Theorem qmapeldisjs 39758

Description: When 𝑅 is a set (e.g., when it is an element of the class of relations df-rels 39373), the quotient map element of the class of disjoint relations and the disjoint relation predicate for quotient maps are the same. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
qmapeldisjs	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))

Proof of Theorem qmapeldisjs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qmapex 39384	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → QMap 𝑅 ∈ V)
2		eldisjsdisj 39757	. 2 ⊢ ( QMap 𝑅 ∈ V → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ( QMap 𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj QMap 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   QMap cqmap 39108   Disjs cdisjs 39151   Disj wdisjALTV 39152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-rels 39373  df-qmap 39379  df-coss 39434  df-ssr 39511  df-cnvrefs 39538  df-cnvrefrels 39539  df-cnvrefrel 39540  df-disjss 39721  df-disjs 39722  df-disjALTV 39723

This theorem is used by:  qmapeldisjsim  39793  eldisjsim5  39872  eldisjs7  39874