Theorem qmapex 38621

Description: Quotient map exists if 𝑅 exists. Type-safety: ensures QMap is an a set under the standard "relation sethood" hypothesis. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
qmapex	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → QMap 𝑅 ∈ V)

Proof of Theorem qmapex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qmap 38616	. 2 ⊢ QMap 𝑅 = (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↦ [𝑥]𝑅)
2		dmexg 7843	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom 𝑅 ∈ V)
3	2	mptexd 7170	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↦ [𝑥]𝑅) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2839	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → QMap 𝑅 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5623  [cec 8633   QMap cqmap 38345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-qmap 38616

This theorem is referenced by:  qmapeldisjs  38995  eldisjs7  39111