Theorem mptexd 7226

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Deduction version of mptexg 7223. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mptexd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		mptexg 7223	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  mptsuppdifd  8171  mpocurryvald  8255  fsetfocdm  8855  fsuppmptif  9394  sniffsupp  9395  cantnfrescl  9671  cantnflem1  9684  infxpenc2lem2  10015  ac5num  10031  ac6num  10474  negfi  12163  seqof2  14026  ramcl  16962  prdsplusgval  17419  prdsmulrval  17421  prdsvscaval  17425  galactghm  19272  gsum2dlem2  19839  gsum2d  19840  dprdfinv  19889  dprdfadd  19890  dmdprdsplitlem  19907  dpjfval  19925  dpjidcl  19928  mptscmfsupp0  20537  frlmgsum  21327  frlmphllem  21335  psrass1lemOLD  21493  psrass1lem  21496  psrridm  21524  psrcom  21529  mvrfval  21540  mplcoe5  21595  mplbas2  21597  evlslem6  21644  selvffval  21679  evls1sca  21842  matgsum  21939  mvmulval  22045  mavmul0g  22055  marepvval0  22068  ptcnplem  23125  xkocnv  23318  ptcmplem3  23558  prdsdsf  23873  ressprdsds  23877  prdsxmslem2  24038  rrx0  24914  tdeglem4  25577  tdeglem4OLD  25578  pserulm  25934  efsubm  26060  addsuniflem  27487  suppovss  31937  mptiffisupp  31946  fsuppcurry1  31981  fsuppcurry2  31982  gsummptres2  32236  tocycval  32298  rmfsupp2  32418  elrsp  32517  qusrn  32551  elrspunidl  32577  elrspunsn  32578  evls1fpws  32677  drgextgsum  32713  ply1degltdimlem  32738  fedgmullem2  32746  minplyval  32797  ofcfval  33127  lpadval  33719  bj-imdirvallem  36109  sticksstones4  41013  sticksstones11  41020  sticksstones12a  41021  sticksstones12  41022  sticksstones17  41027  sticksstones18  41028  sticksstones19  41029  sticksstones20  41030  evlsvvvallem  41181  evlsvvval  41183  selvvvval  41205  evlselv  41207  mhphf  41217  rfovfvd  42801  fsovfvd  42809  dssmapf1od  42820  choicefi  43947  axccdom  43969  climeldmeqmpt  44432  climfveqmpt  44435  climfveqmpt3  44446  climeldmeqmpt3  44453  climfveqmpt2  44457  climeldmeqmpt2  44459  climeqmpt  44461  limsupresicompt  44520  liminfresicompt  44544  liminfvalxr  44547  liminflbuz2  44579  iccvonmbllem  45442  vonioolem1  45444  vonioolem2  45445  vonicclem1  45447  vonicclem2  45448  smflimmpt  45574  smflimsuplem6  45589  cfsetsnfsetfv  45815  cfsetsnfsetf  45816  fundcmpsurbijinjpreimafv  46123  prproropen  46224  uspgrbispr  46577  1arymaptfv  47374  1arymaptfo  47377