧})
4140fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) = (π‘ˆβ€˜{𝑧}))
42 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43 hlatl 38316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
45 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
46 pclfincl.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
47 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (PSubSpβ€˜πΎ) = (PSubSpβ€˜πΎ)
4846, 47snatpsubN 38707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ {𝑧} ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
4944, 45, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧} ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
5047, 21pclidN 38853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑧} ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑧}) = {𝑧})
5142, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑧}) = {𝑧})
5241, 51eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) = {𝑧})
5346, 23atpsubclN 38902 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ {𝑧} ∈ 𝑆)
5442, 45, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧} ∈ 𝑆)
5552, 54eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∈ 𝑆)
5655exp43 437 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
57 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5846, 21pclssidN 38852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 βŠ† (π‘ˆβ€˜π‘¦))
5958ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 βŠ† (π‘ˆβ€˜π‘¦))
60 unss1 4179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 βŠ† (π‘ˆβ€˜π‘¦) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† ((π‘ˆβ€˜π‘¦) βˆͺ {𝑧}))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† ((π‘ˆβ€˜π‘¦) βˆͺ {𝑧}))
62 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆)
6346, 23psubclssatN 38898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴)
6457, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴)
65 snssi 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ {𝑧} βŠ† 𝐴)
6665ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧} βŠ† 𝐴)
67 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+π‘ƒβ€˜πΎ) = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
6846, 67paddunssN 38765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴 ∧ {𝑧} βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) βˆͺ {𝑧}) βŠ† ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}))
6957, 64, 66, 68syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) βˆͺ {𝑧}) βŠ† ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}))
7061, 69sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}))
7146, 67paddssat 38771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴 ∧ {𝑧} βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) βŠ† 𝐴)
7257, 64, 66, 71syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) βŠ† 𝐴)
7346, 21pclssN 38851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) βŠ† (π‘ˆβ€˜((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧})))
7457, 70, 72, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) βŠ† (π‘ˆβ€˜((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧})))
75 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
7646, 67, 23paddatclN 38906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) ∈ 𝑆)
7757, 62, 75, 76syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) ∈ 𝑆)
7847, 23psubclsubN 38897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) ∈ 𝑆) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
7957, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
8047, 21pclidN 38853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆβ€˜((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧})) = ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}))
8157, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧})) = ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}))
8274, 81sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) βŠ† ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}))
8357hllatd 38320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
84 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
8546, 21pcl0bN 38880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) = βˆ… ↔ 𝑦 = βˆ…))
8685ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) = βˆ… ↔ 𝑦 = βˆ…))
8786necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) β‰  βˆ… ↔ 𝑦 β‰  βˆ…))
8884, 87mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) β‰  βˆ…)
89 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
90 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
9189, 90, 46, 67elpaddat 38761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ˆβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘¦) β‰  βˆ…) β†’ (π‘ž ∈ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) ↔ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦)π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧))))
9283, 64, 75, 88, 91syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ž ∈ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) ↔ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦)π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧))))
93 simp1rl 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
94933ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧)) ∧ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
96 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧)) ∧ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
97 simpl13 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧)) ∧ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
98 unss 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 βŠ† 𝑀 ∧ {𝑧} βŠ† 𝑀) ↔ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀)
99 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 βŠ† 𝑀 ∧ {𝑧} βŠ† 𝑀) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑀)
10098, 99sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀 β†’ 𝑦 βŠ† 𝑀)
101100ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧)) ∧ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑀)
102 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧)) ∧ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦))
10347, 21elpcliN 38850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) ∧ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑝 ∈ 𝑀)
10495, 101, 96, 102, 103syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧)) ∧ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑝 ∈ 𝑀)
10528snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ {𝑧} βŠ† 𝑀)
106105biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑧} βŠ† 𝑀 β†’ 𝑧 ∈ 𝑀)
107106adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 βŠ† 𝑀 ∧ {𝑧} βŠ† 𝑀) β†’ 𝑧 ∈ 𝑀)
10898, 107sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀 β†’ 𝑧 ∈ 𝑀)
109108ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧)) ∧ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑀)
110 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧)) ∧ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀)) β†’ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧))
11189, 90, 46, 47psubspi2N 38705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝑀 ∧ 𝑧 ∈ 𝑀 ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧))) β†’ π‘ž ∈ 𝑀)
11295, 96, 97, 104, 109, 110, 111syl33anc 1385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∧ π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧)) ∧ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀)) β†’ π‘ž ∈ 𝑀)
113112exp520 1357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦) β†’ (π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧) β†’ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀 β†’ π‘ž ∈ 𝑀)))))
114113rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦)π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧) β†’ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀 β†’ π‘ž ∈ 𝑀))))
1151143expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦)π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧) β†’ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀 β†’ π‘ž ∈ 𝑀)))))
116115impd 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ ∈ (π‘ˆβ€˜π‘¦)π‘ž(leβ€˜πΎ)(𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑧)) β†’ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀 β†’ π‘ž ∈ 𝑀))))
11792, 116sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ž ∈ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) β†’ (𝑀 ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀 β†’ π‘ž ∈ 𝑀))))
118117ralrimdv 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ž ∈ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀 β†’ π‘ž ∈ 𝑀)))
119 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
120119, 75jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
121120, 32sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
122 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘ž ∈ V
12346, 47, 21, 122elpclN 38849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀 β†’ π‘ž ∈ 𝑀)))
12457, 121, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↔ βˆ€π‘€ ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝑀 β†’ π‘ž ∈ 𝑀)))
125118, 124sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ž ∈ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) β†’ π‘ž ∈ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))))
126125ssrdv 3988 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})))
12782, 126eqssd 3999 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) = ((π‘ˆβ€˜π‘¦)(+π‘ƒβ€˜πΎ){𝑧}))
128127, 77eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∈ 𝑆)
129128exp43 437 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
13056, 129pm2.61dane 3029 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆 β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
131130a2d 29 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
132131imp4b 422 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆)) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∈ 𝑆))
13334, 132biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∈ 𝑆))
134133ex 413 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
1355, 10, 15, 20, 26, 134findcard2 9166 . . 3 (𝑋 ∈ Fin β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆))
1361353impib 1116 . 2 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
1371363coml 1127 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  lecple 17206  joincjn 18266  Latclat 18386  Atomscatm 38219  AtLatcal 38220  HLchlt 38306  PSubSpcpsubsp 38453  +𝑃cpadd 38752  PClcpclN 38844  PSubClcpscN 38891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8942  df-fin 8945  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-pclN 38845  df-polarityN 38860  df-psubclN 38892
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator