Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psubclinN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psubclinN 35752
Description: The intersection of two closed subspaces is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psubclin.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
psubclinN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem psubclinN
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlclat 35163 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
323ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝐾 ∈ CLat)
4 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5 psubclin.c . . . . . . . 8 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
64, 5psubclssatN 35745 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
763adant3 1126 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
98, 4atssbase 35095 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
107, 9syl6ss 3764 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
11 eqid 2771 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
128, 11clatlubcl 17319 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
133, 10, 12syl2anc 565 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
144, 5psubclssatN 35745 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
15143adant2 1125 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
1615, 9syl6ss 3764 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾))
178, 11clatlubcl 17319 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
183, 16, 17syl2anc 565 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
19 eqid 2771 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
20 eqid 2771 . . . . 5 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
218, 19, 4, 20pmapmeet 35577 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
221, 13, 18, 21syl3anc 1476 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
2311, 20, 5pmapidclN 35746 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
24233adant3 1126 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
2511, 20, 5pmapidclN 35746 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)) = 𝑌)
26253adant2 1125 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)) = 𝑌)
2724, 26ineq12d 3966 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋𝑌))
2822, 27eqtrd 2805 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋𝑌))
29 hllat 35168 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
30293ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝐾 ∈ Lat)
318, 19latmcl 17259 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
3230, 13, 18, 31syl3anc 1476 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
338, 20, 5pmapsubclN 35750 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ 𝐶)
341, 32, 33syl2anc 565 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ 𝐶)
3528, 34eqeltrrd 2851 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐶𝑌𝐶) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  lubclub 17149  meetcmee 17152  Latclat 17252  CLatccla 17314  Atomscatm 35068  HLchlt 35155  pmapcpmap 35301  PSubClcpscN 35738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-riotaBAD 34757
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-undef 7550  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34981  df-ol 34983  df-oml 34984  df-covers 35071  df-ats 35072  df-atl 35103  df-cvlat 35127  df-hlat 35156  df-pmap 35308  df-polarityN 35707  df-psubclN 35739
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  35768
  Copyright terms: Public domain W3C validator