Theorem psubclinN 37656

Description: The intersection of two closed subspaces is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
psubclin.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psubclinN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem psubclinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝐾 ∈ HL)
2		hlclat 37066	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
3	2	3ad2ant1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝐾 ∈ CLat)
4		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		psubclin.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
6	4, 5	psubclssatN 37649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7	6	3adant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	8, 4	atssbase 36998	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
10	7, 9	sstrdi 3903	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
11		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
12	8, 11	clatlubcl 17981	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13	3, 10, 12	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
14	4, 5	psubclssatN 37649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
15	14	3adant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
16	15, 9	sstrdi 3903	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾))
17	8, 11	clatlubcl 17981	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
18	3, 16, 17	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
19		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
20		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
21	8, 19, 4, 20	pmapmeet 37481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
22	1, 13, 18, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
23	11, 20, 5	pmapidclN 37650	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
24	23	3adant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
25	11, 20, 5	pmapidclN 37650	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)) = 𝑌)
26	25	3adant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)) = 𝑌)
27	24, 26	ineq12d 4118	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
28	22, 27	eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
29		hllat 37071	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
30	29	3ad2ant1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝐾 ∈ Lat)
31	8, 19	latmcl 17918	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
32	30, 13, 18, 31	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
33	8, 20, 5	pmapsubclN 37654	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ 𝐶)
34	1, 32, 33	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ 𝐶)
35	28, 34	eqeltrrd 2835	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3856   ⊆ wss 3857  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  Basecbs 16684  lubclub 17788  meetcmee 17791  Latclat 17909  CLatccla 17976  Atomscatm 36971  HLchlt 37058  pmapcpmap 37205  PSubClcpscN 37642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-riotaBAD 36661

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-undef 8004  df-proset 17774  df-poset 17792  df-plt 17808  df-lub 17824  df-glb 17825  df-join 17826  df-meet 17827  df-p0 17903  df-p1 17904  df-lat 17910  df-clat 17977  df-oposet 36884  df-ol 36886  df-oml 36887  df-covers 36974  df-ats 36975  df-atl 37006  df-cvlat 37030  df-hlat 37059  df-pmap 37212  df-polarityN 37611  df-psubclN 37643

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  37672