Theorem qmapeldisjs 39424

Description: When 𝑅 is a set (e.g., when it is an element of the class of relations df-rels 39039), the quotient map element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate for quotient maps are the same. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
qmapeldisjs	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))

Proof of Theorem qmapeldisjs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qmapex 39050	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → QMap 𝑅 ∈ V)
2		eldisjsdisj 39423	. 2 ⊢ ( QMap 𝑅 ∈ V → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462   QMap cqmap 38774   Disjs cdisjs 38817   Disj wdisjALTV 38818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-rels 39039  df-qmap 39045  df-coss 39100  df-ssr 39177  df-cnvrefs 39204  df-cnvrefrels 39205  df-cnvrefrel 39206  df-disjss 39387  df-disjs 39388  df-disjALTV 39389

This theorem is referenced by:  qmapeldisjsim  39459  eldisjsim5  39538  eldisjs7  39540