Theorem mptexd 7229

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Deduction version of mptexg 7226. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mptexd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		mptexg 7226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ↦ cmpt 5197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551

This theorem is used by:  mptsuppdifd  8191  mpocurryvald  8275  fsetfocdm  8867  fsuppssov1  9354  fsuppmptif  9369  sniffsupp  9370  cantnfrescl  9655  cantnflem1  9668  infxpenc2lem2  10023  ac5num  10039  ac6num  10481  negfi  12182  seqof2  14116  ramcl  17114  prdsplusgval  17551  prdsmulrval  17553  prdsvscaval  17557  galactghm  19505  gsum2dlem2  20072  gsum2d  20073  dprdfinv  20122  dprdfadd  20123  dmdprdsplitlem  20140  dpjfval  20158  dpjidcl  20161  mptscmfsupp0  21085  frlmgsum  21959  frlmphllem  21967  psrass1lem  22120  psrridm  22149  psrcom  22154  mvrfval  22167  mplcoe5  22228  mplbas2  22230  evlslem6  22269  evlsvvvallem  22279  evlsvvval  22281  selvffval  22306  selvvvval  22330  psdffval  22357  psdfval  22358  psdmplcl  22362  psdmul  22366  evls1sca  22520  evls1fpws  22566  matgsum  22631  mvmulval  22737  mavmul0g  22747  marepvval0  22760  ptcnplem  23815  xkocnv  24008  ptcmplem3  24248  prdsdsf  24561  ressprdsds  24565  prdsxmslem2  24723  rrx0  25593  tdeglem4  26254  pserulm  26622  efsubm  26753  addsuniflem  28231  suppovss  33063  fisuppov1  33065  mptiffisupp  33075  fsuppcurry1  33106  fsuppcurry2  33107  gsummptres2  33404  gsumfs2d  33412  tocycval  33459  rmfsupp2  33588  elrgspnlem2  33594  elrsp  33717  qusrn  33749  elrspunidl  33767  elrspunsn  33768  selvply1rhmlema  33939  selvply1rhmlemb  33940  selvply1rhmlem3  33943  selvply1rhmlem4  33944  selvply1rhmlem5  33945  extvval  33952  extvfv  33954  extvfvcl  33957  extvfvalf  33958  mplvrpmfgalem  33965  mplvrpmga  33966  mplvrpmmhm  33967  mplvrpmrhm  33968  psrmonmul2  33972  issply  33982  esplyfvaln  33995  drgextgsum  34016  ply1degltdimlem  34043  fedgmullem2  34051  evls1fldgencl  34091  fldextrspunlsplem  34094  fldextrspunlsp  34095  extdgfialglem1  34113  extdgfialglem2  34114  minplyval  34126  ofcfval  34519  lpadval  35098  bj-imdirvallem  37865  qmapex  39141  hashscontpow  42930  aks6d1c2  42938  sticksstones4  42957  sticksstones11  42964  sticksstones12a  42965  sticksstones12  42966  sticksstones17  42971  sticksstones18  42972  sticksstones19  42973  sticksstones20  42974  aks6d1c6lem2  42979  aks6d1c6lem3  42980  aks6d1c7lem2  42989  aks5lem2  42995  evlselv  43362  mhphf  43370  rfovfvd  44769  fsovfvd  44777  dssmapf1od  44788  choicefi  45958  axccdom  45979  climeldmeqmpt  46423  climfveqmpt  46426  climfveqmpt3  46437  climeldmeqmpt3  46444  climfveqmpt2  46448  climeldmeqmpt2  46450  climeqmpt  46452  limsupresicompt  46511  liminfresicompt  46535  liminfvalxr  46538  liminflbuz2  46570  iccvonmbllem  47433  vonioolem1  47435  vonioolem2  47436  vonicclem1  47438  vonicclem2  47439  smflimmpt  47565  smflimsuplem6  47580  cfsetsnfsetfv  47835  cfsetsnfsetf  47836  fundcmpsurbijinjpreimafv  48197  prproropen  48298  isubgr3stgr  48781  uspgrbispr  48957  1arymaptfv  49461  1arymaptfo  49464  fuco22  50158