MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptexd 6979
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Deduction version of mptexg 6976. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mptexd.1 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
mptexd (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexd
StepHypRef Expression
1 mptexd.1 . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 mptexg 6976 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  Vcvv 3493  cmpt 5137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356
This theorem is referenced by:  mptsuppdifd  7844  mpocurryvald  7928  fsuppmptif  8855  sniffsupp  8865  cantnfrescl  9131  cantnflem1  9144  infxpenc2lem2  9438  ac5num  9454  ac6num  9893  negfi  11581  seqof2  13420  ramcl  16357  prdsplusgval  16738  prdsmulrval  16740  prdsvscaval  16744  galactghm  18524  gsum2dlem2  19083  gsum2d  19084  dprdfinv  19133  dprdfadd  19134  dmdprdsplitlem  19151  dpjfval  19169  dpjidcl  19172  mptscmfsupp0  19691  psrass1lem  20149  psrridm  20176  psrcom  20181  mvrfval  20192  mplcoe5  20241  mplbas2  20243  evlslem6  20286  selvffval  20321  evls1sca  20478  frlmgsum  20908  frlmphllem  20916  matgsum  21038  mvmulval  21144  mavmul0g  21154  marepvval0  21167  ptcnplem  22221  xkocnv  22414  ptcmplem3  22654  prdsdsf  22969  ressprdsds  22973  prdsxmslem2  23131  rrx0  23992  tdeglem4  24646  pserulm  25002  efsubm  25127  suppovss  30418  fsuppcurry1  30453  fsuppcurry2  30454  tocycval  30743  rmfsupp2  30859  drgextgsum  30985  fedgmullem2  31014  ofcfval  31345  lpadval  31935  bj-imdirval  34459  rfovfvd  40333  fsovfvd  40341  dssmapf1od  40352  choicefi  41447  axccdom  41471  climeldmeqmpt  41933  climfveqmpt  41936  climfveqmpt3  41947  climeldmeqmpt3  41954  climfveqmpt2  41958  climeldmeqmpt2  41960  climeqmpt  41962  limsupresicompt  42021  liminfresicompt  42045  liminfvalxr  42048  liminflbuz2  42080  iccvonmbllem  42945  vonioolem1  42947  vonioolem2  42948  vonicclem1  42950  vonicclem2  42951  smflimmpt  43069  smflimsuplem6  43084  fundcmpsurbijinjpreimafv  43552  prproropen  43655  uspgrbispr  44011
  Copyright terms: Public domain W3C validator