Theorem mptexd 7261

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Deduction version of mptexg 7258. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mptexd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		mptexg 7258	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ↦ cmpt 5249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  mptsuppdifd  8227  mpocurryvald  8311  fsetfocdm  8919  fsuppssov1  9453  fsuppmptif  9468  sniffsupp  9469  cantnfrescl  9745  cantnflem1  9758  infxpenc2lem2  10089  ac5num  10105  ac6num  10548  negfi  12244  seqof2  14111  ramcl  17076  prdsplusgval  17533  prdsmulrval  17535  prdsvscaval  17539  galactghm  19446  gsum2dlem2  20013  gsum2d  20014  dprdfinv  20063  dprdfadd  20064  dmdprdsplitlem  20081  dpjfval  20099  dpjidcl  20102  mptscmfsupp0  20947  frlmgsum  21815  frlmphllem  21823  psrass1lem  21975  psrridm  22006  psrcom  22011  mvrfval  22024  mplcoe5  22081  mplbas2  22083  evlslem6  22128  selvffval  22160  psdffval  22184  psdfval  22185  psdval  22186  psdmplcl  22189  psdmul  22193  evls1sca  22348  evls1fpws  22394  matgsum  22464  mvmulval  22570  mavmul0g  22580  marepvval0  22593  ptcnplem  23650  xkocnv  23843  ptcmplem3  24083  prdsdsf  24398  ressprdsds  24402  prdsxmslem2  24563  rrx0  25450  tdeglem4  26119  pserulm  26483  efsubm  26611  addsuniflem  28052  suppovss  32697  mptiffisupp  32705  fsuppcurry1  32739  fsuppcurry2  32740  gsummptres2  33036  tocycval  33101  rmfsupp2  33218  elrsp  33365  qusrn  33402  elrspunidl  33421  elrspunsn  33422  drgextgsum  33609  ply1degltdimlem  33635  fedgmullem2  33643  evls1fldgencl  33680  minplyval  33698  ofcfval  34062  lpadval  34653  bj-imdirvallem  37146  hashscontpow  42079  aks6d1c2  42087  sticksstones4  42106  sticksstones11  42113  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  sticksstones17  42120  sticksstones18  42121  sticksstones19  42122  sticksstones20  42123  aks6d1c6lem2  42128  aks6d1c6lem3  42129  aks6d1c7lem2  42138  aks5lem2  42144  evlsvvvallem  42516  evlsvvval  42518  selvvvval  42540  evlselv  42542  mhphf  42552  rfovfvd  43964  fsovfvd  43972  dssmapf1od  43983  choicefi  45107  axccdom  45129  climeldmeqmpt  45589  climfveqmpt  45592  climfveqmpt3  45603  climeldmeqmpt3  45610  climfveqmpt2  45614  climeldmeqmpt2  45616  climeqmpt  45618  limsupresicompt  45677  liminfresicompt  45701  liminfvalxr  45704  liminflbuz2  45736  iccvonmbllem  46599  vonioolem1  46601  vonioolem2  46602  vonicclem1  46604  vonicclem2  46605  smflimmpt  46731  smflimsuplem6  46746  cfsetsnfsetfv  46972  cfsetsnfsetf  46973  fundcmpsurbijinjpreimafv  47281  prproropen  47382  uspgrbispr  47874  1arymaptfv  48374  1arymaptfo  48377