Theorem psubclinN 40405

Description: The intersection of two closed subspaces is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
psubclin.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psubclinN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem psubclinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝐾 ∈ HL)
2		hlclat 39815	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
3	2	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝐾 ∈ CLat)
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		psubclin.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
6	4, 5	psubclssatN 40398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7	6	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	8, 4	atssbase 39747	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
10	7, 9	sstrdi 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
12	8, 11	clatlubcl 18458	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13	3, 10, 12	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
14	4, 5	psubclssatN 40398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
15	14	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
16	15, 9	sstrdi 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾))
17	8, 11	clatlubcl 18458	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
18	3, 16, 17	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
21	8, 19, 4, 20	pmapmeet 40230	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
22	1, 13, 18, 21	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
23	11, 20, 5	pmapidclN 40399	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
24	23	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
25	11, 20, 5	pmapidclN 40399	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)) = 𝑌)
26	25	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)) = 𝑌)
27	24, 26	ineq12d 4162	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
28	22, 27	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
29		hllat 39820	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
30	29	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝐾 ∈ Lat)
31	8, 19	latmcl 18395	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
32	30, 13, 18, 31	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
33	8, 20, 5	pmapsubclN 40403	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ 𝐶)
34	1, 32, 33	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ 𝐶)
35	28, 34	eqeltrrd 2838	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  lubclub 18264  meetcmee 18267  Latclat 18386  CLatccla 18453  Atomscatm 39720  HLchlt 39807  pmapcpmap 39954  PSubClcpscN 40391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 39633  df-ol 39635  df-oml 39636  df-covers 39723  df-ats 39724  df-atl 39755  df-cvlat 39779  df-hlat 39808  df-pmap 39961  df-polarityN 40360  df-psubclN 40392

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  40421