Theorem pclfinclN 40724

Description: The projective subspace closure of a finite set of atoms is a closed subspace. Compare the (non-closed) subspace version pclfinN 40674 and also pclcmpatN 40675. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclfincl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfincl.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
pclfincl.s	⊢ 𝑆 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclfinclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem pclfinclN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
2	1	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
3		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘∅))
4	3	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘∅) ∈ 𝑆))
5	2, 4	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)))
6		sseq1 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
7	6	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
8		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘𝑦))
9	8	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆))
10	7, 9	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)))
11		sseq1 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
12	11	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
13		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
14	13	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
15	12, 14	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
16		sseq1 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑋 ⊆ 𝐴))
17	16	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴)))
18		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘𝑋))
19	18	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆))
20	17, 19	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)))
21		pclfincl.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
22	21	pcl0N 40696	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
23		pclfincl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (PSubCl‘𝐾)
24	23	0psubclN 40717	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝑆)
25	22, 24	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)
26	25	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)
27		anass 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
28		vex 3459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
29	28	snss 4750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
30	29	anbi2i 634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴))
31		unss 4143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
32	30, 31	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
33	32	anbi2i 634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
34	27, 33	bitr2i 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
35		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 = ∅)
36	35	uneq1d 4121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (∅ ∪ {𝑧}))
37		uncom 4112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ ∅)
38		un0 4351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑧} ∪ ∅) = {𝑧}
39	37, 38	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∪ {𝑧}) = {𝑧}
40	36, 39	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = {𝑧})
41	40	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = (𝑈‘{𝑧}))
42		simplrl 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
43		hlatl 40134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
45		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
46		pclfincl.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
47		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
48	46, 47	snatpsubN 40524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾))
49	44, 45, 48	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾))
50	47, 21	pclidN 40670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑧}) = {𝑧})
51	42, 49, 50	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘{𝑧}) = {𝑧})
52	41, 51	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = {𝑧})
53	46, 23	atpsubclN 40719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → {𝑧} ∈ 𝑆)
54	42, 45, 53	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → {𝑧} ∈ 𝑆)
55	52, 54	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)
56	55	exp43 441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
57		simplrl 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
58	46, 21	pclssidN 40669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ (𝑈‘𝑦))
59	58	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ (𝑈‘𝑦))
60		unss1 4138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ⊆ (𝑈‘𝑦) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}))
61	59, 60	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}))
62		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)
63	46, 23	psubclssatN 40715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
64	57, 62, 63	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
65		snssi 4751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
66	65	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
67		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+𝑃‘𝐾) = (+𝑃‘𝐾)
68	46, 67	paddunssN 40582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
69	57, 64, 66, 68	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
70	61, 69	sstrd 3947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
71	46, 67	paddssat 40588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴)
72	57, 64, 66, 71	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴)
73	46, 21	pclssN 40668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∧ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})))
74	57, 70, 72, 73	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})))
75		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
76	46, 67, 23	paddatclN 40723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆)
77	57, 62, 75, 76	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆)
78	47, 23	psubclsubN 40714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾))
79	57, 77, 78	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾))
80	47, 21	pclidN 40670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})) = ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
81	57, 79, 80	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})) = ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
82	74, 81	sseqtrd 3973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
83	57	hllatd 40138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
84		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ≠ ∅)
85	46, 21	pcl0bN 40697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
86	85	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦) = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
87	86	necon3bid 3002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑦 ≠ ∅))
88	84, 87	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘𝑦) ≠ ∅)
89		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
90		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
91	89, 90, 46, 67	elpaddat 40578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈‘𝑦) ≠ ∅) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))))
92	83, 64, 75, 88, 91	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))))
93		simp1rl 1257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
94	93	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
95	94	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝐾 ∈ HL)
96		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾))
97		simpl13 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
98		unss 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)
99		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝑤)
100	98, 99	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑦 ⊆ 𝑤)
101	100	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑦 ⊆ 𝑤)
102		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦))
103	47, 21	elpcliN 40667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝑤)
104	95, 101, 96, 102, 103	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑝 ∈ 𝑤)
105	28	snss 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ {𝑧} ⊆ 𝑤)
106	105	bilanri 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) → 𝑧 ∈ 𝑤)
107	98, 106	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑧 ∈ 𝑤)
108	107	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
109		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))
110	89, 90, 46, 47	psubspi2N 40522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))) → 𝑞 ∈ 𝑤)
111	95, 96, 97, 104, 108, 109, 110	syl33anc 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞 ∈ 𝑤)
112	111	exp520 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) → (𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))))
113	112	rexlimdv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤))))
114	113	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ 𝐴 → (∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))))
115	114	impd 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤))))
116	92, 115	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤))))
117	116	ralrimdv 3163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) → ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))
118		simplrr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
119	118, 75	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
120	119, 32	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
121		vex 3459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑞 ∈ V
122	46, 47, 21, 121	elpclN 40666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))
123	57, 120, 122	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))
124	117, 123	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
125	124	ssrdv 3943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
126	82, 125	eqssd 3954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
127	126, 77	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)
128	127	exp43 441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
129	56, 128	pm2.61dane 3045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
130	129	a2d 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
131	130	imp4b 426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)) → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
132	34, 131	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
133	132	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
134	5, 10, 15, 20, 26, 133	findcard2 9145	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆))
135	134	3impib 1134	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)
136	135	3coml 1145	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  lecple 17312  joincjn 18362  Latclat 18482  Atomscatm 40037  AtLatcal 40038  HLchlt 40124  PSubSpcpsubsp 40270  +_𝑃cpadd 40569  PClcpclN 40661  PSubClcpscN 40708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-en 8940  df-fin 8943  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-psubsp 40277  df-pmap 40278  df-padd 40570  df-pclN 40662  df-polarityN 40677  df-psubclN 40709

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