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Theorem pclfinclN 39952
Description: The projective subspace closure of a finite set of atoms is a closed subspace. Compare the (non-closed) subspace version pclfinN 39902 and also pclcmpatN 39903. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfincl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfincl.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
pclfincl.s 𝑆 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclfinclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem pclfinclN
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 4009 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
21anbi2d 630 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
3 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = (𝑈‘∅))
43eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((𝑈𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘∅) ∈ 𝑆))
52, 4imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) → (𝑈𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)))
6 sseq1 4009 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
76anbi2d 630 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)))
8 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑦))
98eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑈𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈𝑦) ∈ 𝑆))
107, 9imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) → (𝑈𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆)))
11 sseq1 4009 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
1211anbi2d 630 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
13 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑈𝑥) = (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1413eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑈𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
1512, 14imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) → (𝑈𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
16 sseq1 4009 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴𝑋𝐴))
1716anbi2d 630 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴)))
18 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑋))
1918eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑈𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈𝑋) ∈ 𝑆))
2017, 19imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) → (𝑈𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑆)))
21 pclfincl.c . . . . . . 7 𝑈 = (PCl‘𝐾)
2221pcl0N 39924 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
23 pclfincl.s . . . . . . 7 𝑆 = (PSubCl‘𝐾)
24230psubclN 39945 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝑆)
2522, 24eqeltrd 2841 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)
2625adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)
27 anass 468 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)))
28 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
2928snss 4785 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
3029anbi2i 623 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑧𝐴) ↔ (𝑦𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴))
31 unss 4190 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3230, 31bitri 275 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑧𝐴) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3332anbi2i 623 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
3427, 33bitr2i 276 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴))
35 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑦 = ∅)
3635uneq1d 4167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (∅ ∪ {𝑧}))
37 uncom 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ ∅)
38 un0 4394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑧} ∪ ∅) = {𝑧}
3937, 38eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∪ {𝑧}) = {𝑧}
4036, 39eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = {𝑧})
4140fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = (𝑈‘{𝑧}))
42 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
43 hlatl 39361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
45 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑧𝐴)
46 pclfincl.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
47 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
4846, 47snatpsubN 39752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧𝐴) → {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾))
4944, 45, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾))
5047, 21pclidN 39898 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑧}) = {𝑧})
5142, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘{𝑧}) = {𝑧})
5241, 51eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = {𝑧})
5346, 23atpsubclN 39947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐴) → {𝑧} ∈ 𝑆)
5442, 45, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → {𝑧} ∈ 𝑆)
5552, 54eqeltrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)
5655exp43 436 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
57 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
5846, 21pclssidN 39897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ⊆ (𝑈𝑦))
5958ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑦 ⊆ (𝑈𝑦))
60 unss1 4185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ⊆ (𝑈𝑦) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦) ∪ {𝑧}))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦) ∪ {𝑧}))
62 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆)
6346, 23psubclssatN 39943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
6457, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
65 snssi 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
6665ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
67 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+𝑃𝐾) = (+𝑃𝐾)
6846, 67paddunssN 39810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → ((𝑈𝑦) ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
6957, 64, 66, 68syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦) ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
7061, 69sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
7146, 67paddssat 39816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴)
7257, 64, 66, 71syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴)
7346, 21pclssN 39896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∧ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ (𝑈‘((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧})))
7457, 70, 72, 73syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ (𝑈‘((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧})))
75 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑧𝐴)
7646, 67, 23paddatclN 39951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆)
7757, 62, 75, 76syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆)
7847, 23psubclsubN 39942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾))
7957, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾))
8047, 21pclidN 39898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧})) = ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
8157, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧})) = ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
8274, 81sseqtrd 4020 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
8357hllatd 39365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
84 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑦 ≠ ∅)
8546, 21pcl0bN 39925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑈𝑦) = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
8685ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦) = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
8786necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑦 ≠ ∅))
8884, 87mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈𝑦) ≠ ∅)
89 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
90 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
9189, 90, 46, 67elpaddat 39806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴𝑧𝐴) ∧ (𝑈𝑦) ≠ ∅) → (𝑞 ∈ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ↔ (𝑞𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))))
9283, 64, 75, 88, 91syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ↔ (𝑞𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))))
93 simp1rl 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
94933ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝐾 ∈ HL)
96 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾))
97 simpl13 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞𝐴)
98 unss 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)
99 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) → 𝑦𝑤)
10098, 99sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑦𝑤)
101100ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑦𝑤)
102 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑝 ∈ (𝑈𝑦))
10347, 21elpcliN 39895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝑤𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦)) → 𝑝𝑤)
10495, 101, 96, 102, 103syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑝𝑤)
10528snss 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧𝑤 ↔ {𝑧} ⊆ 𝑤)
106105biimpri 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑧} ⊆ 𝑤𝑧𝑤)
107106adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) → 𝑧𝑤)
10898, 107sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑧𝑤)
109108ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑧𝑤)
110 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))
11189, 90, 46, 47psubspi2N 39750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑤𝑧𝑤𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))) → 𝑞𝑤)
11295, 96, 97, 104, 109, 110, 111syl33anc 1387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞𝑤)
113112exp520 1358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑦) → (𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤)))))
114113rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (∃𝑝 ∈ (𝑈𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤))))
1151143expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞𝐴 → (∃𝑝 ∈ (𝑈𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤)))))
116115impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑞𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤))))
11792, 116sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤))))
118117ralrimdv 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) → ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤)))
119 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑦𝐴)
120119, 75jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
121120, 32sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
122 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑞 ∈ V
12346, 47, 21, 122elpclN 39894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤)))
12457, 121, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤)))
125118, 124sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
126125ssrdv 3989 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ⊆ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
12782, 126eqssd 4001 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
128127, 77eqeltrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)
129128exp43 436 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
13056, 129pm2.61dane 3029 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
131130a2d 29 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
132131imp4b 421 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆)) → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
13334, 132biimtrid 242 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
134133ex 412 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
1355, 10, 15, 20, 26, 134findcard2 9204 . . 3 (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑆))
1361353impib 1117 . 2 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑆)
1371363coml 1128 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cun 3949  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  lecple 17304  joincjn 18357  Latclat 18476  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  HLchlt 39351  PSubSpcpsubsp 39498  +𝑃cpadd 39797  PClcpclN 39889  PSubClcpscN 39936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-en 8986  df-fin 8989  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-pclN 39890  df-polarityN 39905  df-psubclN 39937
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