Theorem qmapeldisjs 39028

Description: When 𝑅 is a set (e.g., when it is an element of the class of relations df-rels 38643), the quotient map element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate for quotient maps are the same. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
qmapeldisjs	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))

Proof of Theorem qmapeldisjs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qmapex 38654	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → QMap 𝑅 ∈ V)
2		eldisjsdisj 39027	. 2 ⊢ ( QMap 𝑅 ∈ V → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   QMap cqmap 38378   Disjs cdisjs 38421   Disj wdisjALTV 38422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-rels 38643  df-qmap 38649  df-coss 38704  df-ssr 38781  df-cnvrefs 38808  df-cnvrefrels 38809  df-cnvrefrel 38810  df-disjss 38991  df-disjs 38992  df-disjALTV 38993

This theorem is referenced by:  qmapeldisjsim  39063  eldisjsim5  39142  eldisjs7  39144