Theorem mptexd 7226

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Deduction version of mptexg 7223. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mptexd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		mptexg 7223	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  mptsuppdifd  8171  mpocurryvald  8255  fsetfocdm  8855  fsuppmptif  9394  sniffsupp  9395  cantnfrescl  9671  cantnflem1  9684  infxpenc2lem2  10015  ac5num  10031  ac6num  10474  negfi  12163  seqof2  14026  ramcl  16962  prdsplusgval  17419  prdsmulrval  17421  prdsvscaval  17425  galactghm  19272  gsum2dlem2  19839  gsum2d  19840  dprdfinv  19889  dprdfadd  19890  dmdprdsplitlem  19907  dpjfval  19925  dpjidcl  19928  mptscmfsupp0  20537  frlmgsum  21327  frlmphllem  21335  psrass1lemOLD  21493  psrass1lem  21496  psrridm  21524  psrcom  21529  mvrfval  21540  mplcoe5  21595  mplbas2  21597  evlslem6  21644  selvffval  21679  evls1sca  21842  matgsum  21939  mvmulval  22045  mavmul0g  22055  marepvval0  22068  ptcnplem  23125  xkocnv  23318  ptcmplem3  23558  prdsdsf  23873  ressprdsds  23877  prdsxmslem2  24038  rrx0  24914  tdeglem4  25577  tdeglem4OLD  25578  pserulm  25934  efsubm  26060  addsuniflem  27484  suppovss  31906  mptiffisupp  31915  fsuppcurry1  31950  fsuppcurry2  31951  gsummptres2  32205  tocycval  32267  rmfsupp2  32387  elrsp  32486  qusrn  32520  elrspunidl  32546  elrspunsn  32547  evls1fpws  32646  drgextgsum  32682  ply1degltdimlem  32707  fedgmullem2  32715  minplyval  32766  ofcfval  33096  lpadval  33688  bj-imdirvallem  36061  sticksstones4  40965  sticksstones11  40972  sticksstones12a  40973  sticksstones12  40974  sticksstones17  40979  sticksstones18  40980  sticksstones19  40981  sticksstones20  40982  evlsvvvallem  41133  evlsvvval  41135  selvvvval  41157  evlselv  41159  mhphf  41169  rfovfvd  42753  fsovfvd  42761  dssmapf1od  42772  choicefi  43899  axccdom  43921  climeldmeqmpt  44384  climfveqmpt  44387  climfveqmpt3  44398  climeldmeqmpt3  44405  climfveqmpt2  44409  climeldmeqmpt2  44411  climeqmpt  44413  limsupresicompt  44472  liminfresicompt  44496  liminfvalxr  44499  liminflbuz2  44531  iccvonmbllem  45394  vonioolem1  45396  vonioolem2  45397  vonicclem1  45399  vonicclem2  45400  smflimmpt  45526  smflimsuplem6  45541  cfsetsnfsetfv  45767  cfsetsnfsetf  45768  fundcmpsurbijinjpreimafv  46075  prproropen  46176  uspgrbispr  46529  1arymaptfv  47326  1arymaptfo  47329