Theorem mptexd 7224

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Deduction version of mptexg 7221. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mptexd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		mptexg 7221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is referenced by:  mptsuppdifd  8183  mpocurryvald  8267  fsetfocdm  8859  fsuppssov1  9345  fsuppmptif  9360  sniffsupp  9361  cantnfrescl  9646  cantnflem1  9659  infxpenc2lem2  10005  ac5num  10021  ac6num  10464  negfi  12165  seqof2  14098  ramcl  17090  prdsplusgval  17527  prdsmulrval  17529  prdsvscaval  17533  galactghm  19475  gsum2dlem2  20042  gsum2d  20043  dprdfinv  20092  dprdfadd  20093  dmdprdsplitlem  20110  dpjfval  20128  dpjidcl  20131  mptscmfsupp0  21029  frlmgsum  21903  frlmphllem  21911  psrass1lem  22064  psrridm  22093  psrcom  22098  mvrfval  22111  mplcoe5  22172  mplbas2  22174  evlslem6  22213  evlsvvvallem  22223  evlsvvval  22225  selvffval  22250  selvvvval  22274  psdffval  22301  psdfval  22302  psdmplcl  22306  psdmul  22310  evls1sca  22464  evls1fpws  22510  matgsum  22575  mvmulval  22681  mavmul0g  22691  marepvval0  22704  ptcnplem  23759  xkocnv  23952  ptcmplem3  24192  prdsdsf  24505  ressprdsds  24509  prdsxmslem2  24667  rrx0  25537  tdeglem4  26198  pserulm  26566  efsubm  26697  addsuniflem  28175  suppovss  33007  fisuppov1  33009  mptiffisupp  33019  fsuppcurry1  33050  fsuppcurry2  33051  gsummptres2  33354  gsumfs2d  33362  tocycval  33409  rmfsupp2  33538  elrgspnlem2  33544  elrsp  33667  qusrn  33699  elrspunidl  33717  elrspunsn  33718  selvply1rhmlema  33889  selvply1rhmlemb  33890  selvply1rhmlem3  33893  selvply1rhmlem4  33894  selvply1rhmlem5  33895  extvval  33902  extvfv  33904  extvfvcl  33907  extvfvalf  33908  mplvrpmfgalem  33915  mplvrpmga  33916  mplvrpmmhm  33917  mplvrpmrhm  33918  psrmonmul2  33922  issply  33932  esplyfvaln  33945  drgextgsum  33966  ply1degltdimlem  33993  fedgmullem2  34001  evls1fldgencl  34041  fldextrspunlsplem  34044  fldextrspunlsp  34045  extdgfialglem1  34063  extdgfialglem2  34064  minplyval  34076  ofcfval  34469  lpadval  35047  bj-imdirvallem  37805  qmapex  39081  hashscontpow  42870  aks6d1c2  42878  sticksstones4  42897  sticksstones11  42904  sticksstones12a  42905  sticksstones12  42906  sticksstones17  42911  sticksstones18  42912  sticksstones19  42913  sticksstones20  42914  aks6d1c6lem2  42919  aks6d1c6lem3  42920  aks6d1c7lem2  42929  aks5lem2  42935  evlselv  43304  mhphf  43312  rfovfvd  44711  fsovfvd  44719  dssmapf1od  44730  choicefi  45900  axccdom  45921  climeldmeqmpt  46365  climfveqmpt  46368  climfveqmpt3  46379  climeldmeqmpt3  46386  climfveqmpt2  46390  climeldmeqmpt2  46392  climeqmpt  46394  limsupresicompt  46453  liminfresicompt  46477  liminfvalxr  46480  liminflbuz2  46512  iccvonmbllem  47375  vonioolem1  47377  vonioolem2  47378  vonicclem1  47380  vonicclem2  47381  smflimmpt  47507  smflimsuplem6  47522  cfsetsnfsetfv  47777  cfsetsnfsetf  47778  fundcmpsurbijinjpreimafv  48139  prproropen  48240  isubgr3stgr  48723  uspgrbispr  48899  1arymaptfv  49403  1arymaptfo  49406  fuco22  50100