Theorem pclfinclN 40122

Description: The projective subspace closure of a finite set of atoms is a closed subspace. Compare the (non-closed) subspace version pclfinN 40072 and also pclcmpatN 40073. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclfincl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfincl.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
pclfincl.s	⊢ 𝑆 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclfinclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem pclfinclN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
2	1	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
3		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘∅))
4	3	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘∅) ∈ 𝑆))
5	2, 4	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)))
6		sseq1 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
7	6	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
8		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘𝑦))
9	8	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆))
10	7, 9	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)))
11		sseq1 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
12	11	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
13		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
14	13	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
15	12, 14	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
16		sseq1 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑋 ⊆ 𝐴))
17	16	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴)))
18		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘𝑋))
19	18	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆))
20	17, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)))
21		pclfincl.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
22	21	pcl0N 40094	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
23		pclfincl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (PSubCl‘𝐾)
24	23	0psubclN 40115	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝑆)
25	22, 24	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)
27		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
28		vex 3441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
29	28	snss 4738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
30	29	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴))
31		unss 4139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
32	30, 31	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
33	32	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
34	27, 33	bitr2i 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
35		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 = ∅)
36	35	uneq1d 4116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (∅ ∪ {𝑧}))
37		uncom 4107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ ∅)
38		un0 4343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑧} ∪ ∅) = {𝑧}
39	37, 38	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∪ {𝑧}) = {𝑧}
40	36, 39	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = {𝑧})
41	40	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = (𝑈‘{𝑧}))
42		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
43		hlatl 39532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
45		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
46		pclfincl.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
47		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
48	46, 47	snatpsubN 39922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾))
49	44, 45, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾))
50	47, 21	pclidN 40068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑧}) = {𝑧})
51	42, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘{𝑧}) = {𝑧})
52	41, 51	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = {𝑧})
53	46, 23	atpsubclN 40117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → {𝑧} ∈ 𝑆)
54	42, 45, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → {𝑧} ∈ 𝑆)
55	52, 54	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)
56	55	exp43 436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
57		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
58	46, 21	pclssidN 40067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ (𝑈‘𝑦))
59	58	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ (𝑈‘𝑦))
60		unss1 4134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ⊆ (𝑈‘𝑦) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}))
62		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)
63	46, 23	psubclssatN 40113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
64	57, 62, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
65		snssi 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
66	65	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
67		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+𝑃‘𝐾) = (+𝑃‘𝐾)
68	46, 67	paddunssN 39980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
69	57, 64, 66, 68	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
70	61, 69	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
71	46, 67	paddssat 39986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴)
72	57, 64, 66, 71	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴)
73	46, 21	pclssN 40066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∧ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})))
74	57, 70, 72, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})))
75		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
76	46, 67, 23	paddatclN 40121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆)
77	57, 62, 75, 76	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆)
78	47, 23	psubclsubN 40112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾))
79	57, 77, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾))
80	47, 21	pclidN 40068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})) = ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
81	57, 79, 80	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})) = ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
82	74, 81	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
83	57	hllatd 39536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
84		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ≠ ∅)
85	46, 21	pcl0bN 40095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
86	85	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦) = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
87	86	necon3bid 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑦 ≠ ∅))
88	84, 87	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘𝑦) ≠ ∅)
89		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
90		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
91	89, 90, 46, 67	elpaddat 39976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈‘𝑦) ≠ ∅) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))))
92	83, 64, 75, 88, 91	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))))
93		simp1rl 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
94	93	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝐾 ∈ HL)
96		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾))
97		simpl13 1251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
98		unss 4139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)
99		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝑤)
100	98, 99	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑦 ⊆ 𝑤)
101	100	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑦 ⊆ 𝑤)
102		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦))
103	47, 21	elpcliN 40065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝑤)
104	95, 101, 96, 102, 103	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑝 ∈ 𝑤)
105	28	snss 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ {𝑧} ⊆ 𝑤)
106	105	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝑤 → 𝑧 ∈ 𝑤)
107	106	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) → 𝑧 ∈ 𝑤)
108	98, 107	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑧 ∈ 𝑤)
109	108	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
110		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))
111	89, 90, 46, 47	psubspi2N 39920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))) → 𝑞 ∈ 𝑤)
112	95, 96, 97, 104, 109, 110, 111	syl33anc 1387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞 ∈ 𝑤)
113	112	exp520 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) → (𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))))
114	113	rexlimdv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤))))
115	114	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ 𝐴 → (∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))))
116	115	impd 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤))))
117	92, 116	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤))))
118	117	ralrimdv 3131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) → ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))
119		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
120	119, 75	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
121	120, 32	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
122		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑞 ∈ V
123	46, 47, 21, 122	elpclN 40064	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))
124	57, 121, 123	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))
125	118, 124	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
126	125	ssrdv 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
127	82, 126	eqssd 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
128	127, 77	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)
129	128	exp43 436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
130	56, 129	pm2.61dane 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
131	130	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
132	131	imp4b 421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)) → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
133	34, 132	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
134	133	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
135	5, 10, 15, 20, 26, 134	findcard2 9085	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆))
136	135	3impib 1116	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)
137	136	3coml 1127	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8879  lecple 17175  joincjn 18225  Latclat 18345  Atomscatm 39435  AtLatcal 39436  HLchlt 39522  PSubSpcpsubsp 39668  +_𝑃cpadd 39967  PClcpclN 40059  PSubClcpscN 40106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-en 8880  df-fin 8883  df-proset 18208  df-poset 18227  df-plt 18242  df-lub 18258  df-glb 18259  df-join 18260  df-meet 18261  df-p0 18337  df-p1 18338  df-lat 18346  df-clat 18413  df-oposet 39348  df-ol 39350  df-oml 39351  df-covers 39438  df-ats 39439  df-atl 39470  df-cvlat 39494  df-hlat 39523  df-psubsp 39675  df-pmap 39676  df-padd 39968  df-pclN 40060  df-polarityN 40075  df-psubclN 40107

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