Theorem qmapeldisjs 39166

Description: When 𝑅 is a set (e.g., when it is an element of the class of relations df-rels 38781), the quotient map element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate for quotient maps are the same. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
qmapeldisjs	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))

Proof of Theorem qmapeldisjs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qmapex 38792	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → QMap 𝑅 ∈ V)
2		eldisjsdisj 39165	. 2 ⊢ ( QMap 𝑅 ∈ V → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   QMap cqmap 38516   Disjs cdisjs 38559   Disj wdisjALTV 38560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-rels 38781  df-qmap 38787  df-coss 38842  df-ssr 38919  df-cnvrefs 38946  df-cnvrefrels 38947  df-cnvrefrel 38948  df-disjss 39129  df-disjs 39130  df-disjALTV 39131

This theorem is referenced by:  qmapeldisjsim  39201  eldisjsim5  39280  eldisjs7  39282