Theorem psubclinN 38224

Description: The intersection of two closed subspaces is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
psubclin.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psubclinN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem psubclinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝐾 ∈ HL)
2		hlclat 37633	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
3	2	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝐾 ∈ CLat)
4		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		psubclin.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
6	4, 5	psubclssatN 38217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7	6	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	8, 4	atssbase 37565	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
10	7, 9	sstrdi 3944	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
12	8, 11	clatlubcl 18318	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13	3, 10, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
14	4, 5	psubclssatN 38217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
15	14	3adant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
16	15, 9	sstrdi 3944	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾))
17	8, 11	clatlubcl 18318	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
18	3, 16, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
20		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
21	8, 19, 4, 20	pmapmeet 38049	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
22	1, 13, 18, 21	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))))
23	11, 20, 5	pmapidclN 38218	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
24	23	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
25	11, 20, 5	pmapidclN 38218	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)) = 𝑌)
26	25	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌)) = 𝑌)
27	24, 26	ineq12d 4160	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
28	22, 27	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
29		hllat 37638	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
30	29	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝐾 ∈ Lat)
31	8, 19	latmcl 18255	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
32	30, 13, 18, 31	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
33	8, 20, 5	pmapsubclN 38222	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ 𝐶)
34	1, 32, 33	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑌))) ∈ 𝐶)
35	28, 34	eqeltrrd 2838	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  lubclub 18124  meetcmee 18127  Latclat 18246  CLatccla 18313  Atomscatm 37538  HLchlt 37625  pmapcpmap 37773  PSubClcpscN 38210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37451  df-ol 37453  df-oml 37454  df-covers 37541  df-ats 37542  df-atl 37573  df-cvlat 37597  df-hlat 37626  df-pmap 37780  df-polarityN 38179  df-psubclN 38211

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  38240