Theorem mptexd 7164

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Deduction version of mptexg 7161. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
mptexd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		mptexg 7161	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  mptsuppdifd  8122  mpocurryvald  8206  fsetfocdm  8791  fsuppssov1  9275  fsuppmptif  9290  sniffsupp  9291  cantnfrescl  9573  cantnflem1  9586  infxpenc2lem2  9918  ac5num  9934  ac6num  10377  negfi  12078  seqof2  13969  ramcl  16943  prdsplusgval  17379  prdsmulrval  17381  prdsvscaval  17385  galactghm  19318  gsum2dlem2  19885  gsum2d  19886  dprdfinv  19935  dprdfadd  19936  dmdprdsplitlem  19953  dpjfval  19971  dpjidcl  19974  mptscmfsupp0  20862  frlmgsum  21711  frlmphllem  21719  psrass1lem  21871  psrridm  21901  psrcom  21906  mvrfval  21919  mplcoe5  21976  mplbas2  21978  evlslem6  22017  selvffval  22049  psdffval  22073  psdfval  22074  psdmplcl  22078  psdmul  22082  evls1sca  22239  evls1fpws  22285  matgsum  22353  mvmulval  22459  mavmul0g  22469  marepvval0  22482  ptcnplem  23537  xkocnv  23730  ptcmplem3  23970  prdsdsf  24283  ressprdsds  24287  prdsxmslem2  24445  rrx0  25325  tdeglem4  25993  pserulm  26359  efsubm  26488  addsuniflem  27945  suppovss  32666  fisuppov1  32668  mptiffisupp  32678  fsuppcurry1  32711  fsuppcurry2  32712  gsummptres2  33040  gsumfs2d  33042  tocycval  33084  rmfsupp2  33212  elrgspnlem2  33217  elrsp  33344  qusrn  33381  elrspunidl  33400  elrspunsn  33401  extvval  33582  extvfv  33584  extvfvcl  33587  extvfvalf  33588  mplvrpmfgalem  33592  mplvrpmga  33593  mplvrpmmhm  33594  mplvrpmrhm  33595  issply  33602  drgextgsum  33628  ply1degltdimlem  33656  fedgmullem2  33664  evls1fldgencl  33704  fldextrspunlsplem  33707  fldextrspunlsp  33708  extdgfialglem1  33726  extdgfialglem2  33727  minplyval  33739  ofcfval  34132  lpadval  34710  bj-imdirvallem  37245  hashscontpow  42236  aks6d1c2  42244  sticksstones4  42263  sticksstones11  42270  sticksstones12a  42271  sticksstones12  42272  sticksstones17  42277  sticksstones18  42278  sticksstones19  42279  sticksstones20  42280  aks6d1c6lem2  42285  aks6d1c6lem3  42286  aks6d1c7lem2  42295  aks5lem2  42301  evlsvvvallem  42680  evlsvvval  42682  selvvvval  42704  evlselv  42706  mhphf  42716  rfovfvd  44120  fsovfvd  44128  dssmapf1od  44139  choicefi  45322  axccdom  45344  climeldmeqmpt  45791  climfveqmpt  45794  climfveqmpt3  45805  climeldmeqmpt3  45812  climfveqmpt2  45816  climeldmeqmpt2  45818  climeqmpt  45820  limsupresicompt  45879  liminfresicompt  45903  liminfvalxr  45906  liminflbuz2  45938  iccvonmbllem  46801  vonioolem1  46803  vonioolem2  46804  vonicclem1  46806  vonicclem2  46807  smflimmpt  46933  smflimsuplem6  46948  cfsetsnfsetfv  47182  cfsetsnfsetf  47183  fundcmpsurbijinjpreimafv  47532  prproropen  47633  isubgr3stgr  48100  uspgrbispr  48276  1arymaptfv  48766  1arymaptfo  48769  fuco22  49465